摘要： 為了解決離心泵水力優(yōu)化問題中代理模型的選擇與樣本數(shù)量的確定缺乏系統(tǒng)理論依據(jù)的問題，基于3 400組不同的管道泵設(shè)計樣本，針對離心泵優(yōu)化設(shè)計中常用的3種代理模型（人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、響應(yīng)面模型和克里金模型）進(jìn)行了參數(shù)化分析.通過對比不同樣本數(shù)量下3種模型的性能表現(xiàn)與預(yù)測精度，發(fā)現(xiàn)響應(yīng)面模型在處理離心泵多參數(shù)優(yōu)化問題時的擬合精度較差；而克里金模型和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在單部件優(yōu)化中表現(xiàn)出色.在多部件聯(lián)合優(yōu)化或復(fù)雜目標(biāo)函數(shù)下，僅多隱藏層級聯(lián)前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具備一定的可靠性，但仍難以完全滿足優(yōu)化需求.此外，研究表明，當(dāng)樣本數(shù)較少（為參數(shù)總量的1.0～1.2倍）時，單隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的性能最優(yōu)；而當(dāng)樣本數(shù)充足（大于參數(shù)總量的2.0倍）時，多隱藏層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與級聯(lián)前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)出更高的可靠性.

關(guān)鍵詞： 離心泵；優(yōu)化設(shè)計；代理模型；機(jī)器學(xué)習(xí)；參數(shù)化分析

中圖分類號： TH311;S277.9 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號： 1674-8530（2024）12-1211-10

DOI：10.3969/j.issn.1674-8530.24.0157

甘星城，裴吉，袁壽其，等. 離心泵水力優(yōu)化問題代理模型性能的參數(shù)化[J]. 排灌機(jī)械工程學(xué)報，2024，42（12）：1211-1220.

GAN Xingcheng， PEI Ji， YUAN Shouqi， et al. Parametric on performance of surrogate models in" hydraulic optimization of centrifugal pumps[J]. Journal of drainage and irrigation machinery engineering （JDIME）， 2024， 42（12）： 1211-1220. （in Chinese）

Parametric on performance of surrogate models in

hydraulic optimization of centrifugal pumps

GAN Xingcheng1， PEI Ji^1*， YUAN Shouqi1， WANG Wenjie1， YAN Aizhong2， ZHAO Yun2

（1. National Research Center of Pumps， Jiangsu University， Zhenjiang， Jiangsu 212013， China; 2. Sinoso Science and Technology Inc.， Nanjing， Jiangsu 211100， China）

Abstract： In order to solve the problem of the lack of system theoretical basis for the determination of surrogate model in the optimization of hydraulic performance of centrifugal pump， a parametric analysis was conducted based on 3 400 pipeline pump design samples， three commonly used surrogate models in centrifugal pump optimization were evaluated： artificial neural networks， response surface models， and Kriging models. The results， comparing model performance and prediction accuracy across various sample sizes， show that the response surface model struggle with accuracy in multi-parameter optimization scenarios， while Kriging models and artificial neural networks excel in single-component optimizations. For more complex objectives or multi-component optimizations， only deep feedforward neural networks with multiple hidden layers demonstrate some reliability， but still fall short of meeting all optimization requirements. Additionally， the study reveals that single-layer feedforward neural networks perform best with smaller sample sizes （1.0 to 1.2 times the total number of parameters）， while deep feedforward and cascade feedforward networks prove more reliable when the sample size exceeds twice the total number of parameters.

Key words： centrifugal pump;optimal design;surrogate model;machine learning;parametric analysis

近年來，中國的能源消耗總量增速迅猛，人口規(guī)模與經(jīng)濟(jì)總量的上行給能源生產(chǎn)帶來了巨大壓力，同時也引發(fā)了一系列環(huán)境問題^[1].泵作為一種通用動力機(jī)械，廣泛應(yīng)用于各行各業(yè).有數(shù)據(jù)表明，泵類負(fù)載每年耗電量占中國發(fā)電總量的20.9%以上^[2]，然而，仍有38%以上的泵實(shí)際工作效率不足40%^[3-5]，這不僅造成了巨大的能源浪費(fèi)，也給生產(chǎn)過程留下了安全隱患^[6-7].

