壯志雄心

我是2010年由全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽保送的北京大學(xué)，專業(yè)是電子信息與技術(shù)。博士階段，我的研究方向和人工智能打交道比較多。2019年博士畢業(yè)時(shí)的就業(yè)選擇蠻多的，比如高校教職、投資銀行、互聯(lián)網(wǎng)大廠之類的。但我義無反顧地選擇了北京的一所重點(diǎn)中學(xué)。這并不是一個(gè)“躺平”的決定。“成為中學(xué)數(shù)學(xué)老師”，這個(gè)念頭在我心里已經(jīng)盤桓了六七年。讀大三、大四的時(shí)候，我就認(rèn)定：想要改變一代人最快的方式，是出現(xiàn)在他們形成世界觀最關(guān)鍵的中學(xué)時(shí)光里。大學(xué)時(shí)期，我對(duì)自己的成長(zhǎng)環(huán)境有過反思。我感到，我們這代——至少我看到的北大的學(xué)生——并沒有我想象中的那么好。首先，我們這代學(xué)生的目標(biāo)性非常弱。我剛上大一和大二的時(shí)候，所有人想的都是考GRE，刷GPA，然后去美國(guó)讀一個(gè)很好的學(xué)校，但是具體為什么要這樣，很少人說得清楚。帶著一點(diǎn)理想主義，我產(chǎn)生了這樣的疑問：假設(shè)清華北大兩所高校集中了全國(guó)最優(yōu)秀的人才，而這些人才的追求只是一個(gè)更舒適的環(huán)境，不是有點(diǎn)可惜么？為什么我們不能選擇做一些有可能引領(lǐng)時(shí)代變革的事兒呢？

在大一、大二的時(shí)候，我也曾經(jīng)努力把績(jī)點(diǎn)刷到了專業(yè)前列?？尚闹心欠N隱隱的“不對(duì)勁感”變得明確起來。我意識(shí)到，即便北大學(xué)生也在延續(xù)面對(duì)中高考的學(xué)習(xí)態(tài)度，而大學(xué)專業(yè)課的考試方式和中學(xué)考試依舊相通。應(yīng)試類考試檢測(cè)出的是一個(gè)人有沒有用心學(xué)，但考95分的學(xué)生掌握知識(shí)的水平未必比考80分的學(xué)生高，沒準(zhǔn)只是他猜老師出題方向的水平更高。從大二下學(xué)期開始，我陸續(xù)參加了一些校級(jí)學(xué)生社團(tuán)，和不同專業(yè)的同學(xué)們的交流多起來，觀察的視角從自己轉(zhuǎn)到了他人身上。我發(fā)現(xiàn)即使在北大這個(gè)優(yōu)秀生集中的群體，學(xué)生的思維模式也容易固化在學(xué)科內(nèi)部。比如物理專業(yè)的同學(xué)在解決一個(gè)問題時(shí)，可能會(huì)以自己不會(huì)編程或者編程能力弱為由，卡住不做了。我很困惑：當(dāng)我們面對(duì)一個(gè)現(xiàn)實(shí)或科研的問題時(shí)，難道不是應(yīng)該能往前邁多大的步子，就先邁多大步子試一試么？對(duì)于專業(yè)以外不熟悉的內(nèi)容，以北大學(xué)生的能力，不應(yīng)該很快就能自學(xué)會(huì)么？我猜想，我們這代人缺失以問題為導(dǎo)向、解決問題的能力，還有與之相伴的快速學(xué)習(xí)能力，以及對(duì)于不同學(xué)科思維的包容態(tài)度等等。這些東西的缺失，或許根源在中學(xué)。12歲到18歲是一個(gè)人形成世界觀和解決問題的思路的時(shí)期，如果這個(gè)時(shí)期青少年接受的只是應(yīng)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化考試的教育，就很容易認(rèn)可在每個(gè)學(xué)科內(nèi)，每個(gè)問題應(yīng)該有一個(gè)“正確”答案。如果中學(xué)生不斷被提醒“在數(shù)學(xué)考試中不要用物理學(xué)的論述方法”、“信息課高考不考不重要”、 “紙筆考試不接受近似解”、“高考不讓用計(jì)算器，所以算對(duì)才是最重要的”……那么他們就會(huì)形成一種思維定勢(shì)：“見到問題先掏紙筆開始推演”，“學(xué)科之間應(yīng)該有嚴(yán)格界限”。到了大學(xué)，這些固化的思維定勢(shì)可能已經(jīng)改不動(dòng)了。在大二、大三形成了職業(yè)規(guī)劃的雛形后，本科畢業(yè)我選擇了直博。我想把專業(yè)學(xué)習(xí)這條路走到頭，我的個(gè)人科研經(jīng)歷也會(huì)對(duì)未來的學(xué)生們有所啟發(fā)和參考。博士畢業(yè)后，我順利通過校招進(jìn)入北京一所知名中學(xué)。

