王軼卿，李勝，陳慶偉

(南京理工大學(xué) 自動化學(xué)院，江蘇 南京210094)

0 引言

近年來，隨著自動控制技術(shù)的發(fā)展和人們對控制系統(tǒng)穩(wěn)定性、快速性、準(zhǔn)確性要求的不斷提高，有限時間控制成為控制理論界研究的前沿課題之一。由于系統(tǒng)在有限時間控制律的作用下具有收斂速度快、穩(wěn)態(tài)精度高、魯棒性好的優(yōu)點，有限時間控制問題自問世以來受到了各國學(xué)者的廣泛關(guān)注。針對該問題目前人們提出的主要方法有:齊次系統(tǒng)方法［1-3］、有限時間Lyapunov 函數(shù)法［4-5］、終端滑模控制法［6-8］等，其中一些已成功地應(yīng)用于一些實際對象的控制，如非完整移動機(jī)器人的控制［9］。但從目前的研究成果來看，非完整系統(tǒng)的有限時間鎮(zhèn)定控制還存在一些問題，如所提控制器存在奇異性、不連續(xù)等問題［9-10］，這主要是由于非完整系統(tǒng)自身的一些特性和控制器設(shè)計方法所造成的。

自非完整系統(tǒng)鎮(zhèn)定控制問題被提出以來，人們就試圖尋找一種反饋控制律，使得以非完整系統(tǒng)為對象的閉環(huán)系統(tǒng)在平衡點漸近穩(wěn)定或指數(shù)穩(wěn)定，但由于非完整系統(tǒng)不滿足Brockett 定理［11］中提出的非線性系統(tǒng)在平衡點附近存在連續(xù)可微反饋鎮(zhèn)定控制器的必要條件，所以理論上不存在光滑的、時不變狀態(tài)反饋控制器，使非完整系統(tǒng)在平衡點穩(wěn)定或漸近穩(wěn)定。針對這一問題，眾多學(xué)者分別提出了非連續(xù)時不變鎮(zhèn)定控制器［12-14］、連續(xù)時變鎮(zhèn)定控制器［15］、混雜控制器［16］三類控制器解決非完整系統(tǒng)的反饋鎮(zhèn)定問題。其中非連續(xù)時不變鎮(zhèn)定控制器只能實現(xiàn)非全局情況下，系統(tǒng)各狀態(tài)指數(shù)穩(wěn)定。連續(xù)時變鎮(zhèn)定控制器雖然可以實現(xiàn)系統(tǒng)的全局指數(shù)穩(wěn)定，但在反饋控制器中需要引入時間變量?；祀s控制器則根據(jù)預(yù)先設(shè)定的時間序列在連續(xù)時不變控制器間切換，使得非完整系統(tǒng)各狀態(tài)指數(shù)收斂。從所得結(jié)論可以看出，上述控制器雖然可以實現(xiàn)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定，但各狀態(tài)均不能在有限時間內(nèi)收斂到平衡位置。尤其是當(dāng)各狀態(tài)與平衡點之間偏差較小時，系統(tǒng)過渡時間較長。

本文針對一類三維非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)，提出了2種基于切換控制策略的有限時間鎮(zhèn)定控制器，并分別應(yīng)用齊次系統(tǒng)方法和終端滑模控制理論，證明了在所設(shè)計的有限時間鎮(zhèn)定控制器的作用下，系統(tǒng)各狀態(tài)能在有限時間內(nèi)從任意的非平衡位置收斂至平衡點。與一些已有非完整系統(tǒng)有限時間鎮(zhèn)定控制器相比，本文提出的2 種控制器均具有非奇異的特點。

1 問題描述

本文主要研究了非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)

的有限時間鎮(zhèn)定問題，即設(shè)計反饋控制器

使得三維鏈?zhǔn)较到y(tǒng)中3 個狀態(tài)x1，x2，x3，能夠在有限時間內(nèi)收斂至平衡位置。其中:［x1，x2，x3］為三維非完整系統(tǒng)的狀態(tài)向量;［u1，u2］為系統(tǒng)輸入向量;實際中很多非完整系統(tǒng)可以通過適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換轉(zhuǎn)換成此類系統(tǒng)，如2 輪驅(qū)動的移動機(jī)器人、滾動的圓盤、獨輪小車等系統(tǒng)。

定義1 非線性系統(tǒng)

