摘 要：【目的】砌體是土木工程的主要材料之一，其受壓本構關系是砌體結構分析中的基本物理方程，而砌體本構關系存在顯著的離散性，有必要建立能反映此特征且計算簡便的本構關系。【方法】基于軸心受壓砌體破損機制和細觀單元損傷模型，建立軸壓砌體彈塑性本構關系，通過引入細觀單元破壞應變的隨機場，從離散型和連續(xù)型兩個維度推導損傷和應力的均值及標準差表達式，并以此做進一步分析和簡化?！窘Y果】建立了基于材料強度的參數(shù)確定方法，得到易于計算和應用的本構關系及其離散范圍，分析得出軸壓砌體隨機應力—應變關系，并利用已有的試驗結果加以驗證，二者吻合良好?！窘Y論】簡化的軸心受壓砌體隨機損傷本構關系可為砌體結構分析提供參考。

關鍵詞：砌體；本構關系；軸壓；隨機損傷

中圖分類號：TU362" " " 文獻標志碼：A" " 文章編號：1003-5168（2025）01-0069-04

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2025.01.013

Research on Simplified Random Damage Constitutive Relationship of Axially Loaded Masonry

ZHENG Yanfang1 GAO Hui2 FAN Jun3

（1.Henan Provincial Construction Engineering Fire Technology Center， Zhengzhou 450000， China; 2.Henan Tonghui Road and Bridge Engineering Co.， Ltd.， Zhengzhou 452470， China; 3.Henan Provincial Construction Science and Technology and Talent Development Center， Zhengzhou 450000， China）

Abstract： [Purposes] Masonry is one of the main materials in civil engineering， and its compressive constitutive relation is the basic physical equation in the analysis of masonry structure，and since there is a significant discreteness in the constitutive relationship of masonry， it is necessary to establish a constitutive relationship that can reflect this feature and is easy to calculate. [Methods] Based on the damage mechanism of axial compression masonry and the damage model of" microscopic unit， the elastoplastic constitutive relation of axial compression masonry was established， the mean and standard deviation expressions of damage and stress are derived from the discrete and continuous dimensions， and are further analyzed and simplified. [Findings] The method of determining the parameters based on the material strength was established， and the constitutive relation and its discrete range were obtained， which were easy to be calculated and applied， and the analysis of the random stress-strain relationship of axial compression masonry is verified by the existing test results， which are in good agreement with each other. [Conclusions] The simplified random damage constitutive relation of axial compression masonry can be used for reference in the analysis of masonry structure.

Keywords： masonry; constitutive relationship; axial compression; random damage

收稿日期：2024-07-29

基金項目：河南省基礎與前沿技術研究項目（112300410242）。

作者簡介：鄭艷芳（1974—），女，本科，高級會計師，研究方向：建筑經(jīng)濟與管理。

0 引言

砌體本構關系是砌體結構分析的基本物理關系，受到越來越多的研究者關注，楊衛(wèi)忠［1］、劉桂秋等［2］、董廣萍等［3］和牛力軍等［4］利用彈簧模型和力學理論研究了砌體的本構關系，其彈塑性材料本構關系可分為彈性損傷和彈塑性損傷兩類。基于不可逆熱力學原理和隨機場理論建立起來的隨機損傷本構關系，因其具有堅實的理論基礎，同時又能描述材料的彈塑性、應變強化和軟化、離散性等特征，已在砂漿［5］、混凝土［6］、砌體［7］等材料本構關系的研究中得到諸多應用。但是，計算和參數(shù)的確定復雜是已有隨機損傷本構關系的弊端。因此，本研究以軸心受壓砌體的隨機損傷本構關系模型為基礎，研究其模型參數(shù)的簡化確定方法及表達，為砌體隨機損傷本構關系的推廣應用提供依據(jù)。

1 軸壓砌體的隨機損傷本構關系

1.1 細觀損傷模型

將軸心受壓砌體試件在細觀層次離散為若干個彈塑性元件串并聯(lián)組成的聯(lián)合體，分析其軸向應力—應變關系時可進一步等效為細觀單元的并聯(lián)模型，如圖1所示［7］。 模型中的每個細觀單元通常假定為具有相同的截面面積和彈性模量，而破壞應變則為服從某一分布的隨機變量。與已有的損傷型本構關系一樣，模型中的每個單元體兩端通過剛性體相連，從而確保每個細觀受力單元體有相同的變形。因此，組成試件的總應變[ε]由微彈簧的彈性應變[εe]和微裂縫面上的塑性應變[εn]組成，即[ε=εe+εn]。

