為實(shí)現(xiàn)吊桿索力的張拉方案優(yōu)化，提高系桿拱橋吊桿構(gòu)件可靠性，文章提出了一種基于改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法的鋼箱系桿拱橋索力優(yōu)化模型，推導(dǎo)了系梁和拱肋應(yīng)變能表達(dá)式，綜合系梁線形撓度偏差建立了吊桿索力優(yōu)化的雙目標(biāo)函數(shù)，采用改進(jìn)的NSGA-Ⅱ算法設(shè)計(jì)了吊桿索力優(yōu)化流程，并以某鋼箱系桿拱橋?yàn)楣こ瘫尘?，?yàn)證了該優(yōu)化模型和優(yōu)化方法的可行性。結(jié)果表明：改進(jìn)的NSGA-Ⅱ算法在求解吊桿索力優(yōu)化問題中具有良好的適應(yīng)性；優(yōu)化后邊索索力存在一定下降，跨中索力得到一定的增長，整體索力較為均勻；優(yōu)化后主梁彎矩峰值降低8.59%，撓度峰值降低16.37%，提高了結(jié)構(gòu)可靠性和安全冗余。

系桿拱橋；施工監(jiān)控；索力優(yōu)化；多目標(biāo)優(yōu)化；NSGA-Ⅱ算法

U448.22A341194

作者簡介：

陳文華（1989—），工程師，主要從事高速公路工程項(xiàng)目施工質(zhì)量管理、材料物質(zhì)及機(jī)械設(shè)備管理工作。

0" 引言

系桿拱橋是兼具了拱橋與梁橋優(yōu)點(diǎn)，并由拱肋、系桿和吊桿三種基本構(gòu)件構(gòu)成的組合受力橋型。系桿拱橋結(jié)構(gòu)體系中拱肋能夠承受較大的彎矩和軸力，系梁承受較大的彎矩，拱肋和系梁通過吊桿進(jìn)行連接，拱肋為系梁提供豎向分力以滿足使用需求。在系桿拱橋結(jié)構(gòu)體系中，吊桿作為最關(guān)鍵的傳力構(gòu)件，其可靠性直接影響系桿拱橋橋梁結(jié)構(gòu)體系的可靠性，因此系桿拱橋體系中吊桿的受力特性是眾多專家學(xué)者熱衷于研究的工程問題之一。

王憲玉等［1］以大跨度鋼管混凝土系桿拱橋吊桿索力為研究對(duì)象，采用能量法推導(dǎo)了不同約束條件下的系桿拱橋索力表達(dá)式，在優(yōu)化設(shè)計(jì)索力的基礎(chǔ)上對(duì)成橋和運(yùn)營階段的索力展開實(shí)測分析，得到了吊桿計(jì)算抗彎剛度與實(shí)際抗彎剛度之間的異同。彭桂瀚［2］研究了吊桿布置形式對(duì)系桿拱橋結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性與動(dòng)力特性的影響，對(duì)比了等間距、平行和徑向吊桿布置方式對(duì)結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)特性的影響，得到了提高系桿拱橋面內(nèi)剛度的吊桿布置方式。聶尚杰等［3］以強(qiáng)健性為基本設(shè)計(jì)理念，通過結(jié)構(gòu)計(jì)算對(duì)破斷工況下的吊桿、系桿等構(gòu)件進(jìn)行受力分析，并基于已有數(shù)據(jù)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，得到了滿足強(qiáng)健性設(shè)計(jì)方法的大跨徑鋼管混凝土系桿拱橋結(jié)構(gòu)參數(shù)，提高了結(jié)構(gòu)安全冗余。齊鵬等［4］基于影響矩陣原理提出了一種特大跨徑系桿拱橋吊桿索力的優(yōu)化方法，通過實(shí)際工程驗(yàn)證了該吊桿索力優(yōu)化方法在工程中的有效性，提升了系桿拱橋結(jié)構(gòu)受力的合理性。高婧等［5］同樣以影響矩陣為工具建立了多跨系桿拱橋吊桿索力優(yōu)化模型，對(duì)比了6種吊桿張拉方案下的結(jié)構(gòu)受力與變形，得到了保證構(gòu)件應(yīng)力分布均勻的吊桿張拉方案。

