楊瑞敏

摘要：人才是國家的競爭之本，而人才體現(xiàn)在自主創(chuàng)新，數(shù)學(xué)的應(yīng)用則是創(chuàng)新的內(nèi)在核心構(gòu)件。只有將數(shù)學(xué)知識、方法，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)實踐的技能，才能孵化出更多高質(zhì)量的創(chuàng)新成果。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；實踐；技能；創(chuàng)新；構(gòu)件

造就大批創(chuàng)新型人才，是國家發(fā)展的戰(zhàn)略之本。盡管不同的專業(yè)、方向及層面所需的認(rèn)知結(jié)構(gòu)差異很大，但運用數(shù)學(xué)實踐技能的強弱，決定著創(chuàng)新成果的質(zhì)與量。

數(shù)學(xué)被公認(rèn)為人類理性努力的最完美范例。因命題特性、研究方法、手段和作用有別于其他學(xué)科。它不僅直觀，內(nèi)在邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，還有哲學(xué)般的思辨。使認(rèn)知、解決問題，能更理性發(fā)散與收斂：讓過程、結(jié)果更趨客觀實在，能更精確地測度和把握事物。但認(rèn)知不等于技能。從數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)與積累，到自覺運用數(shù)學(xué)的意識建立，再到得心應(yīng)手地將數(shù)學(xué)知識、方法等，轉(zhuǎn)化成認(rèn)知和解決問題的實踐技能，則是完全不同的概念。實踐是人們對物質(zhì)和思想活動的統(tǒng)稱；而技能則是通過練習(xí)獲得，且能夠完成一定任務(wù)的動作系統(tǒng)。

長期的教學(xué)和探索，使筆者感悟到，數(shù)學(xué)的核心價值在于：能精確認(rèn)知、把握考察對象的本質(zhì)及屬性。換言之，學(xué)數(shù)學(xué)不是為背公式和解題，而提升實踐并解決實踐中的新問題，才是落腳點。

一、數(shù)學(xué)成果是源于對實踐的凝練

若想最大限度地把數(shù)學(xué)知識、方法，運用到實踐中去，就需提煉出一套完整的實踐技能體系，或稱其為實踐技能學(xué)。本文所談的數(shù)學(xué)實踐技能，是以提升認(rèn)知和解決問題為目的，全方位、全過程地應(yīng)用數(shù)學(xué)公理、定理、方法、計算及表達(dá)式等的綜合能力。它既不是純粹數(shù)學(xué)方法論，亦不是數(shù)學(xué)課程論，而是將數(shù)學(xué)應(yīng)用與客觀實在有機結(jié)合：把對具體事物的認(rèn)知過程與數(shù)學(xué)已有成果的優(yōu)化再整合，由此所產(chǎn)生出的一整套技能。

1，純思維形式的數(shù)學(xué)實踐技能。思維活動本身就是一種實踐形態(tài)，它的基本特征是能嫻熟駕馭各種要素和已知條件，在規(guī)則內(nèi)任意擴展所需條件，有效構(gòu)筑新的關(guān)系式，使認(rèn)知或解決的問題達(dá)到創(chuàng)新。此技能，是以理性的數(shù)學(xué)思維為軌跡，推導(dǎo)嚴(yán)謹(jǐn)，結(jié)論無可置疑，突出表現(xiàn)在對數(shù)學(xué)原理、方法、知識的使用，對數(shù)學(xué)要素，能自由、合理地分析、移植、整合。在構(gòu)建新關(guān)系體時，又可賦予精確的推演和計算，也包含對已有數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)過程，進行回歸實踐的體悟和對抽象問題的具體化和形象化再現(xiàn)，這些都是實現(xiàn)其他類型的數(shù)學(xué)實踐技能的基礎(chǔ)。比如，牛頓在發(fā)現(xiàn)新宇宙思維方式后，便歸結(jié)為是數(shù)學(xué)思維方式的結(jié)果，并將其著作命名為“自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理”；天文學(xué)家阿達(dá)姆和勒未累，在發(fā)現(xiàn)海王星后，稱其為是數(shù)學(xué)計算的勝利；愛因斯坦，也把偉大的“相對論”歸結(jié)為數(shù)學(xué)思維方式。

