同學(xué)們，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目標(biāo)是讓我們會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀(guān)察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。數(shù)學(xué)模型是溝通現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界的橋梁，有時(shí)利用二次函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型，可以有效解決生活中那些看似復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題。

商品利潤(rùn)問(wèn)題

例1 每年5月的第三個(gè)星期日為全國(guó)助殘日，2024年的主題是“科技助殘，共享美好生活”?？祵幑拘卵邪l(fā)了一批便攜式輪椅，計(jì)劃在該月銷(xiāo)售。根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，每輛輪椅盈利200元時(shí)，每天可售出60輛；單價(jià)每降低10元，每天可多售出4輛。公司決定在成本不變的情況下降價(jià)銷(xiāo)售，但每輛輪椅的利潤(rùn)不低于180元。設(shè)每輛輪椅降價(jià)x元，每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)為y元。（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；每輛輪椅降價(jià)多少元時(shí)，每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？（2）全國(guó)助殘日當(dāng)天，公司共獲得銷(xiāo)售利潤(rùn)12160元，這天售出了多少輛輪椅？

【解析】（1）根據(jù)單價(jià)每降低10元，每天多售出4輛，可得單價(jià)每降低x元，每天可多售出0.4x輛。銷(xiāo)售利潤(rùn)=每輛輪椅的銷(xiāo)售利潤(rùn)×（原銷(xiāo)售量+增加的銷(xiāo)售量），即y=（200-x）（60+4×[x10]）=-0.4x2+20x

+12000。整理，得y=-0.4（x-25）2+12250。由每輛輪椅的利潤(rùn)不低于180元，得x≤20，由二次函數(shù)的增減性可知，當(dāng)每輛輪椅降價(jià)20元時(shí)，每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為12240元。（2）取y=12160，得-0.4（x-25）2+12250=12160，解得x1=40（舍去），x2=10。將x代入60+4×[x10]中，得當(dāng)天售出輪椅64輛。

【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵在于將實(shí)際問(wèn)題抽象為相應(yīng)的二次函數(shù)模型。在解題過(guò)程中，計(jì)算出降價(jià)后商品的銷(xiāo)售量很重要，它影響后續(xù)利潤(rùn)的計(jì)算。另外，根據(jù)自變量的取值范圍求解二次函數(shù)的最大值是易錯(cuò)點(diǎn)，同學(xué)們要細(xì)心分析各變量的關(guān)系，確保解答準(zhǔn)確無(wú)誤。

圖形面積問(wèn)題

例2 如圖1，某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃建造一個(gè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場(chǎng)一面靠墻（墻的長(zhǎng)度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個(gè)面積為1∶2的矩形，已知柵欄的總長(zhǎng)度為24m，設(shè)較小矩形的寬為xm。

（1）若矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為36m2，求此時(shí)x的值。（2）當(dāng)x為多少時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大？最大值為多少？

【解析】（1）由題意可知較大矩形的寬為2xm，長(zhǎng)為[24-x-2x3]=（8-x）m。由矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為36m2，得（x+2x）×（8-x）=36，解得x1=2，x2=6。當(dāng)x=6時(shí)，3x=18＞10，不符合題意，所以x=2。（2）設(shè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積是ym2，由墻的長(zhǎng)度為10m，得0＜x≤[103]。由題意得y=（x+2x）（8-x）=-3（x-4）2+48，由二次函數(shù)的性質(zhì)，可知當(dāng)x=[103]時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大，最大值為[1403]m2。

【點(diǎn)評(píng)】本題不僅考查一元二次方程和二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)和性質(zhì)，還考查我們利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的能力。通過(guò)解答本題，同學(xué)們可以更深刻地體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系以及二次函數(shù)模型在解決面積最值方面的重要作用。

方案決策問(wèn)題

例3 某商店門(mén)前和店內(nèi)柜臺(tái)前分別橫排著6塊燈箱廣告牌，現(xiàn)決定在這兩排廣告牌中共拆除8塊，以增加顧客流通量。已知進(jìn)入店內(nèi)顧客流通增加量與前排廣告牌拆除塊數(shù)成正比，柜臺(tái)顧客流通增加量與店內(nèi)顧客流通增加量和柜臺(tái)前廣告牌拆除塊數(shù)之積成正比，要使柜臺(tái)顧客流通增加量最大，則店內(nèi)柜臺(tái)前應(yīng)拆除廣告牌 塊。

【解析】設(shè)商店門(mén)前廣告牌拆除x塊，則柜臺(tái)前廣告牌拆除（8-x）塊。由進(jìn)入店內(nèi)顧客流通增加量y1與前排廣告拆除塊數(shù)成正比，可設(shè)y1=k1x；由柜臺(tái)顧客流通增加量y2與店內(nèi)顧客流通增加量和柜臺(tái)前廣告牌拆除塊數(shù)之積成正比，可設(shè)y2=k2y1（8-x）=k1k2x（8-x）=-k1k2x2+8k1k2x（k1、k2是常數(shù)且均不為0）。由二次函數(shù)的性質(zhì)，可知當(dāng)x=[-8k1k22（-k1k2）]=4時(shí)，柜臺(tái)顧客流通增加量最大，此時(shí)8-x=4。

【點(diǎn)評(píng)】本題依托日常生活情境，考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用能力。我們首先要理解題意，將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象成函數(shù)問(wèn)題，然后靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)、最值求解等核心知識(shí)，綜合應(yīng)對(duì)復(fù)雜挑戰(zhàn)。

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市新城中學(xué)）