索力優(yōu)化問題一直以來是大跨度橋型的熱點(diǎn)研究問題［6-7］。從相關(guān)研究中可以發(fā)現(xiàn)，系桿拱橋中的吊桿索力優(yōu)化問題仍然依賴于比較傳統(tǒng)的優(yōu)化方法，優(yōu)化效率較低。基于此，為提高系桿拱橋吊桿索力可靠度，提升結(jié)構(gòu)整體可靠性，本文以實(shí)際工程為背景，建立了一種基于改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法的鋼箱系桿拱橋索力優(yōu)化模型，相關(guān)結(jié)果可為類似研究提供一定的參考。

1" 工程背景及結(jié)構(gòu)有限元模型

某下承式系桿拱橋設(shè)計(jì)全長為1 168 m，其中主橋采用預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)梁鋼箱拱肋組合橋，由變截面預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)梁主梁、拱肋、吊桿及系桿組成，跨徑布置為（80+160+80）m。橋型布置如下頁圖1所示。

為模擬鋼箱系桿拱橋空間靜力特性，采用有限元軟件建立橋梁數(shù)值計(jì)算模型，橋面系采用空間梁單元模擬，拉索采用桁架單元模擬。根據(jù)承臺(tái)基礎(chǔ)實(shí)際情況對(duì)承臺(tái)底面設(shè)置彈性約束，有限元模型如下頁圖2所示。

2" 考慮多目標(biāo)的吊桿索力優(yōu)化模型

系桿拱橋結(jié)構(gòu)內(nèi)部為多次超靜定體系［8-9］，主梁通過吊桿將梁上的大部分荷載傳遞至拱肋，在這個(gè)過程中，系桿拱橋拱肋主要以承壓為主，受彎為輔。其結(jié)構(gòu)體系主要受力構(gòu)件的應(yīng)變能總和，如式（1）所示：

E=∫Mg（x）22EgIgdx+

∫Ng（x）22EgAgdx+

∫Mx（x）22ExIxdx+∫Nx（x）22ExAxdx（1）

式中：E——結(jié)構(gòu)主要受力構(gòu)件所承受的應(yīng)變能總和；

Mg、Mx——拱肋、系桿承受的彎矩；

Ng、Nx——拱肋、系桿承受的軸力；

Eg、Ig、Ag——拱肋的彈性模量、截面慣性矩和截面面積；

Ex、Ix、Ax——系桿的彈性模量、截面慣性矩和截面面積。

采用有限元的方法對(duì)大跨度系桿拱橋進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)需要對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散化，根據(jù)離散單元的內(nèi)力計(jì)算結(jié)果推導(dǎo)任意截面的內(nèi)力值。假設(shè)離散單元兩端的截面面積與彈性模量相同，則任意離散單元截面的內(nèi)力可表示為式（2）和式（3）：

M（x）=Ml，n+Mr，n－Ml，nLn（2）

N（x）=Nl，n+Nr，n－Nl，nLn（3）

式中：M、N——單元離散后任意微分單元的彎矩、軸力；

Ml，n、Mr，n——微分單元左、右端的彎矩；

Nl，n、Nr，n——微分單元左、右端的軸力；

Ln——微分單元的單元長度。

基于改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法的鋼箱系桿拱橋索力優(yōu)化研究/陳文華

此時(shí)，離散后的結(jié)構(gòu)體系應(yīng)變能由各微分單元的彎曲應(yīng)變能和拉壓應(yīng)變能共同組成，其表達(dá)式為式（4）：" U=∑jn=1Ln6EnIn

（M2l，n+Mr，nMl，n+M2r，n）

+

∑jn=1Ln6EnAn（N2l，n+Nr，nNl，n+N2r，n）" （4）

式中：En、In和An——離散單元n的截面彈性模量、慣性矩和截面面積；

j——結(jié)構(gòu)離散后的單元總數(shù)。

除結(jié)構(gòu)體系應(yīng)變能外，主梁線形也是大跨度系桿拱橋索力優(yōu)化的關(guān)鍵優(yōu)化目標(biāo)之一，為實(shí)現(xiàn)主梁線形的精確控制，確保主梁在最不利荷載組合下不發(fā)生失穩(wěn)，定義主梁線形誤差為δ，則主梁線形誤差可表示為式（5）：