2直接應(yīng)用于生活、生產(chǎn)的數(shù)學(xué)實踐技能。從度量衡利用到統(tǒng)計、建模，從簡易器件到航天器的設(shè)計制造，依靠數(shù)學(xué)知識、方法，去準(zhǔn)確認(rèn)知和把握事態(tài)的變化進程和結(jié)果，均可歸為此類型的數(shù)學(xué)實踐技能。表現(xiàn)在兩個方面：一是建立自覺運用數(shù)學(xué)參與解決問題的意識，而且意識越清晰，指導(dǎo)性就越強；二是結(jié)合生活、生產(chǎn)中的問題，有效地運用數(shù)學(xué)知識和方法。如日常生活中的度量和貨幣的簡單交換技能，人們已普遍掌握。但統(tǒng)計方法，尤其是多層統(tǒng)計方法，卻仍是少數(shù)人才具有的技能。盡管它對幫助認(rèn)清復(fù)雜事物的規(guī)律乃至本質(zhì)及屬性方面，有獨特的效能。特別是現(xiàn)代數(shù)學(xué)與建模，對解決復(fù)雜的、呈動態(tài)的系統(tǒng)工程問題，雖任何學(xué)科無法替代，也僅僅是一些專業(yè)者的專屬技能?？梢韵胂?，在航天計劃及特大工程的實施中，若沒有數(shù)學(xué)為主導(dǎo)的知識支撐，那是根本無法實現(xiàn)的。讓數(shù)學(xué)盡量參與，就是充分建立結(jié)構(gòu)關(guān)系和數(shù)學(xué)表達(dá)式，使認(rèn)知和把握更精確。作為技能，只有使用越充分，越熟練，成效就越大。

3利用數(shù)學(xué)表達(dá)式的數(shù)學(xué)實踐技能。數(shù)學(xué)已構(gòu)建了一整套準(zhǔn)確、簡潔的符號表達(dá)體系。它最大的特點是能把復(fù)雜的事物體及過程，變成等量置換且相對簡潔。極大地方便了推演和計算；更大的意義在于，可把一個相對復(fù)雜的系統(tǒng)，拆分成若干相對獨立的簡單部分進行考量，使認(rèn)知更容易、更透徹。擅用符號表達(dá)，是數(shù)學(xué)活動中的重要內(nèi)容。但只有真正理解每個符號的內(nèi)涵和外延及屬性后，才能運用自如。此外，還需依據(jù)實際需要，創(chuàng)建和使用適宜的組合符號群，才會產(chǎn)生卓越。

4運用計算機建模、實證的數(shù)學(xué)實踐技能。對越來越浩繁、多變的事物體的認(rèn)知與測度，單靠人的手和腦，已難以勝任。而計算機的高速運算功能，卻提供了充分應(yīng)用數(shù)學(xué)的可能。在特定的編程下，按照一定目的，再遵循數(shù)學(xué)原則設(shè)定不同要素，就能快捷準(zhǔn)確地計算和推演出全過程。如今，計算機技術(shù)日新月異，從數(shù)值計算到數(shù)據(jù)處理再到建模都具有極大的優(yōu)勢，而且功能強大無比。已從簡單證明，到要素及動態(tài)變化下的復(fù)雜認(rèn)知體計算，甚至可以把抽象的認(rèn)知，賦予以形象的演示。使用此技能，要具備兩個條件：一是對計算機的操作及網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用能力；二是具備純思維形式的數(shù)學(xué)實踐技能，以此確保思路和操作路徑正確。在現(xiàn)代社會大生產(chǎn)下，各行各業(yè)已廣泛利用計算機，所以應(yīng)用計算機的數(shù)學(xué)實踐技能，就不僅僅是重要，而且是趨勢和必備的要求。

