陳德前江蘇省數(shù)學(xué)特級(jí)教師，江蘇省興化市教育局教研室副主任，中國(guó)管理科學(xué)研究院學(xué)術(shù)委員會(huì)特約研究員，江蘇省考試研究會(huì)會(huì)員，江蘇省教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教育專業(yè)委員會(huì)會(huì)員，泰州市教育學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)教育委員會(huì)會(huì)員，興化市人民政府兼職督學(xué)，興化市數(shù)理化學(xué)會(huì)會(huì)員，興化市教育學(xué)會(huì)副秘書長(zhǎng).

一、正多邊形的概念

1. 概念

各條邊相等，各個(gè)內(nèi)角也相等的多邊形叫做正多邊形.

2. 理解正多邊形需要注意的兩點(diǎn)

（1）邊數(shù)為n（n > 3）的多邊形，必須同時(shí)滿足“各條邊相等”、“各個(gè)內(nèi)角相等”兩個(gè)條件，我們才能說(shuō)它是正多邊形.如菱形的各條邊相等，但各個(gè)內(nèi)角不一定都相等，它不一定是正四邊形（即正方形）.又如矩形的各個(gè)內(nèi)角相等，但各條邊不一定相等，所以它不一定是正四邊形（即正方形）.

（2）當(dāng)多邊形的邊數(shù)為3時(shí)，只要滿足“各條邊相等”、“各個(gè)內(nèi)角相等”兩個(gè)條件中的任意一個(gè)，它就是正三角形，這是一個(gè)特例.

3. 例題賞析

例1（2007年河南中考題）將圖1（1）所示的正六邊形進(jìn)行分割得到圖1（2），再將圖1（2）中某一個(gè)較小的正六邊形按同樣的方式進(jìn)行分割得到圖1（3）， 再將圖1（3）中某一個(gè)較小的正六邊形按同樣的方式進(jìn)行分割……則在第n個(gè)圖形中共有個(gè)正六邊形.

[解析：]該題主要是對(duì)正六邊形進(jìn)行分割.圖1（1）中有1個(gè)正六邊形，即3×（1-1）+1=1；圖1（2）中有4 個(gè)正六邊形，比圖1（1）中多 3個(gè)正六邊形，即3×（2-1） +1=4；圖1（3）中有7個(gè)正六邊形，比圖1（2）中多3個(gè)正六邊形，即3×（3-1）+1=7……所以第n個(gè)圖形中正六邊形的個(gè)數(shù)為3（n-1）+ 1=3n-2.

二、正多邊形的鑲嵌

1. 對(duì)鑲嵌的理解

正多邊形能否鑲嵌成平面圖案，關(guān)鍵是看這些正多邊形位于同一個(gè)重合的頂點(diǎn)周圍的內(nèi)角之和是否等于360°.

2. 例題賞析

例2（2007年長(zhǎng)沙市中考題）單獨(dú)使用正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形4種地磚中的某一種，不能密鋪地面的是．

[解析：]正三角形的每個(gè)內(nèi)角都是60°，360°÷60°=6，用6個(gè)正三角形就可以密鋪地面.正方形的每個(gè)內(nèi)角都是90°，360°÷90°=4，用4個(gè)正方形就可以密鋪地面.正六邊形的每個(gè)內(nèi)角都是120°，360°÷120°=3，用3個(gè)正六邊形就可以密鋪地面.正八邊形的每個(gè)內(nèi)角都是135°，360°÷135°的結(jié)果不是正整數(shù)，所以用正八邊形不可以密鋪地面.

例3（2006年武漢市中考題）陽(yáng)光中學(xué)閱覽室正在裝修，裝修工人準(zhǔn)備用邊長(zhǎng)相等的正方形地磚和正三角形地磚密鋪地面.每個(gè)重合的頂點(diǎn)周圍的正方形地磚、正三角形地磚的塊數(shù)分別是（）.

A. 2、2 B. 2、3C. 1、2D. 2、1

[解析：]正方形的每個(gè)內(nèi)角都是90°，正三角形的每個(gè)內(nèi)角都是60°，2×90°+3×60°=360°.應(yīng)選B.

三、即學(xué)即練

1． 一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為720°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為_(kāi)__________.

2． （2006年云南中考題）正多邊形的一個(gè)外角為 36°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（）.

A. 6B. 8C. 10D. 12

3． （2007年哈爾濱市中考題）哈爾濱市進(jìn)行城區(qū)人行道翻新，準(zhǔn)備選用同一種正多邊形地磚鋪設(shè)地面．下列正多邊形地磚中，不能進(jìn)行平面鑲嵌的是（）.

A． 正三角形 B． 正方形

C． 正五邊形 D． 正六邊形

參考答案：1. 62. C3. C