δ=1s∑si=1hi，ture－h(huán)i，target2（5）

式中：s——主梁線形標(biāo)高控制點(diǎn)數(shù)量；

hi，ture——第i個(gè)主梁線形標(biāo)高控制點(diǎn)的計(jì)算線形標(biāo)高；

hi，target——第i個(gè)主梁線形標(biāo)高控制點(diǎn)的設(shè)計(jì)目標(biāo)標(biāo)高。

綜合上述原理，建立鋼箱系桿拱橋吊桿索力優(yōu)化模型。由于結(jié)構(gòu)體系呈對(duì)稱分布，以第9根吊桿為對(duì)稱軸，故取半結(jié)構(gòu)吊桿索力進(jìn)行尋優(yōu)，以簡化優(yōu)化問題的計(jì)算量。定義系桿拱橋吊桿索力矩陣為X=［x1，x2，…，x9］T，目標(biāo)函數(shù)取由結(jié)構(gòu)彎曲應(yīng)變能、拉壓應(yīng)變能組成的結(jié)構(gòu)體系應(yīng)變能和主梁線形誤差，結(jié)構(gòu)體系應(yīng)變能和線形誤差目標(biāo)函數(shù)均取最小化，吊桿可靠度通過約束條件進(jìn)行考慮，吊桿索力優(yōu)化模型目標(biāo)函數(shù)如式（6）所示：

minQ（X）=min{U，δ}（6）

式中：Q（X）——系桿拱橋吊桿索力優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。

約束條件從三個(gè)方面進(jìn)行考慮：（1）基于目標(biāo)函數(shù)設(shè)置約束條件，對(duì)于應(yīng)變能U，將由系梁承受的彎曲應(yīng)變能進(jìn)行約束，防止系梁截面出現(xiàn)截面彎矩超限的情況；（2）對(duì)于主梁線形δ，約束其最大豎向撓度低于主梁撓度限值；（3）對(duì)于待優(yōu)化設(shè)計(jì)變量吊桿索力向量X，約束其相鄰索力差值在合理范圍之內(nèi)，防止相鄰索力差過大致使主梁內(nèi)力分布不合理的情況出現(xiàn)［10-11］。根據(jù)以上分析，建立吊桿索力優(yōu)化模型的約束條件如式（7）～（9）所示：

Mmin≤M≤Mmax（7）

δ≥δ0（8）

∑17i=1xi+1－xixi+12≤Δ

（9）

3" 基于改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法的吊桿索力求解方法

3.1" 改進(jìn)的NSGA-Ⅱ算法

NSGA-Ⅱ算法是以遺傳算法為基本原理，在NSGA算法基礎(chǔ)上提出的第二代非支配排序多目標(biāo)遺傳算法。NSGA-Ⅱ算法在保留了第一代非支配排序遺傳算法優(yōu)點(diǎn)的前提下，引入了快速非支配排序方法，大大降低了算法復(fù)雜度。本文對(duì)NSGA-Ⅱ中交叉與變異算子操作進(jìn)行改進(jìn)，以提升算法尋優(yōu)能力，并將其應(yīng)用于考慮吊桿可靠度指標(biāo)的系桿拱橋多目標(biāo)索力尋優(yōu)問題。