5數(shù)學(xué)人文化的數(shù)學(xué)實踐技能。數(shù)學(xué)通過特有的認(rèn)識論、真理觀，形成了獨特的價值判斷標(biāo)準(zhǔn)。如何使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，促進人格完善，則是一個很重要的技能。把數(shù)學(xué)無窮的思維，轉(zhuǎn)變到其他方面的認(rèn)知中，把無差錯與大量的辨證方法，自覺貫穿到行為準(zhǔn)則中，把空間形式、數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系的內(nèi)在對稱、和諧、對立統(tǒng)一，形成善與美、辨證思維的體驗和勇于挑戰(zhàn)所面臨困境的意志磨煉，就可以使數(shù)學(xué)賞心悅目、陶冶性情，形成更高尚的人格。其所具有的理性美、智慧美特征，在理性的高層次上就能顯示出創(chuàng)造的本質(zhì)力量。卓有成就的數(shù)學(xué)家們，正因為具備把數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)人文化的實踐技能，才會在常人認(rèn)為枯燥、艱澀的數(shù)學(xué)海洋中，不知疲倦地孜孜追求，并最終取得了驕人的成績。數(shù)學(xué)的人文化最大價值是：催化數(shù)學(xué)認(rèn)識、數(shù)學(xué)發(fā)展及數(shù)學(xué)實踐的需要及背景不斷升華和提高，對數(shù)學(xué)的再探索、再實踐形成以幾何級數(shù)遞增的反作用力。把數(shù)學(xué)升華到人文精神層面，是學(xué)習(xí)的極高境界。

二、全方位嫻熟應(yīng)用數(shù)學(xué)實踐技能，是創(chuàng)新型思維的孵化器

從某種意義上講，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可分為兩個層面?；鶎邮菍W(xué)知識、重積累：高層才是培養(yǎng)應(yīng)用和提升的技能，即再消化后的再應(yīng)用。現(xiàn)實中有許多數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者，被困在學(xué)知識的層面。結(jié)果是內(nèi)容越來越多，知識日趨復(fù)雜，反被公理、定義、公式、符號等束縛或僵化。而實踐技能不同，它以解決客觀實在的問題為起始，以運用數(shù)學(xué)知識、方法為手段，以獲得某種創(chuàng)新的“自由”為目的。全方位運用數(shù)學(xué)技能，就容易彰顯出事物體的本質(zhì)及屬性的變化規(guī)律。從認(rèn)知要素到命題，從推演到結(jié)論，從部分到整體，予以充分量化。即使不能達(dá)到絕對量化，也可利用“混沌”以“逼近”的方式對客觀實在進行測度，進而發(fā)現(xiàn)內(nèi)在的聯(lián)系和量化條件下的肯定與否定，包括發(fā)現(xiàn)一些問題的空

當(dāng)。從創(chuàng)新角度，這無疑是最有價值的“酵母”；從控制事物角度，經(jīng)過建模和量化測度，對各方面“度”的掌握，就易上升到可操作的層面。自然，新的創(chuàng)新成果就容易產(chǎn)生出來。需要說明的是：這絕不是要把數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)實踐技能，推向極致和萬能，而是讓其“靈魂”煥發(fā)出光彩。

