喬占科

(蘇州科技大學(xué)數(shù)學(xué)系,江蘇蘇州 215009)

一類廣義正則半環(huán)上同余的特征

喬占科

(蘇州科技大學(xué)數(shù)學(xué)系,江蘇蘇州 215009)

在半環(huán)中引入了一類理想的概念,討論了這類理想的性質(zhì),并研究了一類廣義正則半環(huán)上的同余,給出了這類半環(huán)上一種半環(huán)同余的特征.

半環(huán)同余;半環(huán)理想;分配半環(huán)

1 引言及預(yù)備知識

文[1-2]分別給出正則半群和擬正則半群上的同余,文[3]研究了一類正則半環(huán)上的同余.在此基礎(chǔ)上,本文通過研究半環(huán)理想,給出了一類廣義正則半環(huán)上同余的特征.

設(shè)非空集S有兩個代數(shù)運算,分別為加法“+”和乘法“·”,如果(S,+)和(S,·)均為半群且乘法對加法滿足分配律,即對任意a,b,c∈S有a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca.則稱S是半環(huán).

設(shè)S是半環(huán),如果對任意a,b,c∈S有ab+c=(a+c)(b+c),a+bc=(a+b)(a+c),則稱半環(huán)S是分配的;如果(S,·)是群,則稱S是可除半環(huán).

設(shè)ρ是半環(huán)S上的等價關(guān)系,如果ρ同時是半群(S,+)和(S,·)上的同余,則稱ρ是半環(huán)S上的同余.半環(huán)S上的同余ρ如果使(S/ρ,·)是群,則稱ρ為可除半環(huán)同余.

設(shè)S是半環(huán),如果半群(S,·)中每個元a都有正整數(shù)n使an正則,則稱半環(huán)S是擬正則的.在擬正則半環(huán)S中,對S中每個元a,使得an正則的最小正整數(shù)稱為a的正則指數(shù).以RegS表示擬正則半環(huán)中乘法正則元集.a∈RegS,V(a)表示a的乘法逆元集.

本文所涉及到的其他術(shù)語和記號如未特別說明均見文[4-7].

2 主要結(jié)果

在本節(jié)中,半環(huán)S均指分配半環(huán)且(S,+)交換,(S,·)擬正則.對S中每個元a,凡出現(xiàn)an均指an正則且n是a的正則指數(shù).(an)0∈V(a).

設(shè)H是半環(huán)S的子半環(huán),如果(H,+)是(S,+)的理想,則稱H是半環(huán)S的理想.設(shè)H是S的理想,如果?H,則稱H是滿的.

(11)HaH∩HbH/=?.

這就證明了(5)到(11)均等價.因為(1)與(9)等價,因此上述十一條等價.

注如果U是S上的最小滿的、自共軛的閉理想,則定理對U也成立.

定理2.2設(shè)H是半環(huán)S上的滿的、自共軛的閉理想,定義(a,b)∈ρH,當且僅當符合定理1中的任意一條,則ρH是半環(huán)S上的可除半環(huán)同余.

證明利用文[3]和定理1即得.

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Some characterizations of the congruence on a generalized regular semiring

QIAO Zhan-ke
(Department of Mathematics,Suzhou University of Science and Technology,Suzhou 215009,China)

The concept of an ideal on a semiring is introduced,the properties of the ideal are discussed and the congruence on a generalized regular semiring is studied,some characterizations of a congruence on the semiring are given.

semiring congruence,semiring ideal,distributive semiring

O152.7

A

1008-5513(2009)03-0475-03

2008-02-29.

蘇州科技大學(xué)重點學(xué)科基金資助.

喬占科(1960-),副教授,研究方向：半群理論.

2000MSC:20M17