是有限時間穩(wěn)定的是指系統(tǒng)滿足Lyapunov 穩(wěn)定性，且可在有限時間內(nèi)收斂至平衡點［2］。其中:f(x)為連續(xù)的向量函數(shù)。

2 有限時間鎮(zhèn)定控制器設(shè)計

2.1 基于齊次系統(tǒng)的有限時間控制器設(shè)計

在設(shè)計系統(tǒng)(1)的有限時間控制器之前，我們先給出一些相關(guān)的引理:

引理1［2］對Brunovsky 標(biāo)準(zhǔn)型的線性系統(tǒng):

控制器:

可以在有限時間內(nèi)將其各狀態(tài)鎮(zhèn)定至平衡位置。其中:ki＞0，且使得多項式:

為Hurwitz 多項式;αi(i=1，2，…，n)之間滿足:

并且αn+1=1，αn=α，0＜α＜1;sign(x)表示符號函數(shù)，即:

在上述定義和引理的基礎(chǔ)上，本文得到了如下定理。

定理1 非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)(1)在切換控制器

的作用下是有限時間穩(wěn)定的。其中:ki＞0，i =1，2，3，且使得多項式

為Hurwitz 多項式;α0=p/q，p，q 為正奇數(shù)且p＜q，α2，α3之間滿足:

證明:首先由三維非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)(1)可知:

當(dāng)u1(x)=1 時，系統(tǒng)的部分狀態(tài)可表示為Brunovsky 標(biāo)準(zhǔn)型的線性系統(tǒng):

其中:z1=x3，z2=x2，v =u2;由引理1 可知，系統(tǒng)(7)在控制器

作用下是有限時間穩(wěn)定的。其中:k2＞0，k3＞0，且使得多項式:

為Hurwitz 多項式; α2，α3之間滿足:

并且α1=1，α2=α，0＜α＜1.

將z1=x3，z2=x2，v =u2代入控制器(8)，可知，系統(tǒng)(1)在控制器

的作用下，狀態(tài)x2，x3能在有限時間［0，t1］內(nèi)從非平衡位置收斂至平衡位置x2=0，x3=0，并且由x·1=1可知，狀態(tài)x1在這段時間內(nèi)的變化有界，從初始值x10變化到(x10+t1).

而當(dāng)狀態(tài)x2，x3在t1時刻到達(dá)平衡位置后，由于x2=0，x3=0，因此u2=0，x2u1=0，故控制輸入u1從u1=1 切換至u1=-k1xα01后，系統(tǒng)狀態(tài)x2，x3可以保持在平衡位置不變，而求解微分方程x·1=-k1xα01，可得狀態(tài)x1關(guān)于時間的方程:

由此可知狀態(tài)x1可以在有限時間段(t1，t2］內(nèi)從(x10+t1)收斂至平衡位置x1=0，并且:

因此，3 維非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)(1)在切換控制器(6)的作用下是有限時間穩(wěn)定的。定理得證。

2.2 基于終端滑模的有限時間控制器設(shè)計

定理2 非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)(1)在控制器

的作用下是有限時間穩(wěn)定的。其中，k ＞0;γ=n0/m0，n0，m0為互質(zhì)的正奇數(shù)且n0＜m0;β ＞0;p =m/n，m，n 為互質(zhì)的正奇數(shù)且n＜m＜2n;λ ＞0;q =n1/m1，m1，n1為互質(zhì)的正奇數(shù)且n1＜m1.

證明:當(dāng)u1(x)=1 時，系統(tǒng)的狀態(tài)方程可表示為

其中，子系統(tǒng)

為一個2 階Brunovsky 標(biāo)準(zhǔn)型的線性系統(tǒng)。

首先證明子系統(tǒng)(14)可以在有限時間內(nèi)到達(dá)滑動平面s:

對所選滑動平面式(15)求導(dǎo)得:

將式(12)中u2和式(14)代入式(16)，得:

當(dāng)p=m/n;m，n 為互質(zhì)的正奇數(shù)且n＜m＜2n時，xp-12≥0:

1)若xp-12＞0，則對于任意x2，總存在ε，使得λpx2p-1＞ε ＞0，因此，子系統(tǒng)(14)可以在有限時間內(nèi)收斂到滑動平面。

2)若xp-12=0，則x2=0，若此時x3=0，則s=0.若x3≠0，由=u2可推得:

由此可知，系統(tǒng)不會停留在x2=0 且x3≠0 的狀態(tài)，而當(dāng)x2≠0 時，xp-12＞0，問題可歸于1).

