韋波富

所謂數(shù)學(xué)模型，是指針對(duì)或參照某種事物的特征或數(shù)量間的相依關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，概括地或近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。凡一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系、各種數(shù)學(xué)公式、各種方程以及由公式系列構(gòu)成的算法系統(tǒng)等等，都可以稱之為數(shù)學(xué)模型。如自然數(shù)“1”是“1個(gè)人”、“一件玩具”等抽象的結(jié)果，是反映這些事物共性的一個(gè)數(shù)學(xué)模型；方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型等。因此，建立數(shù)學(xué)模型的過程就是“數(shù)學(xué)建?！?。

一、小學(xué)“數(shù)學(xué)模型”構(gòu)建

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(實(shí)驗(yàn)稿)倡導(dǎo)以“問題情境一建立模型——解釋、應(yīng)用與拓展”作為小學(xué)數(shù)學(xué)課程的一種基本敘述模式，并在教材中初步體現(xiàn)，這是數(shù)學(xué)新課程體系直接體現(xiàn)“問題解決”教學(xué)模式的反映。

(一)建模的策略

1．精選問題，創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)建模的興趣。

數(shù)學(xué)模型都具有現(xiàn)實(shí)的生活背景，這是構(gòu)建模型的基礎(chǔ)和解決實(shí)際問題的需要。如構(gòu)建“平均數(shù)”模型時(shí)，可以創(chuàng)設(shè)這樣的情境：4名男生一組，5名女生一組，進(jìn)行套圈游戲比賽，哪個(gè)組的套圈水平高一些?學(xué)生提出了一些解決的方法，如比較每組的總分、比較每組中的最好成績(jī)等，但都遭到了否決(初步建模失敗)。這時(shí)需要尋求一種新的策略，于是構(gòu)建“平均數(shù)”的模型成為學(xué)生的需求，同時(shí)也揭示了模型存在的背景與適用，的條件。

2．充分感知，積累表象，培育建模的基礎(chǔ)。

教師首先要給學(xué)生提供豐富的感性材料，多側(cè)面、多維度、全方位感知某類事物的特征或數(shù)量間的相依關(guān)系，為數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確構(gòu)建提供可能。如“湊＋法”模型構(gòu)建的過程就是一個(gè)不斷感知、積累的過程。首先學(xué)習(xí)“9加幾”的算法，初步了解“湊十法”；接著采取半扶半放的方式學(xué)習(xí)“8、7加幾”的算法，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生感知“湊十法”更廣的適用范圍；最后學(xué)習(xí)“6、5、4加幾”的算法，運(yùn)用“湊十法”靈活解決相關(guān)的計(jì)算問題。在此過程中，學(xué)生經(jīng)歷了觀察、操作、實(shí)踐等活動(dòng)，充分體驗(yàn)了“湊十法”的內(nèi)涵，為形成“湊十法”的模型奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

3．組織躍進(jìn)，抽象本質(zhì)，完成模型的構(gòu)建。

具體生動(dòng)的情境或問題只是為學(xué)生數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)提供了可能，如果忽視從具體到抽象的有效組織。那就無法建模。如“平行與相交”一課，如果只是讓學(xué)生感知火車鐵軌、跑道線、雙杠、五線譜等具體的素材，而沒有透過現(xiàn)象看本質(zhì)的過程，當(dāng)學(xué)生提取“平行線”的模型時(shí)，呈現(xiàn)出來的一定是形態(tài)各異的具體事物，而不是具有一般意義的數(shù)學(xué)模型?！捌叫小钡臄?shù)學(xué)本質(zhì)是“同一平面內(nèi)兩條直線間距離保持不變”。因此，教師應(yīng)將學(xué)生關(guān)注的目標(biāo)從具體上升為兩條直線間的距離?？梢宰寣W(xué)生通過如下活動(dòng)來引導(dǎo)認(rèn)識(shí)過程：提出問題：為什么兩條直線永遠(yuǎn)不相交?動(dòng)手實(shí)驗(yàn)思考：①在兩條平行線間作垂線。②量一量這些垂線的長(zhǎng)度，你發(fā)現(xiàn)了什么?③你知道工人師傅是通過什么辦法使兩條鐵軌始終保持平行的嗎?經(jīng)歷這樣的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生對(duì)平行的理解必定走向半具體、半抽象的模型，從而構(gòu)建起真正的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)，完成從物理模型到直觀的數(shù)學(xué)模型再到抽象的數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程。

4．重視思想，提煉方法，優(yōu)化建模的過程。

不管是數(shù)學(xué)概念的建立、數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)問題的解決，核心問題都在于數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，它是數(shù)學(xué)模型的靈魂。如“圓柱的體積”一課教學(xué)，在建構(gòu)體積公式這一模型的過程中要突出與之相伴的數(shù)學(xué)思想方法：一是轉(zhuǎn)化，將未知轉(zhuǎn)化成已知；二是極限思想。重視數(shù)學(xué)思想方法的提煉與體驗(yàn)，可以催化數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，提升建構(gòu)的理性高度。