工作前，我已結(jié)婚、買房，經(jīng)濟(jì)上壓力不大。我太太很鼓勵(lì)我做自己喜歡的工作，我父母對(duì)我一切人生重大選擇均不干涉。作為北京的中學(xué)老師，在不愁住房的基礎(chǔ)上，衣食無憂基本上是可以保證的。有了物質(zhì)基礎(chǔ)，我夢(mèng)想著可以對(duì)中學(xué)教育做出點(diǎn)刷分以外的改變。

數(shù)學(xué)到底教什么

入職中學(xué)后的頭兩年，我在工作上可以說是順風(fēng)順?biāo)?。我在初中部教三個(gè)班的數(shù)學(xué)課。一般來說，新老師容易把控不好課堂紀(jì)律，但我不存在這樣的問題。因?yàn)槲沂峭ㄟ^競(jìng)賽保送北大的，也曾經(jīng)在北大專業(yè)績(jī)點(diǎn)排名前列，學(xué)生們對(duì)我有一種“天然崇拜”，具體表現(xiàn)就是聽講比較認(rèn)真。對(duì)教師這個(gè)職業(yè)，我適應(yīng)得也很快。博士生教中學(xué)不存在技術(shù)難題。只要認(rèn)真，教學(xué)技法上的打磨短則兩三年，長(zhǎng)則四五年，差不多都能掌握到位。而且因?yàn)榻痰氖浅踔?，我不直面高考，壓力也沒有那么大。那時(shí)候，我上課比較“放飛自我”，比如講著講著就不按課本來了，開始在某個(gè)點(diǎn)上進(jìn)行深入探究。因?yàn)閷W(xué)生的素質(zhì)普遍很高，我按照什么方式講，其實(shí)對(duì)他們的影響不會(huì)太大，學(xué)生們也都挺接受的。

