趙 宇，張洪華

（北京控制工程研究所，北京100190）

基于內(nèi)模原理的橢圓軌道編隊(duì)最優(yōu)維持控制

趙 宇，張洪華

（北京控制工程研究所，北京100190）

基于內(nèi)模原理，針對(duì)橢圓軌道編隊(duì)維持控制過(guò)程中存在的周期擾動(dòng)問(wèn)題，結(jié)合動(dòng)力學(xué)方程的時(shí)變周期系數(shù)特性，設(shè)計(jì)具有干擾抑制功能的線性周期時(shí)變最優(yōu)二次調(diào)節(jié)器。干擾內(nèi)模的加入，使得系統(tǒng)響應(yīng)在穩(wěn)態(tài)時(shí)具有良好的控制精度，同時(shí)基于最優(yōu)性原理的設(shè)計(jì)使得系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)過(guò)程滿(mǎn)足某種最優(yōu)性能指標(biāo)要求。仿真結(jié)果表明，在橢圓軌道的編隊(duì)維持控制器中引入部分干擾內(nèi)?？纱蠓忍岣呔S持精度。

編隊(duì)飛行；內(nèi)模原理；最優(yōu)控制；

1 引 言

衛(wèi)星編隊(duì)高精度維持控制是當(dāng)前航天技術(shù)發(fā)展的方向之一，橢圓軌道衛(wèi)星編隊(duì)由于其動(dòng)力學(xué)方面的復(fù)雜性而對(duì)控制技術(shù)提出了新的挑戰(zhàn)。文獻(xiàn)[1]針對(duì)橢圓軌道編隊(duì)，考慮精度與燃耗之間的平衡，設(shè)計(jì)一個(gè)復(fù)雜的控制誤差盒，實(shí)現(xiàn)編隊(duì)維持；文獻(xiàn)[2]利用微牛推力器研究了攝動(dòng)條件下的編隊(duì)維持問(wèn)題；文獻(xiàn)[3]利用干擾，結(jié)合相平面技術(shù)，采用常值推力對(duì)構(gòu)型維持問(wèn)題進(jìn)行研究。

編隊(duì)構(gòu)型維持控制可表述為跟蹤問(wèn)題。由于衛(wèi)星軌道的周期性，影響衛(wèi)星編隊(duì)構(gòu)型的力大多有一定的周期性。對(duì)于存在周期擾動(dòng)的干擾抑制和漸近跟蹤問(wèn)題，內(nèi)模原理[4]是較常用的解決方法。對(duì)線性時(shí)不變系統(tǒng)的內(nèi)?？刂埔呀?jīng)有較充分的研究[5]，但對(duì)線性時(shí)變系統(tǒng)的內(nèi)?？刂蒲芯枯^少，且都是沒(méi)有考慮最優(yōu)意義下的控制策略。

本文針對(duì)橢圓軌道編隊(duì)的高精度維持問(wèn)題，基于內(nèi)模原理，設(shè)計(jì)具有干擾抑制功能的最優(yōu)調(diào)節(jié)器，在保證性能指標(biāo)最優(yōu)的同時(shí)實(shí)現(xiàn)相對(duì)軌道的高精度維持。文本首先對(duì)所要解決的問(wèn)題進(jìn)行了描述；在第三部分介紹橢圓軌道相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)，并對(duì)影響編隊(duì)維持的因素進(jìn)行分析；第四部分針對(duì)受擾線性周期系數(shù)系統(tǒng)設(shè)計(jì)一種二次最優(yōu)調(diào)節(jié)器；最后應(yīng)用該算法解決受攝條件下的橢圓軌道編隊(duì)的高精度編隊(duì)維持問(wèn)題，并通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了該算法的有效性。