1.2 損傷變量與隨機本構關系

采用經(jīng)典損傷力學來定義損傷變量D，即式（1）。

[D=ADA]" （1）

式中：[AD]是模型中的細觀單元體破壞而引起砌體退出工作的面積；A則是無損傷砌體試件的受力截面面積。

若圖1模型中的細觀單元總數(shù)目記為N，根據(jù)式（1）的定義，則可導出為式（2）。

[D=1Ni=1NH（εe-Δi）]" "（2）

式中：[Δi]為第i個細觀單元發(fā)生破壞時的彈性應變；[H（?）]為Heaviside 函數(shù)，即式（3）。

[H（εe-Δi）=0，εe≤Δi1，εegt;Δi]" " "（3）

由于[Δi]具有隨機場的性質，所以損傷變量[D]就為隨機變量。

用[Em]來表示細觀單元體的彈性模量，細觀單元的應力即為彈性模量與其彈性之乘積。由于宏觀砌體試件在軸心受壓可比擬為圖1所示的細觀物理模型，易于利用力學原理中的平衡條件來建立本構關系模型。在這里，此條件可表述為外加在砌體試件上的宏觀壓力必須等于細觀模型中所有未破壞的單元體內合力的總和。利用損傷的定義，再結合上述每個單元體的彈性應變和彈性模量均相同，得到試件的宏觀應力，見式（4）。

[σ=i=1NEmεe1-H（εe-Δi）AiA]" "（4）

利用式（1）和式（2）的結果，式（4）即可變換為式（5）。

[σ=Emεe（1-D）]" " " "（5）

因此，式（5）即軸壓砌體的隨機本構關系。當不考慮砌體受壓時微裂縫面的變形時，此式就是早期的彈性隨機損傷本構關系。若不考慮損傷變量的隨機性，即為一般意義上的確定性本構關系。

2 損傷和應力的均值與方差分析

2.1 損傷的均值與方差

本研究假定模型中的破壞應變[Δi]是一個各向同性、服從對數(shù)正態(tài)分布均勻隨機場，其數(shù)學期望與標準差分別為[μΔ]與[σΔ]。選擇對數(shù)正態(tài)分布均勻隨機場主要是為了滿足計算中的極限應變應為非負的要求［7］。進一步利用概率理論中的隨機變量均值和方差的定義，即可得到損傷變量的均值，見式（6）。

[μD=ED=E[1Ni=1NH（εe-Δi）]=1Ni=1NE[H（εe-Δi）]=FΔ]" "（6）

式中：[FΔ=ProbΔilt;εe]為第i個單元體的破壞極限應變的一維概率分布函數(shù)。損傷變量的方差則為式（7）。

[V2D=ED2-ED2=1NFΔ+2γ=1N-1（1-γN）FΔΔ-F2Δ] （7）

式中：[FΔΔ=ProbΔk≤εe?Δj≤εe]為隨機變量[Δk]和[Δj]的聯(lián)合概率分布函數(shù)，其中[γ=k-j]。

當單元體數(shù)目N趨于無窮大時，模型中的等效單元體就等價為一維的連續(xù)體，其破壞時的應變可以假定為連續(xù)隨機場。本研究略去一些復雜的數(shù)學推導，直接給出損傷的均值和方差的表達式 ，分別為式（8）和式（9）。

[μD=0∞01Hεe-yfΔy;xdxdy=FΔ]" " （8）

[V2D=2011-γFΔΔdγ-F2Δ]" "（9）

式中：[fΔy;x]為破壞應變在位置[x]處的一維概率分布密度函數(shù)，不失一般性，[x]假定介于0和1之間。進一步定義隨機場參數(shù)[λ]和[ζ]，分別見式（10）和式（11）。

[λ=ElnΔ（x）=lnμΔ1+σ2Δμ2Δ]" " （10）

[ζ2=VarlnΔ（x）=ln1+σ2Δμ2Δ]" "（11）

因此，[Z（x）=lnΔ（x）]就是一個服從正態(tài)分布的均勻隨機場，相應地，數(shù)學期望與標準差分別是[λ]和[ζ]。進一步假定該隨機場的相關性呈指數(shù)衰減［7］，其相關系數(shù)函數(shù)見式（12）。

[ρz=exp-ξγ]" " " " " "（12）

式中：[ξ]為相關參數(shù)。

上述分析表明，只要確定了隨機場參數(shù)[λ、ζ、ξ]，就可以確定一維概率分布函數(shù)[FΔ]和二維聯(lián)合概率分布函數(shù)[FΔΔ]，分別見式（13）和式（14）。

[FΔ=Φlnεe-λζ]" " " " "（13）

[FΔΔ=0εe0εe12πxyζ21-ρ2z?exp-12ζ21-ρ2z]

[lnx-λ2-2ρzlnx-λlny-λ]

+[lny-λ2][dxdy] （14）

式中：[Φ?]是標準正態(tài)分布函數(shù)。

2.2 應力的均值與方差

由于細觀模型中的損傷變量[D]屬于隨機變量，將彈性模量也考慮為隨機變量，分別用[μE]和[V2E]來表示彈性模量的均值和方差，而且假定為彈性模量與損傷相互獨立。對式（4）的本構關系式，利用概率論原理得出宏觀應力屬于隨機變量的結論。相應地，應力的均值和方差就可通過對式（4）計算數(shù)學期望和方差得到，分別見式（15）和式（16）。

