荷馬史詩中有一位善跑的英雄，名叫阿基里斯。史詩中描寫這位阿基里斯是世界上跑得最快的人，誰也沒法跟他比。不過，古希臘的大詭辯家芝諾卻覺得，阿基里斯跑是跑得快，但未必能追得上一只走起路來慢慢吞吞的小烏龜。
　　誰都知道，既然阿基里斯跑得快，要追上烏龜，那不是輕而易舉的事嗎?芝諾的學生聽說阿基里斯跑不過一只烏龜，也個個感到驚奇，自己的老師知識那樣淵博，怎么連這樣簡單的問題也會出錯呢？
　　一天，雅典正是百花盛開映著艷陽，人們的精神格外抖擻。勤學好思的學生圍著芝諾，聽他滔滔不絕的論述。這時有位學生突然想到，何不趁此機會，問問老師阿基里斯與烏龜賽跑究竟是怎么一回事。于是，他貿然提問：“尊敬的老師，您給我們講解了好多難題，可我們還想知道阿基里斯為什么追不上一只烏龜?！?br/>　　“這個問題我也一直沒有解決?！敝ブZ一下子陷入了沉思。
　　“您知道得那么多，還有不懂的問題嗎?”學生們恭敬地問道。
　　“要知道，懂得愈多的人就會覺得自己愈是無知?！敝ブZ回答。
　　學生們都若有所思，不過還是期待老師講講阿基里斯為什么不能追上烏龜。
　　“好吧，我就來講阿基里斯與烏龜賽跑的故事?！敝ブZ終于同意給學生們講了。
　　大家都知道荷馬史詩中的阿基里斯跑得非?？?，為了便于計算，我們假定他的速度是烏龜速度的10倍。阿基里斯與烏龜賽跑的路程是1千米。道路很平坦，天氣又好，比賽在公平的條件下進行。不過，說好是阿基里斯追趕烏龜，所以必須讓烏龜先跑十分之一千米，然后阿基里斯去追。這樣的話，問題就來了。當阿基里斯追到十分之一千米的地方，烏龜又向前跑了百分之一千米；阿基里斯再追百分之一千米，烏龜又向前跑了千分之一千米；阿基里斯又追千分之一千米，烏龜又向前跑了萬分之一千米……這樣一直追下去，阿基里斯會追上烏龜嗎？
　　學生們聽老師說到這里，個個都愣住了。他們心里認為芝諾是錯的，但卻無法指出他錯在哪里。其實，這是古希臘著名的芝諾難題，現(xiàn)在也稱這類難題為悖論。悖論現(xiàn)在已經(jīng)發(fā)展到較高級的階段，它的存在能為人們鍛煉邏輯思維能力提供幫助，在數(shù)學發(fā)展的歷程中起過作用。
　　其實，芝諾問題用如今的極限理論很容易解決。
　　假設烏龜和阿基里斯賽跑，烏龜提前跑了一段，那么，當阿基里斯到達烏龜?shù)钠瘘c時，烏龜已向前爬了一段距離；當阿基里斯跑完這段距離時，烏龜又向前爬了一段。阿基里斯再跑完這一段，烏龜又向前爬了一段。如此下去直至無窮，所以阿基里斯永遠也追不上烏龜。
　　這是一個很有趣的悖論。如果芝諾的結論是正確的，則追趕者無論跑得多么快也追不上在前面跑的人，這顯然與我們在生活中經(jīng)常見到的現(xiàn)象相違背。
　　當然芝諾的說法中有合理的成分：阿基里斯追趕烏龜?shù)倪^程確實是一個無窮的過程——一個無窮的位置變化過程。假定，從阿基里斯開始追趕算起，阿基里斯與烏龜各自都有作勻速運動。不妨設阿基里斯的速度是烏龜速度的10倍，并設阿基里斯開始追趕時，烏龜在阿基里斯前面1千米處，再設烏龜?shù)乃俣仁敲啃r0.1千米，則確如芝諾所說：當阿基里斯跑完1千米時，烏龜已從1千米處向前爬了0.1千米；當阿基里斯跑完這0.1千米時，烏龜又向前爬了0.01千米；當阿基里斯又跑完這0.01千米時，烏龜又向前爬了0.001千米。
　　從阿基里斯開始追趕烏龜時阿基里斯與烏龜二者的位置算起，在阿基里斯追趕烏龜?shù)恼麄€過程中，阿基里斯每到達烏龜?shù)囊粋€位置，烏龜都到達了一個新的位置；阿基里斯到達了烏龜?shù)男碌奈恢脮r，烏龜會到達一個更新的位置。于是，在阿基里斯追趕烏龜?shù)倪^程中，阿基里斯與烏龜都會到達無窮個位置。把每兩個相鄰位置之間的距離統(tǒng)統(tǒng)加起來，所得到的就是在阿基里斯追趕烏龜?shù)倪^程中他們二者分別跑過的總路程。
　　阿基里斯跑過的總路程是：
　　1+0.1+0.001+…+18(1-0.1)＝10/9
　　烏龜跑過的總路程是：
　　0.1+0.01+0.001+…+(0.1)/(1-0.1)=1/9
　　芝諾說法中的錯誤在于：他把阿基里斯追趕烏龜?shù)臒o窮的位置變化過程與無窮的時間變化過程混為一談了。
　　阿基里斯追趕烏龜時所經(jīng)過的1千米+0.1千米+0.01千米+0.001千米+…，這個無窮的位置變化過程需要的時間為：10/9千米÷1千米/小時=10/9小時，并不需要無限長的時間！
　　也就是說，阿基里斯追趕烏龜?shù)臒o窮的位置變化過程只需要10/9小時就完成了。
　　從阿基里斯開始追趕算起，他用10/9小時就追上了烏龜。在10/9小時內，芝諾的說法成立，即：阿基里斯每達到烏龜?shù)囊粋€位置時，烏龜又爬到了一個新位置。但是在10/9小時之后，就再也沒有這種情況發(fā)生了。如果在10/9小時以后阿基里斯繼續(xù)向前跑，他很快就會把烏龜遠遠地甩在后面。
　　芝諾的結論“阿基里斯永遠也追不上烏龜”中的“永遠”一詞，指的當然是“時間”。條件中談的是“位置”的變化，結論卻談“時間”，這是芝諾悖論偷梁換柱之所在。
　　編輯/李 章