為了解決這一問題，國內(nèi)外學(xué)者提出了許多優(yōu)化設(shè)計方法以提高泵的綜合性能.根據(jù)實(shí)際工作流程，泵的優(yōu)化設(shè)計方法主要可分為4類^[2]：① 經(jīng)驗(yàn)公式法；② 試驗(yàn)設(shè)計方法；③ 代理模型法；④ 智能算法直接求解.這4種方法所需的優(yōu)化成本與優(yōu)化精度逐級遞增；盡管結(jié)合智能算法與計算流體動力學(xué)（computational fluid dynamics， CFD）程序來對泵的主要過流部件進(jìn)行直接優(yōu)化能夠得到最為準(zhǔn)確的結(jié)果，同時優(yōu)化成功率也最高，但就目前主流的計算力而言，該方法所需的計算成本與時間成本往往是不可接受的^[2，8].因此，代理模型法仍然是目前主流的泵優(yōu)化設(shè)計方法.其中，常用的代理模型包括人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（artificial neural network， ANN），克里金模型（Kriging model），響應(yīng)面模型（response surface model， RSM）和支持向量回歸模型（support vector regression， SVR）.基于這4種模型，國內(nèi)外學(xué)者對各種泵型進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計，并取得了較大的進(jìn)展.KIM等^[9-10]基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對混流泵葉輪和離心泵葉輪進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計，優(yōu)化后，綜合效率分別提升了9.75%和1.00%.PEI等^[11]基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和多目標(biāo)遺傳算法對管道泵的進(jìn)口彎管進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計，優(yōu)化后管道泵在多個工況下的性能均得到了提升.GAN等^[12]基于前饋型人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（feedforward neural network， FFNN）對管道泵進(jìn)口導(dǎo)流結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計，實(shí)現(xiàn)了在嚴(yán)格尺寸限制下的性能提升.袁壽其等^[13]利用克里金模型對一低比轉(zhuǎn)數(shù)離心泵葉輪進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計并得到了4.18%的效率提升.代翠等^[14]基于響應(yīng)面方法對離心泵作透平的水力性能與聲學(xué)性能進(jìn)行了改進(jìn)，優(yōu)化后，效率提高了1.98%，總聲壓級降低了4.95 dB.王文杰等^[15]基于克里金模型與遺傳算法對離心泵葉輪進(jìn)行了多工況優(yōu)化設(shè)計，并取得了良好的效果.

然而，目前針對不同代理模型在泵的優(yōu)化設(shè)計問題中的性能分析的報道較少，實(shí)際優(yōu)化過程中代理模型與樣本數(shù)的選擇主要依靠經(jīng)驗(yàn)和試錯，缺乏理論支持.因此，量化分析代理模型在不同樣本數(shù)量下的表現(xiàn)與預(yù)測精度對于提高求解精度、降低優(yōu)化成本具有重要意義.

文中以一臺比轉(zhuǎn)數(shù)為132的立式管道離心泵為研究對象，基于3 400組樣本設(shè)計數(shù)據(jù)對3種主流代理模型進(jìn)行測試分析，以評估其在不同樣本數(shù)據(jù)量下的擬合性能與預(yù)測穩(wěn)定性.

1 計算模型與樣本數(shù)據(jù)

1.1 計算模型

該研究基于3 400組樣本數(shù)據(jù)^{[8， 12， 16-18]}，原始模型為一臺比轉(zhuǎn)數(shù)為132的立式管道泵，結(jié)構(gòu)如圖1所示.主要設(shè)計參數(shù)：設(shè)計流量Qd=50 m3/h，設(shè)計揚(yáng)程Hd=20 m， 額定轉(zhuǎn)速n=2 910 r/min，進(jìn)水管直徑Ds=80 mm，出水管直徑Dd=80 mm，葉輪進(jìn)口直徑 D1=72 mm， 葉輪出口直徑D2=136 mm，葉輪出口寬度b2=17.6 mm，葉輪葉片數(shù)z=6.