5．回歸生活，變換情境，拓展模型的外延。

從具體的問題經(jīng)歷抽象提煉的過程，初步構(gòu)建起相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，還要組織學(xué)生將數(shù)學(xué)模型還原為具體的數(shù)學(xué)直觀或可感的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，使已經(jīng)構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型不斷得以擴(kuò)充和提升。如“雞兔同籠”的問題模型，是通過研究“雞”、“兔”建立起來的，但建立模型的過程中不可能將所有的同類事物一一列舉。因此，教師要帶領(lǐng)學(xué)生繼續(xù)擴(kuò)展考察的范圍，分析當(dāng)情境、數(shù)據(jù)變化時(shí)模型的穩(wěn)定性。可以出示如下問題讓學(xué)生分析：“9張桌子共26人，正在進(jìn)行乒乓球單打、雙打比賽，單打、雙打的各幾張桌子?”“甲、乙兩個(gè)車間共有126人，如果從甲車間每8人中選一名代表，從乙車間每6人中選一名代表，正好選出17名代表。甲、乙兩車間各有多少人?”這樣，使模型的外延不斷得以豐富和拓展。

(二)建模的途徑

開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，關(guān)注的是建模的過程，而不僅僅是結(jié)果，更多的是培養(yǎng)思維能力，特別是創(chuàng)造能力。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要轉(zhuǎn)變觀念，革新課堂教學(xué)模式，以“建?！钡囊暯莵硖幚斫虒W(xué)內(nèi)容。

1．根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，開展建模活動(dòng)。

教材中的一些內(nèi)容已經(jīng)按照建模的思路編排，教師要多從建模的角度解讀教材，充分挖掘教材中蘊(yùn)含的建模思想，精心設(shè)計(jì)和選擇列入教學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)實(shí)問題情境，將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，建立模型，從而解決問題。

2．上好實(shí)踐活動(dòng)課，為學(xué)生模仿建模甚至獨(dú)立建模提供有效指導(dǎo)。

可以結(jié)合教材內(nèi)容，整合各知識(shí)點(diǎn)，使之融進(jìn)生活背景，產(chǎn)生好的“建模問題”作為實(shí)踐活動(dòng)課的內(nèi)容。如教材中安排了這樣的問題：“找10盒火柴，先在小組里拼一拼，看看把10盒火柴包裝成一包有哪些不同的方法。怎樣包裝最節(jié)省包裝紙?”

3．改編教材習(xí)題，加強(qiáng)建模教學(xué)。

教材中有些問題需要改編，使其成為建模的有效素材。如：“圖中正方形面積是8平方厘米，求圓的面積。”可以利用它開展以下的建?；顒?dòng)：設(shè)圓的半徑是r，探討出圓的面積與正方形面積之間的關(guān)系后，建立起關(guān)系模型，進(jìn)而解決問題。也可以另辟蹊徑，先通過“正方形面積是6平方厘米，求圓的面積”這一問題的解決，建立關(guān)系模型“圓的面積是正方形面積的π倍”，從而使原問題獲得解決。

二、小學(xué)“數(shù)學(xué)模型”的應(yīng)用

活用“數(shù)學(xué)模型”可以在很大程度上幫助學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)所學(xué)知識(shí)，順利構(gòu)建數(shù)學(xué)體系，從而大大提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，使學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)得以提升。

1．用模型解題。

要學(xué)會(huì)把復(fù)雜問題納入已有模式之中，使原有模型成為構(gòu)建和解決新問題的工具。例如：“A、B兩地相距220千米，甲從A、乙從B同時(shí)相向而行，甲每小時(shí)行40千米，乙每小時(shí)行50千米。途中乙修車停了1小時(shí)。兩車從出發(fā)到相遇用了幾小時(shí)?”可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析：以前解決的問題中兩個(gè)物體從始到終都在運(yùn)動(dòng)，而上述這個(gè)問題發(fā)生了變化。我們可把它變成以前學(xué)過的模型，如“讓乙車再行1小時(shí)，兩車行的時(shí)間就一樣多或“甲先單獨(dú)行1小時(shí)后，剩下的路程兩車同時(shí)行駛”等，使之成為較為熟悉、較為簡(jiǎn)單的模式。利用原認(rèn)知模型解題，必須基于對(duì)教材各知識(shí)要素的全面把握，進(jìn)而能夠以原認(rèn)知模型的“不變”應(yīng)數(shù)學(xué)問題的“萬(wàn)變”。

2．用“舊模型”構(gòu)建“新模型”。

數(shù)學(xué)的概念、法則、關(guān)系等都是數(shù)學(xué)模型，并且總是建立在其他數(shù)學(xué)模型的材料、模型的應(yīng)用及體現(xiàn)在對(duì)新知的逐級(jí)構(gòu)建上。如“一個(gè)數(shù)乘一位數(shù)”法則是一個(gè)模型，在教學(xué)“一個(gè)數(shù)乘兩位數(shù)”時(shí)可以放手讓學(xué)生自主探究，在其過程中，舊模型被調(diào)用，為構(gòu)建更高一級(jí)的法則模型發(fā)揮重要作用。隨著知識(shí)的不斷更新，學(xué)生頭腦中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷得到重組優(yōu)化，舊模型往往被具有更“上位”的新模型所代替或統(tǒng)一，使得數(shù)學(xué)模型更具有了概括性的特征。

數(shù)學(xué)從“關(guān)于數(shù)的科學(xué)”、“關(guān)于數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”到“關(guān)于模式的科學(xué)”，經(jīng)歷了不斷發(fā)展的過程。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要順應(yīng)發(fā)展的要求，培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)和能力。