2 問(wèn)題描述

文中研究的問(wèn)題為雙星編隊(duì)的維持控制，該控制問(wèn)題可表述為針對(duì)參考軌跡的跟蹤問(wèn)題，如圖1所示。編隊(duì)參考軌跡由參考線性動(dòng)力學(xué)模型產(chǎn)生，該軌跡考慮了任務(wù)需求進(jìn)行設(shè)計(jì)。主星和從星的精確動(dòng)力學(xué)模型為非線性動(dòng)力學(xué)模型。初始時(shí)刻參考編隊(duì)的主星與實(shí)際編隊(duì)的主星狀態(tài)相同，從星的相對(duì)初始狀態(tài)則在參考軌跡附近，由于各種因素的影響，在無(wú)控制作用的運(yùn)行中，雙星實(shí)際相對(duì)軌跡相對(duì)于參考軌跡是發(fā)散的。因而設(shè)計(jì)控制器對(duì)從星施加控制，使得兩星的相對(duì)軌跡能精確地跟蹤參考模型的輸出，同時(shí)期望這種跟蹤具有某種意義上的最優(yōu)性。

圖1 控制流程方框圖

3 橢圓軌道編隊(duì)動(dòng)力學(xué)及干擾分析

描述橢圓軌道編隊(duì)運(yùn)動(dòng)的常用動(dòng)力學(xué)方程為T(mén)schauner-Hempel方程[6]（以下簡(jiǎn)稱(chēng)TH方程），該方程基于二體條件推導(dǎo)，通過(guò)對(duì)雙星間的引力差線性化所得。以LVLH（local vertical local horizon）坐標(biāo)系表示軌道坐標(biāo)系，記從星相對(duì)主星的位置矢量為r=[x y z]T，相對(duì)速度矢量為衛(wèi)星軌道根數(shù)為σ=[a e iΩωf]T，其中a為半長(zhǎng)軸，e為偏心率，i為軌道傾角，Ω為升交點(diǎn)赤經(jīng)，ω近地點(diǎn)幅角，f為真近點(diǎn)角，TH方程可表示為[6]

該方程可簡(jiǎn)記為

式中，矩陣A（σ）以主星軌道根數(shù)σ為參數(shù)。在二體條件下，根數(shù)σ中的元素只有f為周期時(shí)變量，其余均為常數(shù)，因而A（σ）為周期時(shí)變系數(shù)矩陣。文獻(xiàn)[6]對(duì)該方程的自由解進(jìn)行了研究，給出自由解有界的條件。本文的參考軌跡由滿(mǎn)足有界性條件的齊次TH方程描述。用符號(hào)下標(biāo)c表示參考軌跡，則參考軌跡動(dòng)力學(xué)方程為

攝動(dòng)條件下，影響編隊(duì)的干擾力主要為中心引力差的高階項(xiàng)以及J2項(xiàng)之差。受J2項(xiàng)攝動(dòng)條件下的相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程可表示為

式中，g（σ（t））為高斯攝動(dòng)方程，N（σ（t），r）為中心引力二階項(xiàng)，B（σ（t））可表示為

由軌道攝動(dòng)理論[7]可知，σ（t）表示為[7]

為了表示方便，記σ（t）為σ，σc（t）為σc，由泰勒公式可得

將式（8）、（9）和（10）取一階近似，代入式（6），化簡(jiǎn)后得

由于δσ包含長(zhǎng)期增長(zhǎng)項(xiàng)，方程（11）等號(hào)右端第二項(xiàng)的系數(shù)有長(zhǎng)期增長(zhǎng)趨勢(shì)，同時(shí)該系數(shù)陣與σc，rc有關(guān)，因而其變化有周期性。由于設(shè)初始時(shí)刻真實(shí)軌跡與參考軌跡很好的重合，在開(kāi)始的一段時(shí)間內(nèi)，方程（11）等號(hào)右端第一項(xiàng)的系數(shù)遠(yuǎn)大于第二項(xiàng)的系數(shù)。等號(hào)右端第三、第四項(xiàng)與主星的軌道根數(shù)和參考相對(duì)軌跡有關(guān)，是一種周期性的持續(xù)作用力，此作用力不會(huì)因?yàn)槠瞀蔚目s小而減小。從以上分析可知，方程（11）可簡(jiǎn)記為

這里，w為方程（11）等號(hào)右端第二至五項(xiàng)的和，在控制過(guò)程中認(rèn)為是擾動(dòng)力。w的變化具有一定的周期性，其周期與σ，rc的變化周期有關(guān)，其基頻為主星的軌道周期所對(duì)應(yīng)的頻率，可以把擾動(dòng)力w表示為常值偏差、小斜率的斜坡偏差以及若干以主星軌道頻率為基頻的頻域級(jí)數(shù)項(xiàng)的疊加。