因此，子系統(tǒng)(14)在有限時間［0，t1］內(nèi)到達(dá)切換平面。

由式(14)和s =x2p+βx3=0 可得:即求解該微分方程，可得狀態(tài)x3關(guān)于時間的方程:

由此可知，子系統(tǒng)(14)各狀態(tài)在到達(dá)滑模面s后，可在有限時間段(t1，t2］內(nèi)沿滑模面s 收斂至原點，且所需時間為

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)x2和x3到達(dá)平衡位置后，由于x2=0，x3=0，因此u2=0，x2u1=0，故控制輸入u1從u1=1切換至u1=-kxγ1后，系統(tǒng)其余狀態(tài)x2和x3可以保持在平衡位置不變，而求解微分方程x·1=-kxγ1，可得狀態(tài)x1關(guān)于時間的方程:

由此可知狀態(tài)x1可以在有限時間段(t2，t3］內(nèi)從(x10+t2)收斂至平衡位置x1=0，并且:

綜合上述證明可知，非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)(1)各狀態(tài)在控制器(12)的作用下在有限時間內(nèi)收斂至原點。定理得證。

2.3 2 種有限時間控制器比較

從上述2 種有限時間控制器證明過程可知，上述兩種控制器均可使系統(tǒng)(1)各狀態(tài)在有限時間內(nèi)收斂至平衡位置。但相比于控制器(6)，控制器(12)的參數(shù)與系統(tǒng)各狀態(tài)收斂至平衡狀態(tài)時刻的關(guān)系更為清晰，當(dāng)參數(shù)κ、β、λ、m0-n0、m1-n1、m -n 越大時，在控制器(12)的作用下，系統(tǒng)各狀態(tài)能更快地到達(dá)平衡位置，否則系統(tǒng)各狀態(tài)到達(dá)平衡位置的時間較長。

3 仿真

本節(jié)各圖中，狀態(tài)x1，x2的單位為red;x3的單位為rad2;控制輸入u1、u2的單位為rad/s.

3.1 基于齊次系統(tǒng)的有限時間控制方法

由定理1 可知，3 維非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)(1)在如下控制器:

的作用下，系統(tǒng)各狀態(tài)可以在有限時間內(nèi)收斂至零點。在滿足定理1 中參數(shù)選擇條件下，控制器各參數(shù)分別選取為:k1=5，k2=2，k3=1，α0=1/3，α2=3/5，α3=3/7.

當(dāng)系統(tǒng)各狀態(tài)初始值分別為:x1(0)=1，x2(0)=2，x3(0)=3 時，在控制器(22)的作用下，系統(tǒng)各狀態(tài)的變化曲線和控制輸入曲線分別如圖1和圖2所示。

當(dāng)系統(tǒng)各狀態(tài)初始值分別為:x1(0)=10，x2(0)=20，x3(0)=30 時，在控制器(22)的作用下，系統(tǒng)各狀態(tài)的變化曲線和控制輸入曲線分別如圖3和圖4所示。

圖1 系統(tǒng)(1)在控制器(22)的作用下，各狀態(tài)的時間響應(yīng)曲線Fig.1 The curves of states of the system (1)under the controller (22)

圖2 系統(tǒng)(1)在控制器(22)的作用下，各控制輸入曲線Fig.2 The curves of inputs of the system (1)under the controller (22)

圖3 遠(yuǎn)離平衡狀態(tài)時，系統(tǒng)(1)在控制器(22)的作用下，各狀態(tài)的時間響應(yīng)曲線Fig.3 The curves of states of the system (1)under the controller (22)when the initial states are far away from the equilibrium

圖4 遠(yuǎn)離平衡狀態(tài)時，系統(tǒng)(1)在控制器(22)的作用下，各控制輸入曲線Fig.4 The curves of inputs of the system (1)under the controller (22)when the initial states are far away from the equilibrium

從圖1和圖3可以看出，不論三維非完整系統(tǒng)各狀態(tài)的初始位置是否遠(yuǎn)離平衡狀態(tài)，系統(tǒng)(1)均可以在控制器(22)的作用下收斂于平衡狀態(tài)，但當(dāng)初始位置遠(yuǎn)離平衡狀態(tài)時，各狀態(tài)到達(dá)平衡位置的時間較長，同時從圖2和圖4可以看出控制器的切換時刻也較晚，主要是由于狀態(tài)x2、x3的初始位置遠(yuǎn)離平衡位置所致。

3.2 基于終端滑模的有限時間控制方法

由定理2 可知，3 維非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)(1)在如下控制器:

的作用下，系統(tǒng)各狀態(tài)可以在有限時間內(nèi)收斂至零點。在滿足定理2 中參數(shù)選擇條件下，控制器各參數(shù)分別選取為:k =1，γ =1/3，β =1，λ =1，p =5/3，q=1/3.