但很快，我的理想主義就和現(xiàn)實(shí)迎面相撞。工作第三年，我進(jìn)入到高中數(shù)學(xué)體系中來，最大的變化就是課堂內(nèi)容要和高考勾連起來，我一下子變得特別難以適應(yīng)。按照高考的要求和高考的方法教優(yōu)秀生如何做題，對(duì)我最大的打擊在于，我認(rèn)為數(shù)學(xué)不應(yīng)該這么學(xué)。數(shù)學(xué)應(yīng)該是這樣：對(duì)于一個(gè)問題，學(xué)生們?nèi)绻惺N不同的解法，不妨敞開了說，互相之間進(jìn)行思維碰撞。而在解題過程中，書寫、邏輯有一點(diǎn)漏洞，大可以忽略不計(jì)。然而，應(yīng)對(duì)高考這種標(biāo)準(zhǔn)化考試的教學(xué)邏輯恰恰相反，與其讓學(xué)生們?cè)谡n上討論十種解法，不如通過重復(fù)性的訓(xùn)練，掌握好其中兩種解法。道理很簡(jiǎn)單，一個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力再強(qiáng)，也很難把十種方法里的每一個(gè)細(xì)節(jié)都掌握到位。如果只選擇其中兩種，完全可以訓(xùn)練得極為熟練，即使在高考考場(chǎng)上答錯(cuò)了結(jié)果，也能拿到絕大部分過程分。如果以高考考查的邏輯的規(guī)范性和嚴(yán)謹(jǐn)性作為準(zhǔn)繩，數(shù)學(xué)教育還會(huì)損失其他一些重要的東西。高中數(shù)學(xué)課堂上有一個(gè)老師們很容易忽略，但在我看來特別重要的部分：數(shù)學(xué)史。它和高考也無甚關(guān)聯(lián)——一道高考數(shù)學(xué)題的通常解法是采用16世紀(jì)發(fā)明的解法，你了解數(shù)學(xué)史后選擇用18世紀(jì)出現(xiàn)的解法來解，對(duì)拿分來說有可能“費(fèi)力不討好”。但我堅(jiān)信，在學(xué)習(xí)一個(gè)單元的時(shí)候，學(xué)生們需要知道歷史上的數(shù)學(xué)家研究到什么程度，是否還有可供繼續(xù)探究的空間。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要“以史為鑒”，這是啟蒙學(xué)生研究能力的發(fā)端。舉例來說，現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂和高考中考察的“圓錐曲線”是基于平面解析幾何的一種計(jì)算法。那么，為什么要用平面解析幾何的方法來研究橢圓？為什么要建立平面直角坐標(biāo)系？學(xué)生們是不清楚的，這些問題需要引入公元以前的數(shù)學(xué)史來回答。另外，題目中出現(xiàn)的橢圓都是特別對(duì)稱的正橢圓，如果遇到生活中常見的斜橢圓又該怎么解？坐標(biāo)變換這種方法雖然高考不考察，卻是18世紀(jì)后的數(shù)學(xué)史的重要一部分?？偟膩碚f，目前圓錐曲線考的只是一個(gè)點(diǎn)，但我希望學(xué)生了解圓錐曲線的“前世今生”。這樣當(dāng)他們遇到更復(fù)雜的生活場(chǎng)景時(shí)，才有可能生發(fā)出解決之道。高中階段的數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)分別是：數(shù)學(xué)抽象（Mathematical Abstraction）、邏輯推理（Logical Reasoning）、數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling）、直觀想象（Intuitive Imagination）、數(shù)學(xué)運(yùn)算（Mathematical Operations）、數(shù)據(jù)分析（Data Analysis）。但是從教學(xué)實(shí)踐來看，一些數(shù)學(xué)老師并未把數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析納入數(shù)學(xué)課堂中，并且研究核心素養(yǎng)遠(yuǎn)不如研究命題更有性價(jià)比。課標(biāo)和教材中出現(xiàn)的部分內(nèi)容，如果高考不考，很容易被忽視，例如蒙特卡洛算法。這是一個(gè)如今各個(gè)學(xué)科普遍使用的模擬和數(shù)值計(jì)算方法，因?yàn)楦呖伎疾榉秶宦匀ズ芸上А?/p>

對(duì)于大多數(shù)人來說，學(xué)數(shù)學(xué)的目的是應(yīng)用，學(xué)完以后全忘了是很可悲的。何謂“應(yīng)用”？不是課本上的應(yīng)用題，也不是數(shù)學(xué)老師們編造出來的“情境任務(wù)”，而是要來自真實(shí)的學(xué)科或生活中的問題。但許多老師認(rèn)為這不是數(shù)學(xué)，尤其是從真實(shí)問題場(chǎng)景中提取出來數(shù)學(xué)模型的過程，覺得這東西不該他們管。如果每時(shí)每刻都以應(yīng)試為導(dǎo)向，意味著該由走彎路鍛煉、養(yǎng)成數(shù)學(xué)能力的道路，被老師人為“拉直”了。這樣的結(jié)果是會(huì)做高考題，但是不會(huì)用數(shù)學(xué)，甚至畢業(yè)之后很快把中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)忘得一干二凈。這是發(fā)生在我們這代人身上的普遍現(xiàn)象。

平衡

如今是我工作的第五年，在經(jīng)歷了與高考“對(duì)撞”的不適之后，我沒有敗下陣來，投子認(rèn)輸，而是慢慢摸索出了一條中間道路。我欣喜地發(fā)現(xiàn)，中學(xué)的教育體系在“內(nèi)卷”的過程當(dāng)中至少還留了一些喘息的空間?，F(xiàn)在，我會(huì)明確把教學(xué)分成兩個(gè)部分。常規(guī)數(shù)學(xué)課堂的目的很明確，就是讓學(xué)生在高考中取得高分。這方面學(xué)校學(xué)科組集體教研的成果就夠用了，只需要聽從資深教師們的總結(jié)，出來的成績(jī)問題不會(huì)太大。