1.2 數(shù)據(jù)可靠性驗(yàn)證

文中所采用的樣本數(shù)據(jù)來源于定常數(shù)值分析，其可靠性可通過網(wǎng)格無關(guān)性分析與試驗(yàn)比對的方法進(jìn)行驗(yàn)證.

1.2.1 網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證與數(shù)值設(shè)置

基于商業(yè)網(wǎng)格劃分軟件ANSYS ICEM CFD中的多塊劃分策略，生成除葉輪外其他過流部件的高質(zhì)量六面體網(wǎng)格；使用ANSYS TurboGrid生成葉輪的六面體網(wǎng)格.對各過流部件的近壁面區(qū)域進(jìn)行了局部加密，以捕捉近壁面流動特征，保證計算穩(wěn)定性.計算域網(wǎng)格總數(shù)通過網(wǎng)格無關(guān)性分析確定，當(dāng)網(wǎng)格總數(shù)超過400萬時，計算結(jié)果趨于穩(wěn)定.因此，綜合考慮計算成本與計算精度，選擇網(wǎng)格總數(shù)為429萬的方案用于后續(xù)計算及驗(yàn)證，其中進(jìn)水管網(wǎng)格數(shù)為77.95萬，肘形彎管網(wǎng)格數(shù)為58.16萬，葉輪網(wǎng)格數(shù)為93.35萬，蝸殼網(wǎng)格數(shù)為121.63萬，出水管網(wǎng)格數(shù)為77.95萬，如圖2所示.最終網(wǎng)格方案的第1層網(wǎng)格厚度（y+）不大于30，關(guān)鍵壁面處不大于10，例如葉片進(jìn)口邊、隔舌等.因此，該套網(wǎng)格的質(zhì)量能夠滿足離心泵的性能預(yù)測需求.

實(shí)際計算過程采用ANSYS CFX求解器結(jié)合剪切力傳輸模型（shear stress transport， SST）對三維不可壓雷諾時均Navier-Stokes方程求解，并根據(jù)泵的實(shí)際工作條件設(shè)置計算的邊界條件：采用質(zhì)量流量出口，總壓進(jìn)口（湍流強(qiáng)度5%），所有壁面均設(shè)置為無滑移壁面，動靜轉(zhuǎn)子交界面數(shù)據(jù)傳輸模型設(shè)置為“Frozen Rotor”（凍結(jié)轉(zhuǎn)子）^[17]，最大迭代數(shù)為500，收斂性指標(biāo)為各方程的均方根殘差小于10^-5.

1.2.2 試驗(yàn)驗(yàn)證

為了進(jìn)一步保證數(shù)值模擬結(jié)果的可靠性，通過外特性試驗(yàn)的方式對原模型的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證.

如圖3所示，驗(yàn)證試驗(yàn)在江蘇大學(xué)流體機(jī)械質(zhì)量技術(shù)檢驗(yàn)中心的開式試驗(yàn)臺采用電測法完成（GB/T 3216—2016規(guī)定的1級精度），揚(yáng)程和效率測量的綜合不確定度不大于0.2%，流量的綜合不確定度不大于2%.試驗(yàn)結(jié)果與計算結(jié)果的對比如圖4所示，設(shè)計工況下，揚(yáng)程H的計算誤差為2.05%，但隨著流量增加，誤差有增大趨勢，誤差最大值出現(xiàn)在1.4倍設(shè)計工況下，為6.60%.可見，數(shù)值分析的結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果具有良好的一致性，因此前文所述的數(shù)值分析方法可用于后續(xù)研究.

1.3 參數(shù)化設(shè)計方法及樣本數(shù)據(jù)

所使用的樣本數(shù)據(jù)庫分為4類，如表1所示：進(jìn)口彎管設(shè)計數(shù)據(jù)庫（33個設(shè)計變量，共500個樣本）^[12]、進(jìn)口導(dǎo)流結(jié)構(gòu)設(shè)計數(shù)據(jù)庫（14個設(shè)計變量，共200個樣本）^[12]、葉輪葉片設(shè)計樣本庫（14個設(shè)計變量，共300個樣本）^[18]、葉輪與進(jìn)口彎管匹配設(shè)計數(shù)據(jù)庫（40個變量，共2 400個樣本）^{[8， 16]}.表中，Nd為設(shè)計變量；Ns為樣本數(shù)量.