當(dāng)系統(tǒng)各狀態(tài)初始值分別為:x1(0)=1，x2(0)=2，x3(0)=3 時，在控制器(23)的作用下，系統(tǒng)各狀態(tài)的變化曲線和控制輸入曲線分別如圖5和圖6所示。

當(dāng)系統(tǒng)各狀態(tài)初始值分別為:x1(0)=10，x2(0)=20，x3(0)=30 時，在控制器(23)的作用下，系統(tǒng)各狀態(tài)的變化曲線和控制輸入曲線分別如圖7和圖8所示。

從圖5和圖7可以看出，與控制器(22)相似，不論系統(tǒng)(1)各狀態(tài)的初始位置是否遠(yuǎn)離平衡狀態(tài)，該系統(tǒng)均可以在控制器(23)的作用下收斂于平衡狀態(tài)，但當(dāng)初始位置遠(yuǎn)離平衡狀態(tài)時，各狀態(tài)到達(dá)平衡位置的時間較長，同時從圖6和圖8可以看出控制器的切換時刻也較晚，主要是由于狀態(tài)x2、x3的初始位置遠(yuǎn)離平衡位置所致。

圖5 系統(tǒng)(1)在控制器(23)的作用下，各狀態(tài)的時間響應(yīng)曲線Fig.5 The curves of states of the system (1)under the controller (23)

圖6 系統(tǒng)(1)在控制器(23)的作用下，各控制輸入曲線Fig.6 The curves of inputs of the system (1)under the controller (23)

圖7 遠(yuǎn)離平衡狀態(tài)時，系統(tǒng)(1)在控制器(23)的作用下，各狀態(tài)的時間響應(yīng)曲線Fig.7 The curves of states of the system (1)under the controller (23)when the initial states are far away from the equilibrium

綜合以上2 種控制方法，可以看出，基于齊次系統(tǒng)方法的有限時間控制器和基于終端滑模方法的有限時間控制器均可以在有限時間內(nèi)使得三維非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)(1)的所有狀態(tài)由任意初始位置收斂至平衡狀態(tài)。同時，對比圖1和圖5、圖3和圖7，可以發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)(1)各狀態(tài)在相同初始位置下，控制器(23)比控制器(22)能夠使系統(tǒng)各狀態(tài)在更短的時間內(nèi)到達(dá)平衡位置，即系統(tǒng)(1)在基于終端滑模方法的有限時間控制器的作用下收斂速度更快一些，且這一優(yōu)勢在系統(tǒng)的初始狀態(tài)偏離平衡位置較近時尤為明顯。從圖2、圖4、圖6和圖8可以看出，系統(tǒng)的控制輸入均為有界輸入，但同時也可以看到，由于本文所提控制器的控制輸入采用了切換控制策略，因此在控制過程中控制輸入出現(xiàn)了較大幅度的變化，還有待利用無擾動切換技術(shù)予以改進(jìn)。

圖8 遠(yuǎn)離平衡狀態(tài)時，系統(tǒng)(1)在控制器(23)的作用下，各控制輸入曲線Fig.8 The curves of states of the system (1)under the controller (23)when the initial states are far away from the equilibrium

4 結(jié)論

本文針對一類三維非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)的有限時間鎮(zhèn)定問題，提出了2 種基于切換控制策略的有限時間控制器，并基于齊次系統(tǒng)方法和終端滑?？刂评碚撨M(jìn)行了證明:當(dāng)所設(shè)計控制器各參數(shù)滿足給定條件時，在所設(shè)計控制策略的作用下，系統(tǒng)各狀態(tài)可在有限時間內(nèi)從任意非平衡位置收斂于平衡位置。最后利用仿真示例驗證了所設(shè)計控制器的有效性，并對兩種控制器的性能進(jìn)行了比較，從仿真結(jié)果可以看出，本文所提控制策略均能較好的解決三維非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)的有限時間鎮(zhèn)定問題。

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