3.1.1" 基于改進(jìn)累積非支配的排序策略

在標(biāo)準(zhǔn)NSGA-Ⅱ算法中，快速非支配排序方法在一定程度上避免了多目標(biāo)優(yōu)化問題中多個(gè)目標(biāo)函數(shù)被加權(quán)為單適應(yīng)度值進(jìn)行排序的缺陷。但該非支配排序法仍然存在一定的局限性，染色體種群中密度大小不一致的個(gè)體的非支配排序值可能出現(xiàn)相同的情況，這就導(dǎo)致了密度不同但排序值相同的個(gè)體在進(jìn)化過程中的演變概率相同，影響染色體種群的多樣性。本文引入一種基于累積排序值的非支配排序法對(duì)排序策略進(jìn)行改進(jìn)，假設(shè)第t代種群中染色體的個(gè)體集為qx1，qx2，…，qxn，則定義染色體x的累積非支配排序值如式（10）所示［12-14］：

r（x，t）accumulate=r（x，t）+∑ni=1r（qxi，t）（10）

式中：r（x，t）accumulate——第t代染色體個(gè)體的累積非支配排序值。

3.1.2" 動(dòng)態(tài)交叉、變異算子

交叉率與變異率決定了NSGA-Ⅱ算法種群的演化策略和趨勢，交叉率越大則在每一輪進(jìn)化中染色體個(gè)體參與交叉的部分更多。本文采用一種基于動(dòng)態(tài)的交叉、變異算子進(jìn)行染色體雜交，表達(dá)式如式（11）和式（12）所示：

Pc=（Pc1－Pc2）（favg－fa）fmax－favg，fa，max＞favg

Pc1，fa，max≤favg

（11）

Pm=（Pm1－Pm2）（favg－fa）fmax－favg，fa，max＞favg

Pm1，fa，max≤favg（12）

式中：Pc、Pm——改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法的交叉率和變異率；

Pc1、Pc2——交叉率的上、下限值，Pc1＞Pc2；

Pm1、Pm2——變異率的上、下限值，Pm1＞Pm2；

fa、fa，max——選定個(gè)體a的當(dāng)前適應(yīng)度與歷史最優(yōu)適應(yīng)度值；

fmax、favg——種群適應(yīng)度最優(yōu)值和平均值。

3.2" 基于改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法的索力求解方法

基于提出的改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法對(duì)考慮吊桿可靠度指標(biāo)的系桿拱橋多目標(biāo)索力優(yōu)化模型進(jìn)行求解，算法編程平臺(tái)為MATLAB，求解流程設(shè)計(jì)如圖3所示。

具體步驟如下：

（1）算法初始化。初始化改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法染色體種群，設(shè)置算法基本參數(shù)，如最大進(jìn)化代數(shù)、交叉率上下限值、變異率上下限值等信息。

（2）目標(biāo)函數(shù)適應(yīng)度計(jì)算。通過MATLAB軟件與有限元平臺(tái)進(jìn)行數(shù)據(jù)交互，基于有限元數(shù)值模型計(jì)算目標(biāo)

函數(shù)值，得到系桿拱橋結(jié)構(gòu)體系應(yīng)變能、主梁線形撓度數(shù)據(jù)，返回MATLAB軟件的改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法中作為種群適應(yīng)度指標(biāo)，判別個(gè)體優(yōu)劣程度。

（3）非支配排序與擁擠度計(jì)算?；诶鄯e排序值原理對(duì)種群進(jìn)行快速非支配排序，并對(duì)非支配個(gè)體計(jì)算擁擠度，根據(jù)種群擁擠度信息生成新的父代種群。

（4）交叉與變異?；趧?dòng)態(tài)交叉、變異原理計(jì)算當(dāng)前進(jìn)化代次的交叉率和變異率值，基于新的父代種群采取交叉、變異操作，生成新的子代種群，并與有限元軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)交互，計(jì)算子代種群的目標(biāo)函數(shù)值與適應(yīng)度信息。

（5）終止條件判斷。判斷種群是否滿足設(shè)置的最大進(jìn)化代數(shù)，若滿足則算法進(jìn)程終止，輸出Pareto解集并解碼得到符合目標(biāo)函數(shù)設(shè)計(jì)的吊桿索力組合，若不滿足則重復(fù)步驟（3）和步驟（4）。