三、教學(xué)過程實現(xiàn)數(shù)學(xué)實踐技能的基本途徑與方法

知識可以儲存，也可通過檢索獲取，但技能只能在反復(fù)訓(xùn)練下，才能形成。

獲取技能的途徑與方法：(1)傳授和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識之始，就充分與實踐廣泛、深入聯(lián)系，即回歸到實際背景和現(xiàn)實原型，實際上也是對知識進行發(fā)散和收斂?，F(xiàn)在教學(xué)往往把知識的積累看得過重，嚴(yán)重忽略了知識在凝練成完美理論前，不但源于實踐，而且蘊含著曲折的認(rèn)知過程。若把最有意義的發(fā)現(xiàn)全過程忽略，就缺失了對完整過程的體驗，自然會枯燥、抽象和導(dǎo)致厭學(xué)，更嚴(yán)重的是對知識的發(fā)散與收斂的技能減弱。(2)營造勇于實踐的氛圍，特別是在群體(班級)接受認(rèn)知時，不同的認(rèn)知背景，所形成合理的認(rèn)知沖突，即在多種思想火花碰撞的雛形下，若能積極引導(dǎo)爭鳴和探索的氛圍，則可以互相啟發(fā)、開闊思路，取長補短，去異存同，使認(rèn)知趨于嚴(yán)謹(jǐn)和精確，把認(rèn)知的技能變成內(nèi)在的認(rèn)知品質(zhì)，并完成群體認(rèn)知的升華或重構(gòu)。(3)從簡單的機械理解和解題入手，通過反復(fù)比較異同，感悟概念的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，從中發(fā)現(xiàn)實質(zhì)、要點、規(guī)律及屬性，也從中品味到數(shù)學(xué)的美妙；若舉一反三。加之再不斷變換要素、條件，逐步增加推演的難度，實現(xiàn)實踐與理論的自由穿梭，就成了解決難題的高手。作為技能的另一特征是，一旦停止使用，還會衰退。從發(fā)現(xiàn)到提出問題，到構(gòu)建成新的、有針對性的數(shù)學(xué)思維關(guān)系序列，再形成完美的最優(yōu)表達(dá)，就是數(shù)學(xué)的一個完整思維鏈。(4)把對數(shù)學(xué)的抽象理解轉(zhuǎn)變?yōu)樾蜗蠡@是一種超鏈接的思維訓(xùn)練。只有善于從實際背景和現(xiàn)實原型的廣泛聯(lián)系，才會把知識認(rèn)知形象化，才能更自覺地應(yīng)用到實踐中去。不僅如此，人的右腦記憶力是左腦的100萬倍，這對龐大的數(shù)學(xué)知識體系存貯，將有著不可估量的價值。(5)盡量把心算、筆算、計算機的輔助應(yīng)用形成技能，使之對數(shù)學(xué)的認(rèn)知形成再發(fā)現(xiàn)或成為靈感的催化劑。(6)廣泛交流、集體研討，尤其與其他學(xué)科進行異構(gòu)交流，那數(shù)學(xué)的使用價值，就能得到充分張揚，最好莫過于親身參與有一定難度的項目實踐活動，把個人自主探索和集體智慧融合在一起，定能起到事半功倍。(7)不斷進行階段性的數(shù)學(xué)認(rèn)知梳理、重構(gòu)，使內(nèi)在關(guān)聯(lián)更嚴(yán)謹(jǐn)、更統(tǒng)一。需要強調(diào)的是，無論從數(shù)學(xué)本身的再創(chuàng)新，還是作為工具，與其他學(xué)科再整合的創(chuàng)新，只有將技能積淀到一定程度，才會產(chǎn)生奇效。若處處自覺、靈活、有效地把數(shù)學(xué)實踐技能融入到一切事物體的考量中，就到達(dá)了自由王國。此境界，也許正是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的期望所在。

總之，要把被動認(rèn)知，向自覺實踐轉(zhuǎn)化，而且是向思維實踐和現(xiàn)實運用實踐兩個方向突圍，才能把認(rèn)知轉(zhuǎn)化成體系性技能。這就需要，認(rèn)知產(chǎn)生后，一切朝著學(xué)以致用的方向不斷錘煉，若能將實踐中的感悟，及時提升到新理論層面，就更難能可貴。此外，技能的積淀，是越總結(jié)越厚實，越用越嫻熟，而且要有以精益求精的精神，反復(fù)提升、錘煉、才會熟中生巧，才能成為經(jīng)典性的技能。