主要設(shè)計變量包括進(jìn)口肘形彎管形狀、進(jìn)口導(dǎo)流葉片形狀及厚度、葉輪軸面投影圖形狀、葉輪葉片形狀及厚度以及葉片數(shù).其中連續(xù)變量通過非均勻有理B樣條（non-uniform rational B-spline， NURBS）擬合，離散變量直接以數(shù)據(jù)本身表示，隨后通過拉丁超立方抽樣方法（Latin hypercube sampling， LHS）形成數(shù)據(jù)庫.具體的設(shè)計變量邊界與設(shè)計方法在前置研究^{[8， 12]}中已詳細(xì)表述，故不再贅述.

2 代理模型與測試設(shè)置

基于第1節(jié)中所述的樣本數(shù)據(jù)，對3種離心泵優(yōu)化中常用的代理模型進(jìn)行了測試分析，包括人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（前饋型、級聯(lián)前饋型、多隱藏層）、響應(yīng)面模型（2階、3階）、克里金模型（Kriging）.

2.1 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種類似動物大腦結(jié)構(gòu)的仿生計算模型，在實(shí)際應(yīng)用過程中，一般將數(shù)據(jù)傳輸過程模擬為神經(jīng)信號傳遞，而使用激活函數(shù)模擬神經(jīng)元處理信號的過程^[19].

在離心泵優(yōu)化設(shè)計領(lǐng)域，由于數(shù)據(jù)樣本量小，故常用基礎(chǔ)前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（FFNN）擬合數(shù)據(jù)樣本與目標(biāo)函數(shù)之間的關(guān)系.而實(shí)際應(yīng)用過程中，常見的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)需要根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行調(diào)整.PEI等^[20]就不同結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)模型在實(shí)際葉輪優(yōu)化過程中的性能進(jìn)行研究，結(jié)果表明，多隱藏層級聯(lián)前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（multiple hidden-layer cascade forward neural network， MCFNN）在實(shí)際應(yīng)用過程中表現(xiàn)出了最高的穩(wěn)定性與準(zhǔn)確度.

因此，在本研究中，選取單隱層及雙隱層的基礎(chǔ)前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、級聯(lián)前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為研究對象，分析不同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)在實(shí)際擬合及預(yù)測過程中的穩(wěn)定性與準(zhǔn)確性.其中，雙隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（double hidden-layer feedforward neural network， DFFNN）的結(jié)構(gòu)如圖5所示.

如圖5所示，圓形代表神經(jīng)元，其主要作用為數(shù)據(jù)處理（數(shù)據(jù)輸入、輸出或通過激活函數(shù)處理數(shù)據(jù)），實(shí)線表示數(shù)據(jù)傳遞，數(shù)據(jù)傳遞過程中存在權(quán)重因子及偏置.DFFNN從輸入到輸出，數(shù)據(jù)單向傳遞，即不存在誤差反饋，故最終其表達(dá)式如式（1）所示.

yi，j=xj，i=0，

fi，j∑mik=1wi－1，kyi－1，k+bi，j，igt;0，（1）

式中：x為輸入變量；y為神經(jīng)元輸出信號；w為權(quán)重因子；b為偏置系數(shù)；f為激活函數(shù)；m為該層神經(jīng)元總數(shù)；下標(biāo)i表示層數(shù)編號（0表示輸入層），j為神經(jīng)元編號.

