分類討論思想與方法在學(xué)生學(xué)習(xí)與人們?nèi)粘Ｉ钪须S處可見(jiàn)，它也貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)教與學(xué)過(guò)程，從第一章節(jié)的集合，一直到最后的摡率與統(tǒng)計(jì)，每一處知識(shí)點(diǎn)與應(yīng)用題目都有分類討論的身影，學(xué)生們通過(guò)知識(shí)的學(xué)習(xí)、教師對(duì)典例的講解和大量題目的實(shí)踐練習(xí)，都積累了很多的解題經(jīng)驗(yàn)與技巧，但對(duì)于絕大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)，還沒(méi)有把握解決分類討論題目，常在問(wèn)題入手突破、具體分類實(shí)施、收尾總結(jié)等環(huán)節(jié)出現(xiàn)錯(cuò)誤，原因在于對(duì)分類討論的意義、標(biāo)準(zhǔn)、原則、架構(gòu)等還沒(méi)有清晰的認(rèn)識(shí)。

一.理論體系

1.分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想合稱為數(shù)學(xué)四大思想。分類討論思想是把所研究的問(wèn)題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問(wèn)題來(lái)解決，即按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數(shù)學(xué)思想。

2.分類討論法是一種不得己而為之的方法，是一種被動(dòng)解決問(wèn)題的行為。處理問(wèn)題時(shí)，不能用其他方法整體解決，只能化整為零，各個(gè)擊破，歸類處理。

3.分類討論原則：不重不漏，即分出的各類情況不能出現(xiàn)重復(fù)，也不能出現(xiàn)遺漏情況。

4.解答分類討論問(wèn)題時(shí)的基本步驟是：先要確定討論對(duì)象及要討論對(duì)象全體的范圍；其次確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類，原則是標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不重不漏；再次對(duì)所分類分別進(jìn)行研究，獲取每一類的結(jié)論，可能對(duì)有的類還需進(jìn)一步分類討論，分級(jí)進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果；最后歸納小結(jié)，得出結(jié)論.注意分類時(shí)要統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。

二.實(shí)例辯析

例一已知二次函數(shù)f（x）＝x2+2x+3，當(dāng)x?[t，t+1]時(shí)，求f（x）的最小值g（t）.

錯(cuò)解：由f（x）=x2-2x+3=（x-1）2+2，x?[t，t+1]，

知函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=1，

所以當(dāng)t≤1≤t+1，即0≤t≤1時(shí)，g（t）=f（1）=2;

當(dāng)t+1lt;1，即tlt;0時(shí)，f（x）在[t，t+1]上是減函數(shù)，

所以g（t）=f（t+1）=t2+2.

當(dāng)tgt;1時(shí)，f（x）在[t，t+1]上是增函數(shù)，所以

g（t）=f（t）=t2-2t+3.

綜上可得g（t）=

錯(cuò)因：分類標(biāo)準(zhǔn)不清楚，應(yīng)以單調(diào)性為標(biāo)準(zhǔn)分3類，

當(dāng)t≥1時(shí)，f（x）在[t，t+1]上是增函數(shù)，

當(dāng)t≤0時(shí)，f（x）在[t，t+1]上是減函數(shù)，

當(dāng)0lt;tlt;1時(shí)，f（x）在[t，t+1]上不是單調(diào)函數(shù)。

正確結(jié)果應(yīng)為g（x）=

例二已知函數(shù)f（x）=|x-3|+|x+1|，作函數(shù)f（x）的圖像。

分析：f（x）是分段函數(shù)，所以按其零點(diǎn)分區(qū)間去掉兩個(gè)絕對(duì)值來(lái)分類討論

解：當(dāng)x≤-1時(shí)， f（x）=3-x-x-1=-2x+2;

當(dāng)-1lt;x≤3時(shí)，f（x）=3-x+x+1=4;

當(dāng)xgt;3時(shí)，f（x）=x-3+x+1=2

即f（x）=""""""""" （圖像略）

例三 設(shè)x?R，用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則y=[x]稱為高斯函數(shù).

例如：[-5.1]=-6，[π]=3.巳知函數(shù) f（x）=，則函數(shù)y=[f（x）]的值可能為_(kāi)________。

解析：要求[f（x）]的可能值，先要弄清f（x）的值域，

當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0；當(dāng)x≠0時(shí)，f（x）=

∵?（-∞ ，-2]U[2，+∞）∴f（x）?[-，0）U（0，].

綜上，得f（x）?[-，].

當(dāng)f（x）?[-，0）時(shí)，[f（x）]=-1；當(dāng)f（x）?[0，]時(shí)，[f（x）]=0.

所以填空為 -1或0.