孔若平

( 西北工業(yè)大學啟迪中學 陜西 咸陽 710072)

如何判定一個振動系統(tǒng)是否做簡諧振動，一般可以用以下兩種方法.

動力學特征：F=-κx,即如果質(zhì)點所受的力與它偏離平衡位置位移的大小成正比，并且總是指向平衡位置，那么質(zhì)點的運動就是簡諧振動．

振動圖像法(x-t圖像)：x=Asin(ωt+φ) 用x代表質(zhì)點相對于平衡位置的位移，t代表時間，即如果質(zhì)點的位移與時間的關(guān)系遵從正弦(或余弦)函數(shù)的規(guī)律，它的振動圖像x-t是一條正弦曲線，這樣的振動就是簡諧振動．

現(xiàn)行教科書及各類參考書對簡諧振動的判據(jù)說法不一，筆者認為動力學方法在高中階段對學生比較適用，簡單步驟如下.

(1)確定振動的平衡位置，物體停止振動靜止時的位置即為平衡位置，并且規(guī)定正負方向.

(2)在振動過程中任選一位置(平衡位置除外)，對物體進行正確的受力分析.

(3)對物體所受的力沿振動方向進行分解，求出振動方向上的合外力.

(4)判定振動方向上的合外力與位移的關(guān)系是否符合F=-κx.

【例1】證明豎直懸掛彈簧的運動是簡諧振動．

證明：彈簧下端懸掛的物體m豎直方向振動時，回復力由重力和彈力的合力提供．設彈簧的勁度系數(shù)為κ，在平衡位置時，回復力F=0，此時彈簧伸長為x0，則

κx0-mg=0

(1)

以平衡位置為坐標原點，設向下為正方向，建立坐標軸，如圖1所示.當物體在振動中到達任意點x時，其回復力為

F=mg-κ(x+x0)

(2)

由(1)、(2)式得

F=-κx

可見物體受的回復力跟偏離平衡位置的位移的大小成正比、方向跟位移方向相反，即該物體做簡諧運動．

圖1

【例2】如圖2(a)所示，在一傾角為θ的光滑斜板上，固定著一根原長l0的輕質(zhì)彈簧，彈簧另一端連接著質(zhì)量為m的滑塊，此時彈簧被拉長為l1.現(xiàn)把滑塊沿斜板向上推至彈簧恰好為原長，然后突然釋放.求證滑塊的運動為簡諧振動．

圖2

證明：松手釋放，滑塊沿斜板往復運動——振動．而振動的平衡位置即滑塊開始時靜止(合外力為零)的位置，在平衡位置(即彈簧長為l1)處，彈簧彈力等于重力沿斜面向下的分力，即

mgsinθ=κ(l1-l0)

滑塊離開平衡位置受力分析，如圖2(b)所示.滑塊受三個力作用，其中彈簧彈力和重力沿斜面向下的分力的合力提供回復力.偏離平衡位置x(設沿斜面向上為正方向，向下為負方向)時，彈簧伸長量

Δx=(l1-l0)-x

此時沿斜面方向的合力為

F=-mgsinθ+κ[(l1-l0)-x]=-κx

方向沿斜面向下，即

F=-κx

可見滑塊受的回復力跟偏離平衡位置的位移的大小成正比、方向跟位移方向相反，即該物體做簡諧運動．

【例3】 如圖3(a)所示，木塊質(zhì)量為m，放在水面上靜止(處于平衡狀態(tài)).現(xiàn)用力向下將其壓入水中一段深度后撤掉外力，木塊在水面上下振動，試判別木塊的振動是否為簡諧振動．

圖3

證明：以木塊為研究對象，設靜止時木塊浸入水中Δx深.當木塊壓入水中x后所受力如圖3(b)所示，則

F=mg-F浮

(1)

又F浮=ρgs(Δx+x)

(2)

由(1)式和(2)式得

F=mg-ρgS(Δx+x)

(3)

因為

mg=ρgSΔx

所以

F=-ρgSx

即

F=-κx(κ=ρgS)

可見木塊受的回復力跟偏離平衡位置的位移的大小成正比、方向跟位移方向相反，即該物體做簡諧運動．

實際在判斷一個系統(tǒng)是否做簡諧振動時，不僅要看系統(tǒng)中振動物體所受的是與其位移x成正比反向的線性回復力，同時還要看系統(tǒng)的機械能是否守恒．因此學生必須把系統(tǒng)的受力情況和機械能的情況聯(lián)系起來綜合考慮．