單隱層級聯(lián)前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（single hidden-layer cascade forward neural network， SCFNN）的結(jié)構(gòu)如圖6所示.與DFFNN相同，從輸入到輸出數(shù)據(jù)單向傳播，但不同的是，DFFNN每個神經(jīng)元的輸出只與前一層的數(shù)據(jù)相關(guān)，而SCFNN中每個神經(jīng)元的輸出與之前所有層中的數(shù)據(jù)信號都相關(guān)，其表達(dá)式如式（2）所示.

yi，j=xj，i=0，

fi，j∑il=1∑mi－lk=1wli－l，kyi－l，k+bi，j，igt;0.（2）

2.2 響應(yīng)面模型

響應(yīng)面模型（response surface model， RSM）是一種統(tǒng)計學(xué)方法，常用于試驗(yàn)設(shè)計或目標(biāo)預(yù)測^[21].泵優(yōu)化問題的擬合常根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的復(fù)雜程度選擇二階或三階響應(yīng)面模型作為代理模型.其中二階響應(yīng)面模型如式（3）所示，三階響應(yīng)面模型如式（4）所示

y2=C0+x·C1+x·C2·xT，（3）

y3=y2+C3⊙（xT·x·diag（x）），（4）

式中：x=（x1，x2，…，xm）為輸入變量；y為預(yù)測結(jié)果；C0為常數(shù)，diag為對角矩陣算子；C1=（C1，C2，…，Cm）T為一階權(quán)重；C2和C3分別為二階和三階權(quán)重，計算式為

C2=C11C12…C1mC22…C2mCmm，（5）

C3=C111C122…C1mmC211C222…C2mmCm11Cm11…Cmmm.（6）

2.3 克里金模型

克里金模型（Kriging model）是近年來較為流行的一種針對無噪聲數(shù)據(jù)的代理模型，其本質(zhì)是一種插值方法，由于其優(yōu)異的性能被廣泛應(yīng)用于優(yōu)化設(shè)計、數(shù)據(jù)可視化和相關(guān)性分析等領(lǐng)域^[22-23].

具體地，克里金模型可分為2個部分：回歸函數(shù)F和偏差函數(shù)Z，如式（7）所示.其中，偏差函數(shù)常使用高斯函數(shù)（Gaussian function）.其核心思想是使用回歸函數(shù)來捕捉數(shù)據(jù)的總體趨勢，然后使用偏差函數(shù)擬合數(shù)據(jù)誤差.事實(shí)上，回歸函數(shù)即為偏差函數(shù)（高斯函數(shù)）的廣義均值.

y=F（x）+Z（x），（7）

式中：y為預(yù)測結(jié)果；F（x）為回歸函數(shù)，Z（x）為均值為0、方差為σ2的高斯函數(shù).

根據(jù)回歸函數(shù)的不同，克里金模型可分為不同種類，例如，回歸函數(shù)F（x）取定值時，克里金模型稱為標(biāo)準(zhǔn)克里金模型.然而，在實(shí)際應(yīng)用過程中，由于目標(biāo)問題十分復(fù)雜，因此，回歸函數(shù)F（x）常使用多項式函數(shù)擬合，即

F（x）=∑pi=1αibi（x），（8）

式中：α為多項式系數(shù);bi（x）為基函數(shù)，p為離散點(diǎn)數(shù)量.

2.4 測試環(huán)境

參與對比的模型均采用Matlab編程，所有模型均支持圖形卡（graphic process unit， GPU）運(yùn)算加速.測試基于Windows平臺：AMD Ryzen R9 5950X@4.70 GHz， 128 GB RAM@4 000 MHz，NVIDIA RTX 3080Ti.

如表 2所示，共選擇7種不同的代理模型參與對比測試：單隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（SFFNN），雙隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（DFFNN），單隱層級聯(lián)前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（SCFNN），雙隱層級聯(lián)前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（DCFNN），二階響應(yīng)面模型（RSM2），三階響應(yīng)面模型（RSM3）和克里金模型（Kriging model）.

模型訓(xùn)練過程均采用梯度下降法作為訓(xùn)練算法，訓(xùn)練目標(biāo)為預(yù)測值與實(shí)際值之間的均方根誤差小于0.001，且訓(xùn)練步數(shù)不大于1 000步.對比試驗(yàn)中，每種模型訓(xùn)練20次，并取最優(yōu)模型記錄數(shù)據(jù)，以保證數(shù)據(jù)的可靠性.另外，訓(xùn)練過程中，樣本數(shù)據(jù)庫中的數(shù)據(jù)將被分為2組，一組用于訓(xùn)練模型（例如，在表3中，訓(xùn)練樣本規(guī)模指訓(xùn)練所用樣本數(shù)占總樣本數(shù)的比例），另一組則被用于評估（測試）模型性能.