如在講導(dǎo)數(shù)概念之始，先以學(xué)生熟知的、形象的、具體的實例導(dǎo)入，像諸如書桌上方吊燈最佳光線的位置確定，以及學(xué)生在上一節(jié)課時，接受能力的最佳時段，引出它們的共同特點是，尋找一個“最佳值”，即對“變數(shù)”的測定。再利用不同學(xué)生的認(rèn)知背景，讓他們自主探討有關(guān)“最佳值”，并再舉出自己熟知的實例及“最佳值”。這樣讓學(xué)生的思維充分活躍起來，充分訓(xùn)練他們的發(fā)散與收斂技能。

通過直觀引入后，逐步凸顯“變數(shù)”即變化量，是多變事物的構(gòu)成核心要素，就明確了，要解決問題的目標(biāo)和基本思路：是弄清變量與依賴該變量變化的另一個變量的變化規(guī)律，就容易優(yōu)化匹配出諸關(guān)系序列。即：先建立兩變量間相互依賴的關(guān)系式，求出變量與因變量的平均變化率，再求出瞬時的變化率。此間還可以引導(dǎo)學(xué)生注意欣賞符號的簡潔美、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬅?、序列關(guān)系美，實現(xiàn)從具體到抽象的認(rèn)知升華。也明晰該知識的應(yīng)用范圍及方向。若再在微機上演示這個變化過程，則就可更加細(xì)致、清晰地了解各個變化過程的規(guī)律及特點。其目的，就是以教師的理性、有序引導(dǎo)為標(biāo)桿，促使學(xué)生們自我發(fā)現(xiàn)、自己感悟、自主發(fā)散與收斂，自己總結(jié)和提升，自己尋找實踐的結(jié)合點。

作為解題訓(xùn)練，其目的是讓學(xué)生從機械的模仿，到更全面了解概念、要素變化下的具體把握，反復(fù)訓(xùn)練，至少在三種變異題后，就容易培養(yǎng)他們解決問題的多種技巧，進而達(dá)到真正理解、掌握，運用導(dǎo)數(shù)解決現(xiàn)實生活中遇到相似問題。

四、把數(shù)學(xué)實踐技能物化為自主創(chuàng)新的核心構(gòu)件，使數(shù)學(xué)價值發(fā)揮出更大的生命力

創(chuàng)新一般可分為三個層次，即原創(chuàng)新、集成創(chuàng)新和引進消化吸收的再創(chuàng)新。原創(chuàng)新最有意義，也是最難的創(chuàng)新模式，是一個方向上“零”的開始：集成創(chuàng)新，指將各種相關(guān)技術(shù)有機融合，形成新的產(chǎn)品和理論；而引進、消化、再創(chuàng)新，雖常見卻也難有實際突破。原因是已固有的思維導(dǎo)向和成熟度，制約著再發(fā)散和延伸。

創(chuàng)新，是數(shù)學(xué)的本性，純理論的數(shù)學(xué)論文，是不能重復(fù)別人成果的，也不能停留在低層次的創(chuàng)新，而需要更高、更強、更深的創(chuàng)新。創(chuàng)新成果的質(zhì)與量，與數(shù)學(xué)實踐技能的利用密切相關(guān)。對事物體的量化不但可將各種聯(lián)結(jié)方式及強弱凸顯出來，還利于對規(guī)律、結(jié)構(gòu)及精細(xì)處，給予準(zhǔn)確的認(rèn)知和科學(xué)匹配。這正是所有創(chuàng)新的基礎(chǔ)條件，且必不可少。在當(dāng)今，由于主導(dǎo)人類發(fā)展的是科學(xué)技術(shù)，表現(xiàn)方式為全球經(jīng)濟、政治、生活一體化。因而內(nèi)在的理性發(fā)展趨勢，已不可逆轉(zhuǎn)。由于所需認(rèn)知和把握的事物體，越來越龐大和復(fù)雜多變，其內(nèi)在匹配度要求越來越高。而數(shù)學(xué)特有品質(zhì)，恰是解決這些問題的關(guān)鍵性支撐方法。但數(shù)學(xué)知識必定不能直接作用于實踐，只有提煉出一套完整的實踐技能體系，又轉(zhuǎn)化到實踐中去，才能發(fā)揮出應(yīng)有的內(nèi)在核心作用。