我出于興趣還在學(xué)校開發(fā)了人工智能課、數(shù)據(jù)分析課。當(dāng)一個(gè)學(xué)生距離高考還比較遠(yuǎn)的時(shí)候，我就可以讓他們通過這些課程鍛煉數(shù)學(xué)思維，比如結(jié)合計(jì)算機(jī)去講微積分和線性代數(shù)。我也讓學(xué)生學(xué)會(huì)去面對(duì)生活中的“真問題”。比如，大語言模型的出現(xiàn)與廣泛應(yīng)用就是現(xiàn)實(shí)生活中的一個(gè)“真問題”。去年課上，我在沒有通知年級(jí)語文老師的情況下，要求學(xué)生借助大語言模型寫作文，可以在此基礎(chǔ)上進(jìn)行修改。如果作文拿到了高分，那學(xué)生本人同時(shí)拿到好成績(jī)。真相大白后，有的語文老師的反應(yīng)讓我拍案叫絕。他們發(fā)現(xiàn)用這種方法訓(xùn)練學(xué)生寫作文，特別是議論文，比從頭開始練要快得多。于是，他們建議那些對(duì)寫作毫無思路的孩子們，先用大語言模型生成一個(gè)二類以上文章，再自己想辦法進(jìn)行修改。

在高考體系以外，圍繞數(shù)學(xué)展開的還有兩類競(jìng)賽。一類是奧林匹克競(jìng)賽。我們常說的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、信息學(xué)五大學(xué)科競(jìng)賽從屬于國(guó)際奧林匹克競(jìng)賽組織，它們的知名度最高，也和高考升學(xué)有一定關(guān)系。數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽和高考數(shù)學(xué)同為卷面考試，區(qū)別在于前者對(duì)積累而來或者靈光一現(xiàn)誕生的“數(shù)學(xué)技巧”要求更高，用更通俗的話來講，叫做天賦。另一類是這些年不斷興起的科創(chuàng)類比賽，就是由學(xué)生自主選題、做科研項(xiàng)目的比賽。在學(xué)校里，我?guī)ьI(lǐng)學(xué)生參加科創(chuàng)競(jìng)賽。面對(duì)競(jìng)賽，必須要先回答一個(gè)問題：參與競(jìng)賽的根本目的是什么？是為了得獎(jiǎng)，還是為了讓學(xué)生通過競(jìng)賽的過程鍛煉數(shù)學(xué)思維，提高解決實(shí)際問題的能力？如果不能明確目的，競(jìng)賽就會(huì)走偏。這類科創(chuàng)類比賽的一個(gè)問題是難以保證完全由學(xué)生自主完成，另一個(gè)問題是評(píng)獎(jiǎng)結(jié)果受到評(píng)委偏好的影響。每年評(píng)委名單是公布的，他們的研究方向也很容易發(fā)掘出來。但我很少去分析評(píng)委偏好這些。我又不會(huì)為迎合他們的偏好讓學(xué)生換選題。對(duì)學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展而言，經(jīng)歷比得獎(jiǎng)更有意義。我還有一個(gè)擔(dān)憂，現(xiàn)在的科創(chuàng)大賽總喜歡用學(xué)術(shù)前沿、科技前沿的內(nèi)容來考察學(xué)生，但很容易忘記做科創(chuàng)大賽的目的是為了培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，把創(chuàng)造性的思維執(zhí)行下去、系統(tǒng)化地輸出出來的能力。簡(jiǎn)單來說：這個(gè)問題是不是學(xué)生自己選的？他是不是利用他現(xiàn)有的知識(shí)積累就把這個(gè)問題解決了？他解決到了什么程度，或者能不能給一個(gè)合理的解釋？即使現(xiàn)有的知識(shí)解決不了，他能不能變著法地把這個(gè)問題簡(jiǎn)化到現(xiàn)有的知識(shí)能解決的范圍？

天賦與焦慮

我們學(xué)校是重點(diǎn)中學(xué)，孩子各方面的條件都很好。總有家長(zhǎng)喜歡追問什么叫“明顯不同的天賦”，怎么去發(fā)現(xiàn)孩子的天賦。但我發(fā)現(xiàn)，大家喜歡尋找天賦，但卻往往不知道如何鼓勵(lì)、支持和引導(dǎo)孩子。我們的家長(zhǎng)常常有“結(jié)果焦慮”。一個(gè)典型的做法是孩子明明能完成的事情，家長(zhǎng)忍不住動(dòng)手干預(yù)。比如孩子要做一個(gè)天安門的模型，可能需要一周的時(shí)間：先去看天安門，然后回來設(shè)計(jì)、制作，期間可能不斷失敗，不斷重復(fù)，不斷嘗試，最后孩子才能把模型做好。家長(zhǎng)等不了這個(gè)過程，他覺得這個(gè)模型還不如從網(wǎng)上買來的好，理解不了過程對(duì)于孩子的重要性。當(dāng)一個(gè)孩子的天賦顯現(xiàn)出來的時(shí)候，我們有時(shí)候也表現(xiàn)得“太著急”?，F(xiàn)在，還有一些極具天賦的孩子是在“脫產(chǎn)”搞競(jìng)賽的，直接放棄其他學(xué)科。我不當(dāng)競(jìng)賽教練，不搞競(jìng)賽，因?yàn)槲也徽J(rèn)同。在我看來，如果一個(gè)孩子初一能被選到競(jìng)賽班里，就證明他的天賦非常強(qiáng)，他完全可以在正常成長(zhǎng)的基礎(chǔ)之上，再去主攻?！懊摦a(chǎn)”搞競(jìng)賽相當(dāng)于把一個(gè)天才練成了“瘸子”。