3 擬合性能分析

3.1 性能指標(biāo)

為了量化分析不同測試模型在實(shí)際設(shè)計過程中的擬合性能，選取了3種分析指標(biāo)：調(diào)整回歸系數(shù)R2adj，均方根誤差RMSE，最大相對誤差δmax.

3.1.1 調(diào)整回歸系數(shù)

回歸分析預(yù)測法可以通過數(shù)理統(tǒng)計方法建立起變量間的回歸方程，實(shí)現(xiàn)對變量回歸的估計和測定.

文中選用調(diào)整回歸系數(shù)R2adj表示模型預(yù)測的回歸性能，其定義如式（9）所示.相較于傳統(tǒng)回歸系數(shù)，調(diào)整回歸系數(shù)能夠忽略樣本數(shù)量對于結(jié)果的影響，更具有參考意義.R2adj的取值范圍為（－∞，1］，其值越接近1，則表明模型預(yù)測數(shù)據(jù)的回歸性能越好.一般認(rèn)為，R2adjgt;0.9是工程優(yōu)化問題中代理模型可用的充要條件.

R2adj=1－n－1n－p∑ni=1（yi－y^i）2∑ni=1（yi－y）2，（9）

式中：n為樣本總數(shù)；y為樣本目標(biāo)值；y為樣本目標(biāo)的平均值；y^為模型預(yù)測值；p為特征數(shù)量.

3.1.2 均方根誤差

選用均方根誤差（root mean square error， RMSE）來描述模型的全局預(yù)測性能，其定義如式（10）所示.

RMSE=∑ni=1（yi－y^i）2n.（10）

3.1.3 最大相對誤差

選用最大相對誤差δmax來描述模型的最差預(yù)測性能，以估計模型在預(yù)測陌生決策變量時的最大誤差，其定義如式（11）所示.

δmax=yi－y^iyi×100%，i=1，2，…，m.（11）

3.2 結(jié)果分析

采用表2中所述的7種代理模型對表1中的4組樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行了擬合，并采用3.1節(jié)中的3種性能指標(biāo)進(jìn)行了分析，結(jié)果如表3，4所示.

由表3，4可知，在4種樣本數(shù)據(jù)庫的不同訓(xùn)練樣本數(shù)的模型訓(xùn)練中，響應(yīng)面模型的表現(xiàn)很差，在全部的測試中，其預(yù)測值均與原始數(shù)據(jù)產(chǎn)生了巨大誤差，無論是回歸性能，還是預(yù)測精度，均無法滿足工程應(yīng)用的條件.

反觀人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與克里金模型，在應(yīng)用過程中的表現(xiàn)更為穩(wěn)定，隨著樣本數(shù)量的增加，模型的穩(wěn)定性與擬合性能均有提升.相較而言，由于單隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（SFFNN，代理模型1）中的未知系數(shù)最少（如表2所示），在多數(shù)測試中，當(dāng)樣本數(shù)不足1倍模型系數(shù)總量（Nslt;Nc）時，SFFNN均可獲得不錯的性能；而當(dāng)樣本數(shù)介于1.0～1.2倍系數(shù)數(shù)量（Nc≤Ns≤1.2Nc）時，該模型的回歸性能指標(biāo)和預(yù)測精度指標(biāo)達(dá)到應(yīng)用水平.

當(dāng)樣本數(shù)量進(jìn)一步增加后，DFFNN，DCFNN與Kriging模型在多數(shù)情況下更具有優(yōu)勢.值得一提的是，在單部件優(yōu)化中（數(shù)據(jù)庫A，B，C），Kriging模型與人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的表現(xiàn)相近，但Kriging模型的訓(xùn)練樣本需求量更大，由表4可知，當(dāng)樣本數(shù)量大于10倍設(shè)計變量數(shù)（Nsgt;10Nd）時，Kriging模型才可獲得穩(wěn)定的性能.