[μσ=Eσ=μEεe1-μD]" "（15）

[V2σ=Eσ2-Eσ2=ε2eV2E1-μD2][+V2Dμ2E+V2E]" （16）

當隨機場中的任意兩個隨機變量統(tǒng)計獨立時，則聯(lián)合概率分布函數(shù)[FΔΔ]與[γ]無關，此時的[FΔΔ]等于一維概率分布函數(shù)[FΔ]的平方，相應地，損傷方差即等于0。若不考慮彈性模量的變異性，應力方差也變?yōu)?，上式則為確定性損傷本構關系。

3 隨機損傷本構關系的簡化

上節(jié)分析得到的隨機損傷本構關系理論基礎堅實，但是建立在彈性應變的基礎上，且隨機場參數(shù)需要通過隨機建模等方法加以確定，也與傳統(tǒng)的應力—應變關系式不同，有必要做進一步分析和簡化，其核心是損傷均值和標準差的計算。

3.1 應力均值計算

將均值層面上的軸壓砌體隨機應力—應變關系改寫為一般的損傷型表達式，見式（17）。

[σ=Emε1-D]" " （17）

通過對上述理論推導均值損傷進行分析，可采用如下分式進行簡化，即式（18）。

[D=1-χ1χ1+（1-χ1）ε/εpχ2]" （18）

式中：[εp]為應力—應變曲線峰值點處的應變；[χ1、χ2]為待定系數(shù)，可利用曲線的原點和峰值點的兩個特征點條件來確定，即式（19）。

[χ1=fmEmεp]，[χ2=EmεpEmεp-fm]" "（19）

式中：[fm]為應力—應變曲線峰值點處的應力，即為砌體軸心抗壓強度。

3.2 應力標準差計算

利用變異系數(shù)的定義，并引入[δσ=Vσμσ]和[δE=VEμE]，利用式（15）和（16），可得式（20）。

[δσ=δ2E+V2D1+δ2E1-μD2]" "（20）

通過對損傷方差的分析并利用高等數(shù)學中近似計算理論，式（20）可簡化為式（21）。

[δσ=δE+12-12D2ξD2]" "（21）

相應的應力標準差即為式（22）。

[Vσ=δσEmε1-D]" " （22）

4 驗證與分析

為了檢驗上述推導和簡化分析的合理性，這里以曹文文［8］研究中的一組粉煤灰磚砌體軸心受壓試驗結果作為例，本研究分析的彈性模量、峰值應力及其對應的應變分別取用試驗結果的平均值，即分別為1 008 MPa、3.60 MPa和4 700 με，而相關系數(shù)取153，彈性模量的變異系數(shù)取0.08。

利用上述分析得到的公式進行軸心受壓砌體的隨機損傷本構關系計算，可以得到簡化分析的應力均值—應變、應力均值±1.645倍標準差和應力標準差—應變的關系曲線，簡化分析結果與試驗結果的對比分別如圖2和圖3所示。

由圖2和圖3可知，采用簡化分析得到的軸心受壓砌體隨機損傷本構關系無論是均值還是方差層面，均具有良好的一致性，可以較好地預測砌體受力試件的全過程應力響應。與傳統(tǒng)的確定性本構關系相比，簡化的隨機損傷本構關系也能夠較好地預測其離散性，試驗值大多數(shù)在均值±1.645倍標準差的范圍內。

5 結語

本研究在軸心受壓砌體的隨機損傷本構關系的基礎上，結合損傷特征并對損傷和應力的均值及標準差進行分析，建立簡便的計算方法，從而得到均值層面上的軸心受壓砌體應力—應變關系及其離散范圍，初步驗證了本研究簡化方法的合理性。與已有通用有限元分析軟件相結合，不僅能得到砌體結構均值層面上的應力及變形，而且能預測其離散范圍，為結構的精細化分析提供了新途徑。

參考文獻：

［1］楊衛(wèi)忠.砌體受壓本構關系模型［J］.建筑結構，2008，38（10）：80-82.

［2］劉桂秋，顏友清，施楚賢.砌體受壓本構關系統(tǒng)一模型的研究［J］.湖南大學學報（自然科學版），2009，36（11）：6-9.

［3］董廣萍，楊衛(wèi)忠，樊濬.砌體本構關系的研究新進展［J］.河南科學，2016，34（1）：50-54.

［4］牛力軍，張文芳.磚砌體雙參數(shù)單軸受壓彈塑性損傷力學模型［J］.力學與實踐，2017，39（1）：35-39.

［5］DOUGILL J W. A mathematical model for the failure of cement paste and mortars［J］.Magazine of Concrete Research， 1967， 19（60）：135-142.

［6］ KANDARPA S， KIRKNER D J ，JR B F S. Stochastic damage model for brittle materials subjected to monotonic loading［J］.Journal of Engineering Mechanics， 1996， 122（8）：788-795.

［7］楊衛(wèi)忠，曹文文，王茜.軸壓砌體隨機損傷本構關系研究［J］.鄭州大學學報（理學版），2013，45（2）：104-108.

［8］曹文文.砌體隨機損傷本構關系的研究［D］.鄭州：鄭州大學，2011 .