劉新昌

(新疆農(nóng)一師塔里木高級中學843300)

在以前的教學中，有同事和學生就“什么是曲線的切線？”的觀點不一致。有人認為：“從初中圓的知識切線可知，當直線與曲線有一個公共點時，直線叫做曲線過該點的切線?！币灿腥苏f：“直線是否是曲線過該點的切線與直線和曲線的交點個數(shù)無關(guān)?！边€有許多人無從判斷，說不清道不明。下面就這一點，談一談我個人的觀點。

首先，切線這一概念是在初中三年級幾何的圓中第一次學習，當一條直線與圓只有一個公共點時，我們就說這條直線是圓的一條切線。同時我們在高中計算與圓的切線有關(guān)問題時，方法之一就是用圓和直線的方程建立方程組，再得到一個一元二次方程，令其判別式等于零。實質(zhì)就是讓直線與圓只有一個公共點。

那么能不能將圓的切線推廣為一般曲線的切線呢？也就是說能不能認為一般曲線的切線與曲線也只有一個公共點呢？通過我們在實際學習當中求某些圓錐的曲線時，會發(fā)現(xiàn)求出的直線與圓錐曲線卻有2個甚至多個公共點，或者有許多直線與曲線只有一個公共點，但這些直線卻不是曲線的切線。這用我們通常理解的“切線與曲線只有一個公共點”無法解釋。

如圖：

AB直線與曲線只有一個交點D，但不是曲線的切線。直線PQ雖然與曲線有2個交點，但確是曲線在P處的切線?？梢娗€的切線不一定與曲線只有一個交點。

那么要搞清楚這一問題，我們首先要從圓錐曲線的切線的定義入手。

圓錐曲線的切線定義是:

在曲線的某點A附近取點B，并使B沿曲線不斷接近A。這樣直線AB的極限位置就是曲線在點A的切線。

這是切線在高等數(shù)學中的唯一定義，在高中數(shù)學的必修3中就運用了這一定義，精確的定義了曲線在某點或過某點的切線。通過定義我們知道如果是圓的切線，的確切線與圓只有一個交點。但是求圓錐曲線的切線則不能錯誤的用“只有一個交點”來確定。

通過以上的解釋我們應(yīng)該清楚，在以后計算有關(guān)圓錐曲線的切線時，必須依照定義去做，且不可不分前提而簡單的用“只有一個交點”來判斷圓錐曲線的切線。接下來我們通過幾個例題來說明。下面再舉出幾個例子供大家參考：

例如，利用導數(shù)我們可以輕易的計算出 在(0,0)點的切線就是直線y=0。

而直線 、 雖然與曲線 只有一個公共點，但是x=0、y=-x等都不是其切線。

再如y=sinx，在(0,0)點的切線是y=x。

而直線 、 雖然與曲線y=sinx只有一個公共點，但是如x=0、y=-x等都不是切線。

具體的切線方程可以求導得出，在 處的切線方程是：

收稿日期：2009-03-10