4" 優(yōu)化結(jié)果分析

基于MATLAB軟件編寫優(yōu)化程序，改進(jìn)NSGA-Ⅱ算法相關(guān)參數(shù)如下：種群規(guī)模為30，最大進(jìn)化代數(shù)為200，Pc1=0.9，Pc2=0.4，Pm1=0.1，Pm2=0.004，取兼顧結(jié)構(gòu)體系應(yīng)變能和主梁線形撓度偏差兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)的候選方案進(jìn)行分析。如圖4所示給出了設(shè)計(jì)索力與優(yōu)化索力的分布結(jié)果。由圖4可知，優(yōu)化后邊索1#、2#和16#、17#索力出現(xiàn)明顯降低，其中1#和17#號(hào)吊桿索力由2 420 kN降低至2 360 kN，降幅達(dá)2.48%。中索8#、9#、10#相較于優(yōu)化前顯著提升，其中跨中9#吊桿索力由2 200 kN提升至2 260 kN，最大增幅約2.73%。其余各索與優(yōu)化前差異較小，相對(duì)變化量＜1%。由于約束條件中考慮了相鄰索力之間的均勻度限制，吊桿索力極差由220 kN降低至102 kN，吊桿索力整體均勻度得到改善。

如圖5所示給出了主梁跨中關(guān)鍵截面的彎矩分布曲線。由圖5可知，越靠近橋墩側(cè)主梁正彎矩越小，且差異較小，越靠近跨中部位主梁正彎矩越大，且主梁彎矩降幅越大。優(yōu)化前主梁跨中截面最大正彎矩為7.92×106 kN·m，優(yōu)化后該截面峰值彎矩降至7.24×106 kN·m，最大降幅約為8.59%，說明優(yōu)化后的吊桿索力在一定程度上降低了主梁在恒載下的彎矩，提升了主梁承受活載效應(yīng)的能力。

如圖6所示給出了主梁部分截面的撓度變化曲線。由圖6可知，由于邊索索力的降低，優(yōu)化后80～100 m、220～240 m的部分截面主梁撓度相較于優(yōu)化前存在一定的增大。主梁跨中撓度峰值由5.07 cm減小至4.24 cm，最大降幅約為16.37%。優(yōu)化后主梁線形撓度明顯改善，提高了結(jié)構(gòu)安全冗余。

5" 結(jié)語

本文針對(duì)鋼箱系桿拱橋的吊桿索力優(yōu)化問題，提出了一種考慮吊桿索力可靠度指標(biāo)的索力優(yōu)化方法。綜合考慮結(jié)構(gòu)體系應(yīng)變能以及主梁線形建立了系桿拱橋吊桿索力多目標(biāo)優(yōu)化模型，將吊桿索力可靠度指標(biāo)轉(zhuǎn)化為模型約束條件，采用改進(jìn)的NSGA-Ⅱ算法對(duì)考慮可靠度指標(biāo)約束的多目標(biāo)索力優(yōu)化問題進(jìn)行求解，得到結(jié)論如下：

（1）建立了考慮吊桿索力可靠度指標(biāo)的系桿拱橋吊桿索力優(yōu)化模型，以結(jié)構(gòu)體系應(yīng)變能和主梁線形撓度為目標(biāo)函數(shù)，吊桿可靠度指標(biāo)為約束條件，實(shí)現(xiàn)了系桿拱橋的吊桿索力優(yōu)化。

（2）優(yōu)化后結(jié)構(gòu)邊索索力有所降低，1#、17#號(hào)索降幅約為2.48%，跨中8#～10#號(hào)索力明顯增長，其中9#號(hào)中索的索力由2 200 kN提升至2 260 kN，增幅約為2.73%。優(yōu)化后索力平均可靠度指標(biāo)由3.906增長至4.010，降低了結(jié)構(gòu)索力失效概率。

（3）優(yōu)化后結(jié)構(gòu)主梁跨中彎矩峰值由7.92×106 kN·m降低至7.24×106 kN·m，降幅約為8.59%。主梁跨中撓度峰值由5.07 cm減小至4.24 cm，降幅約為16.37%。優(yōu)化前后的結(jié)構(gòu)響應(yīng)表明，考慮可靠度指標(biāo)的系桿拱橋吊桿索力優(yōu)化模型在一定程度上改善了結(jié)構(gòu)內(nèi)力與變形，同時(shí)提高了吊桿可靠性，可為類似工程提供一定的參考。

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20240312