二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)核心知識(shí)板塊之一。縱觀各地中考，其關(guān)于二次函數(shù)的考查方式比較靈活，一方面強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)，重視實(shí)用性；另一方面將二次函數(shù)與三角形、四邊形、圓、方程、不等式等知識(shí)結(jié)合，考查同學(xué)們解決綜合問題的能力。下面結(jié)合各地的中考題，對(duì)二次函數(shù)的考點(diǎn)進(jìn)行歸類與分析。

二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)

例1 （2023·江蘇揚(yáng)州）已知二次函數(shù)y=ax2-2x+[12]（a為常數(shù)且a＞0），下列結(jié)論：①函數(shù)圖象一定經(jīng)過第一、二、四象限；②函數(shù)圖象一定不經(jīng)過第三象限；③當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小；④當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大。其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）。

A.①② B.②③ C.② D.③④

【解析】我們要熟練掌握二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)。a＞0時(shí)，拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線x=[1a]＞0，當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小。當(dāng)x＞[1a]時(shí)，y隨x的增大而增大，且函數(shù)與y軸交于點(diǎn)（0，[12]）。所以函數(shù)圖象一定不經(jīng)過第三象限，可能經(jīng)過第一、二、四象限。故選B。

二次函數(shù)的表達(dá)式

例2 （2024·浙江）已知二次函數(shù)y=x2+bx+c（b、c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A

（-2，5），對(duì)稱軸為直線x=[-12]。（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)B（1，7）向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，向左平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度后，恰好落在y=x2+bx+c的圖象上，求m的值；（3）當(dāng)-2≤x≤n時(shí)，二次函數(shù)y=x2+bx+c的最大值與最小值的差為[94]，求n的取值范圍。

【解析】準(zhǔn)確求出二次函數(shù)的表達(dá)式一般是解決二次函數(shù)問題的第一步。我們需仔細(xì)審題，根據(jù)已知條件，靈活選用適當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式（一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式）。（1）由對(duì)稱軸x=[-b2]，得b=1。又∵函數(shù)圖象過點(diǎn)A（-2，5），得c=3。（2）由題意，點(diǎn)B（1，7）向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度（m＞0）后為（1-m，9），又在y=x2+x+3的圖象上，∴9=（1-m）2

+（1-m）+3。∴m=4或m=-1（舍去）。（3）根據(jù)（1）的表達(dá)式，可得最小值為[114]，由條件可得最大值為5，而當(dāng)x=-2或1時(shí)，y=5，解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于分三種情況討論，即n＜[-12]、[-12]≤n≤1和n＞1，結(jié)合圖象可得[-12]≤n≤1。

二次函數(shù)綜合問題

例3 （2023·江蘇無錫）二次函數(shù)y=a（x-1）（x-5）（a＞[12]）的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)M（3，1）的直線將△ABC分成兩部分，這兩部分是三角形或梯形，且面積相等，則a的值為 。

【解析】本題是一道難度很大的壓軸題，綜合考查二次函數(shù)、三角形、相似形等知識(shí)，解題的第一個(gè)突破口在于先根據(jù)已知條件判定點(diǎn)M必在△ABC內(nèi)部。由條件“直線將△ABC分成兩部分”，可知當(dāng)分成兩個(gè)三角形時(shí)，直線必過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，因?yàn)槠椒置娣e，則過點(diǎn)M的直線必為中線；當(dāng)分成三角形和梯形時(shí)，過點(diǎn)M的直線必與△ABC的一邊平行，則必有“A”型相似且相似比為1∶[2]。再畫出圖形分別求解即可。

與二次函數(shù)有關(guān)的新題型

例4 （2024·上海）對(duì)于一個(gè)二次函數(shù)y=a（x-m）2+k（a≠0）中存在一點(diǎn)P（x′，y′），使得x′-m=y′-k≠0，則稱2[x′-m]為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線y=[-12]x2+[13]x+3的“開口大小”為 。

【解析】新定義是中考的熱點(diǎn)題型，解題關(guān)鍵是理解“新定義”，仔細(xì)讀題，收集并處理題中的重要信息，學(xué)會(huì)類比學(xué)過的相關(guān)知識(shí)解決問題。∵拋物線

y=[-12]x2+[13]x+3=[-12]（x[-13]）2+[5518]，∴x′[-13]=

[-12]（x′[-13]）2+[5518][-5518]，解得x'[-13]=-2?！鄴佄锞€y=[-12]x2+[13]x+3的“開口大小”為2[x'-13]=4。

（作者單位：江蘇省無錫市梅里中學(xué)）