4 考慮干擾的線性周期時(shí)變系數(shù)系統(tǒng)最優(yōu)調(diào)節(jié)律

本節(jié)基于內(nèi)模原理[4]針對(duì)線性周期時(shí)變系數(shù)系統(tǒng)設(shè)計(jì)二次最優(yōu)調(diào)節(jié)律。不失一般性地假設(shè)干擾為常值干擾以及單頻率周期擾動(dòng)，擾動(dòng)僅知頻率信息，其余信息未知。

對(duì)象為

式中，A1（t）∈Rn×n，A2（t）∈Rn×n，Γ1（t）∈Rn×n，其中的元都為時(shí)間t的連續(xù)函數(shù)，χ1∈Rn，χ2∈Rn為狀態(tài)變量，控制量υ∈Rn，干擾量d∈Rn，且有A1（t+T）=A1（t），A2（t+T）=A2（t），Γ1（t+T）=Γ1（t），T已知。系統(tǒng)滿(mǎn)

足可控性要求，記χ=[χ1χ2]T。

假設(shè)干擾d由常值干擾d0和周期干擾d1相疊加合成，干擾模型可表示為

式中，ζ為周期干擾頻率，已知，干擾的初值未知。

根據(jù)內(nèi)模原理可知，當(dāng)反饋回路中包含外部干擾的模型時(shí)，可實(shí)現(xiàn)對(duì)干擾的漸近抵消。本文基于內(nèi)模原理設(shè)計(jì)的控制律為

式中，υ1為待設(shè)計(jì)的控制量，υ2為干擾內(nèi)膜，設(shè)計(jì)為

K0（t）∈Rn×n，K1（t）∈Rn×n為常值陣或周期為T(mén)的時(shí)變陣，且要滿(mǎn)足方程（18）的可控性，m0，m1分別為常值干擾和周期干擾的內(nèi)模。

記λ0=m0+d0，λ1=m1+d1，則有

代入系統(tǒng)（13）則有

可選擇K0（t），K1（t）使得系統(tǒng)（18）可控。

對(duì)系統(tǒng)（18），取性能指標(biāo)

式中，Q（t）∈R5n×5n為對(duì)稱(chēng)半正定陣，S（t）∈Rn×n為對(duì)稱(chēng)正定陣。由二次最優(yōu)調(diào)節(jié)理論可知，其最優(yōu)解為[8]

在此控制下性能指標(biāo)可達(dá)到最優(yōu)[8]

由于積分性能指標(biāo)有界，因而所設(shè)計(jì)的控制器可使得系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。

進(jìn)而可得

式中，F(xiàn)0（t），F(xiàn)1（t），F(xiàn)2（t），F(xiàn)3（t），F(xiàn)4（t）均為周期時(shí)變矩陣。

將式（16）和（23）代入式（13）中，則有

則記

由于干擾初值的不確定性，如果H0（t）d0+H1（t）d1+H2（t）所代表的干擾空間與d0+d1所構(gòu)成的干擾空間是一致的，則該控制律就可實(shí)現(xiàn)對(duì)干擾的完全抑制。

當(dāng)H0（t），H1（t），H2（t）為常值時(shí)，兩者是等價(jià)的。否則如H0（t），H1（t），H2（t）為周期時(shí)變的，則要在很強(qiáng)的條件下才等價(jià)。

如果H0（t），H1（t），H2（t）為小幅值周期時(shí)變的，則可以對(duì)其求取平均值

（也即是F0（t），F(xiàn)1（t），F(xiàn)2（t）取均值，取

此控制律可保證兩種干擾空間表示的等價(jià)性。

最終所設(shè)計(jì)的控制律為

式中，F(xiàn)i由方程（20）、（21）和（23）得，mi由方程（16）得。

5 數(shù)值仿真

利用上節(jié)的控制方法，針對(duì)橢圓軌道編隊(duì)維持控制進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)及仿真。如前所述，影響編隊(duì)的干擾為常值干擾（或慢時(shí)變長(zhǎng)期增長(zhǎng)干擾）和周期干擾，對(duì)其建模為