這種追求“極致”的思維也體現(xiàn)在“名校焦慮”上。有些家長(zhǎng)認(rèn)為孩子必須讀清華、北大；還有些人抱怨，北京高考數(shù)學(xué)的難度和區(qū)分度不夠高。對(duì)此，我有點(diǎn)不同想法：我不認(rèn)為高考需要篩選出來數(shù)學(xué)能力最最頂尖的孩子，然后把他們分別歸入清華北大和其他985兩類大學(xué)中。事實(shí)上，一個(gè)孩子足夠優(yōu)秀的話，他是不是就讀于清北，對(duì)他以后的發(fā)展影響并不大。學(xué)校之間的差距或許客觀存在，但放在個(gè)體身上的作用相當(dāng)微弱。更何況即便是清北，也并不占據(jù)著所有專業(yè)的第一位。我身邊很多家長(zhǎng)的“名校焦慮”其實(shí)是盲目的。我會(huì)很明確地告訴他們：你們作為“做題家”、“京一代”的成功路徑在孩子身上難以復(fù)現(xiàn)，是你們的年齡確保了你們?cè)诟鱾€(gè)領(lǐng)域說了算，你們趕上了到處都是藍(lán)海的時(shí)代?，F(xiàn)在不一樣了，我有些同學(xué)畢業(yè)十年了，還是一個(gè)普通的打工人。我想，把這個(gè)講明白，就不需要焦慮了，這意味著孩子考清華還是考個(gè)北郵其實(shí)沒區(qū)別。如果不那么焦慮，我們也許就可能讓孩子有機(jī)會(huì)去做一些真正有價(jià)值的事情。我在中學(xué)階段經(jīng)常請(qǐng)假，自學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，去書店讀書。當(dāng)時(shí)最喜歡的兩本書，一本是愛因斯坦的《相對(duì)論》，另一本是牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》。我父母很支持我的自學(xué)生活，他們是當(dāng)年的重點(diǎn)大學(xué)出身，很少過問我具體的學(xué)業(yè)情況，連家長(zhǎng)會(huì)都沒參加過幾次。撫今追昔，我意識(shí)到，一個(gè)中學(xué)生讀這兩本書的困難不在于其內(nèi)容本身有多么艱深，其實(shí)大段的時(shí)間花下去總會(huì)慢慢讀明白。真正的困難在于，你總在提心吊膽，今天語文作業(yè)要花多長(zhǎng)時(shí)間、數(shù)學(xué)作業(yè)要花多長(zhǎng)時(shí)間。完成作業(yè)后還要擔(dān)心，一個(gè)小時(shí)完不成今天的數(shù)學(xué)著作閱讀計(jì)劃了怎么辦？現(xiàn)在做了老師，我希望允許更多“幼年的我”出現(xiàn)。我能接受學(xué)生不寫數(shù)學(xué)作業(yè)，只要他把時(shí)間花費(fèi)在了更有意義的事情上。有個(gè)保送到清華大學(xué)的學(xué)生，我在他初三時(shí)發(fā)現(xiàn)了他有學(xué)物理競(jìng)賽的天賦，建議他去學(xué)習(xí)物理競(jìng)賽。作為數(shù)學(xué)教師，我無法給他專業(yè)方面的指導(dǎo)，唯一能幫助他的是允許他在數(shù)學(xué)課上不必聽講，可以有自己的安排。有的孩子在某些方面上表現(xiàn)出來天賦時(shí)，你得給他足夠的時(shí)間和空間，讓他隨意施展。

（曉潼摘自微信公眾號(hào)“三聯(lián)生活周刊”）