然而，對于雙部件匹配優(yōu)化問題，由于問題復(fù)雜程度的上升，單隱層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（SFFNN，SCFNN）與克里金模型的性能出現(xiàn)了顯著下降，且隨著樣本數(shù)的增加沒有出現(xiàn)顯著改善的趨勢.對于多隱層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)而言，DCFNN的表現(xiàn)要略好于DFFNN，但其所需的樣本數(shù)量也更大.由表4可知，對于復(fù)雜優(yōu)化問題的擬合，DFFNN與DCFNN的樣本需求量均超過系數(shù)總量的2倍（Nsgt;2Nc），而CFNN由于結(jié)構(gòu)復(fù)雜，其系數(shù)總量Nc更大，因此訓(xùn)練樣本的需求量也更大.

另外，通過對比揚(yáng)程與效率的擬合數(shù)據(jù)分布可知，效率作為目標(biāo)函數(shù)時，各模型的表現(xiàn)相對更加穩(wěn)定，尤其是針對葉輪的優(yōu)化問題，在樣本數(shù)不足0.7倍系數(shù)數(shù)量（Nslt;0.7Nc）的前提下，SFFNN仍獲得了良好的預(yù)測精度.

4 預(yù)測性能對比

為了橫向?qū)Ρ雀髂Ｐ偷念A(yù)測性能，選擇第3節(jié)中使用70%樣本規(guī)模訓(xùn)練的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（模型1—4）與克里金模型（模型7）對陌生測試集進(jìn)行了預(yù)測，并與參考值進(jìn)行比對，其結(jié)果如表5所示.

由表5可知，對于非做功過流部件的優(yōu)化問題（樣本A），由于目標(biāo)函數(shù)（揚(yáng)程、效率）對于設(shè)計變量的變化不敏感，故各個模型對于這類數(shù)據(jù)的擬合精度都很高.對于強(qiáng)響應(yīng)數(shù)據(jù)，如樣本B和C，雙隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（DFFNN，模型2）的表現(xiàn)更加穩(wěn)定.而對于多部件匹配優(yōu)化問題（樣本D），如前文所述，各模型的擬合精度均欠佳，相較而言，雙隱層級聯(lián)前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（DCFNN，模型4）的表現(xiàn)更加穩(wěn)定，但最大誤差仍高達(dá)20%.在實(shí)際應(yīng)用過程中，可選用該模型作為優(yōu)化引導(dǎo)，以減少計算成本.

5 結(jié) 論

1） 響應(yīng)面模型在實(shí)際測試中表現(xiàn)不佳，無論預(yù)測性能還是擬合特性，均無法滿足工程需求，不建議在多參數(shù)優(yōu)化設(shè)計中使用.

2） 對于單部件優(yōu)化問題或簡單目標(biāo)函數(shù)，尤其是強(qiáng)響應(yīng)目標(biāo)函數(shù)的擬合過程，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和克里金模型均表現(xiàn)出了良好的可靠性，但克里金模型在實(shí)際應(yīng)用過程中需要更多的訓(xùn)練樣本.

3） 對于多部件聯(lián)合優(yōu)化問題或復(fù)雜優(yōu)化問題，僅雙隱層級聯(lián)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（DCFNN）表現(xiàn)出了一定可靠性，但仍不能達(dá)到應(yīng)用要求，因此對于這類問題，目前最準(zhǔn)確的優(yōu)化方法仍然是利用算法直接求解.

4） 在應(yīng)用過程中，多隱層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和級聯(lián)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有更高的可靠性，但其樣本需求更高，至少需要約2倍模型參數(shù)數(shù)量的樣本；而對于樣本數(shù)量較小的情況（小于1.2倍模型參數(shù)數(shù)量），單隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（SFFNN）的可靠性最好，其性能在樣本數(shù)為1.0～1.2倍模型參數(shù)數(shù)量時達(dá)到最佳.

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（責(zé)任編輯 盛杰）