式中，wj∈R3×1，j=0，1，2，...，n，...。仿真中干擾的內(nèi)模取到一階，建模為

利用上節(jié)方法基于圖1的控制流程進(jìn)行仿真，取雙星編隊(duì)，考慮J2到J4項(xiàng)攝動(dòng)，主星初始軌道根數(shù)為a=9000km，e=0.05，i=50°，Ω=30°，ω=40°，f（t0）=0，t0=0，初始參考星相對(duì)位置為[-1 -1 0.8]km，相對(duì)速度滿(mǎn)足編隊(duì)有界性條件，初始從星相對(duì)位置速度與參考星一致。設(shè)計(jì)中取K0（t）=，其中，Q0為常值偏差內(nèi)模的權(quán)，取Q0為一階周期擾動(dòng)內(nèi)模的權(quán)，取Q1=diag｛1，0，1，0，1，0｝×10-9（即僅對(duì)位置量進(jìn)行加權(quán)），Qm為位置偏差和速度偏差的權(quán)，取Qm=I6×6，，仿真時(shí)間為主星的16個(gè)軌道周期。所得結(jié)果見(jiàn)圖2～5。

圖2 不包含內(nèi)模時(shí)的位置誤差圖

從圖2中可以看出，在不包含內(nèi)模時(shí)，各方向的誤差雖然得到有效的控制，但誤差幅值是逐漸加大的；原因在于控制器設(shè)計(jì)中沒(méi)有考慮干擾，而干擾中存在長(zhǎng)期增長(zhǎng)項(xiàng)使得控制偏差發(fā)散。圖3中加入了擾動(dòng)的常值以及一階周期內(nèi)模，從圖中可以看出，各方向的位置偏差受到有效抑制。

從圖4和圖5中可以明顯看出這種擾動(dòng)力的長(zhǎng)期增長(zhǎng)趨勢(shì)，同時(shí)由于這種增長(zhǎng)速度緩慢，利用常值干擾內(nèi)模也可很好地跟蹤這種變化，對(duì)比圖2與圖5，可以看出周期內(nèi)模對(duì)干擾造成的偏差進(jìn)行了很好地補(bǔ)償。

圖3 包含內(nèi)模時(shí)的位置誤差圖

圖4 常值內(nèi)模輸出圖

圖5 周期內(nèi)模輸出圖

6 結(jié)束語(yǔ)

本文基于內(nèi)模原理，針對(duì)橢圓軌道編隊(duì)的高精度維持控制進(jìn)行了研究。主要的工作是針對(duì)橢圓軌道編隊(duì)動(dòng)力學(xué)的線性周期系數(shù)特性以及干擾的周期特性，采用擴(kuò)維的方法，設(shè)計(jì)了考慮干擾抑制的線性周期時(shí)變最優(yōu)二次調(diào)節(jié)器，該調(diào)節(jié)器在實(shí)現(xiàn)對(duì)常值以及周期擾動(dòng)有效抑制的同時(shí)保證了某種性能指標(biāo)的最優(yōu)性。應(yīng)用該方法進(jìn)行橢圓軌道編隊(duì)維持控制，對(duì)比通常的二次最優(yōu)調(diào)節(jié)器，仿真結(jié)果表明內(nèi)模的引入提高了軌道維持精度（加入干擾的兩個(gè)內(nèi)模提高了一個(gè)數(shù)量級(jí)的維持精度），因而可實(shí)現(xiàn)對(duì)軌道的高精度維持控制。

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Optimal Maintaining Control for Formation Flying in Elliptical Orbit Based on IMC Theory

ZHAO Yu，ZHANG Honghua
（Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100190，China）

There exist periodic disturbances in the process of elliptical orbit formation maintaining control.In this paper，a linear periodically-varying optimal quadratic regulator is designed by combining the internal model principle with the characteristics of periodically-varying coefficients in dynamics equations.High accuracy of control is achieved by adding the disturbance internal models to the index in the optimal control.Numerical simulations show that the proposed controller containing some disturbance internal models can improve the formation maintaining accuracy a lot for the elliptical orbit.

formation flying；internal model control（IMC）theory；optimal control

TP273

A

1674-1579（2008）05-0017-05

2008-06-19

趙宇（1979-）男，河南人，博士研究生，研究方向?yàn)樾l(wèi)星編隊(duì)飛行控制（e-mail：zyuasd@yahoo.com.cn）。