曾煒?shù)h

（桂林市崇善路灣塘二巷5號(hào)2－4－2，廣西 桂林 541002）

本文是文［1］的第一個(gè)續(xù)篇。

整個(gè)自然界是辯證地發(fā)生、發(fā)展和消亡而過(guò)程轉(zhuǎn)化為再生的，這在至今仍然有效的而以文言秘語(yǔ)著之的中國(guó)古典科學(xué)中，是有文獻(xiàn)供考而可重新發(fā)現(xiàn)的。如：

《老子》（四十八章）：“為學(xué)日益，為道日損，損之又損，以至于無(wú)為。無(wú)為而無(wú)不為?！薄墩摵狻で哺妗罚骸胺蛱斓?，自然也，無(wú)為；如遣告人，是有為，非自然也?！?/p>

分，幾何分形——整個(gè)自然界的形數(shù)結(jié)合的幾何學(xué)，是有其形式表現(xiàn)的。如：《莊子·天下》：“一尺之捶，日取其半，萬(wàn)世不竭。”又《天道》：“必分其能”，即必分整個(gè)現(xiàn)實(shí)宇宙的總能量，亦即設(shè)整個(gè)現(xiàn)實(shí)宇宙的總能量值為形上的常數(shù)一而分之。

關(guān)于形數(shù)結(jié)合的幾何分形，《莊子·齊物論》：“有分，有辯。”《系辭傳》（下）：“辯是與非。”《莊子·至樂(lè)》：“無(wú)為可以定是非?！庇帧短斓馈罚骸肮使胖速F夫無(wú)為也?！?/p>

1 對(duì)稱

在科學(xué)研究中，對(duì)稱這個(gè)概念，最初源于日常生活。如人的面部器官（耳目鼻口）以鼻梁為中心左右兩側(cè)的正常分布基本相同，就說(shuō)它是對(duì)稱的。《莊子·天下》：“譬如耳目鼻口，皆有所明，不能相通，猶百家眾技也，皆有所長(zhǎng)，時(shí)有所用?！?/p>

關(guān)于對(duì)稱，理論物理學(xué)家楊振寧（1922－）說(shuō)：“物理學(xué)中對(duì)稱的概念直接取自我們?nèi)粘５囊?jiàn)解。在動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中，按照對(duì)稱來(lái)考慮，可以得到重要的結(jié)論。”［2］理論物理學(xué)家李政道（1926－）表明的見(jiàn)解尤為重要，他說(shuō)：“1974年5月30日清晨約6點(diǎn)鐘，我住的北京飯店的房間里電話突然響了。我被告知，毛主席打算1 h后，在中南海住處見(jiàn)我。尤其使我感到驚訝的是，見(jiàn)面時(shí)他想了解的第一件事竟是物理學(xué)中的對(duì)稱。”

“根據(jù)韋伯斯特詞典，對(duì)稱的意思是‘平衡的比例’或者‘產(chǎn)生于平衡的比例的形式美’?！痹谥形睦铮瑢?duì)稱有幾乎完全相同的含義。從本質(zhì)上說(shuō)，對(duì)稱是個(gè)靜止的概念。而根據(jù)毛澤東的觀點(diǎn)，社會(huì)進(jìn)化的基礎(chǔ)在于變革。動(dòng)態(tài)，而非靜態(tài)，才是唯一重要的基本要素。他強(qiáng)烈地感覺(jué)到這種認(rèn)識(shí)對(duì)于自然界肯定也是對(duì)的。所以才奇怪為什么對(duì)稱會(huì)在物理學(xué)中占有那么崇高的地位。

“在我們的會(huì)見(jiàn)中，我是唯一的客人。我們的坐椅之間是一個(gè)小茶幾。上面放著鉛筆、筆記本和兩杯綠茶。我把鉛筆【筆者按：這鉛筆的幾何學(xué)抽象為圖1-a1】放在筆記本上【即圖1-a1是位于一個(gè)平面之上】，把筆尖【圖1-a2的‘0’端】指向毛澤東，然后再把筆尖轉(zhuǎn)向我【圖 1-a3】。鉛筆【圖 1-a2】轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)【圖1-a3】又轉(zhuǎn)過(guò)去【圖1-a2】。我指出，這運(yùn)動(dòng)沒(méi)有一刻靜止，但這整個(gè)過(guò)程卻具有對(duì)稱性。毛澤東很欣賞這樣的演示，并且問(wèn)到對(duì)稱的更深含義，問(wèn)到物理學(xué)家能否僅僅根據(jù)對(duì)稱性原理真正描述出普遍規(guī)律”，［3］即真正描述出“質(zhì)化為量過(guò)程轉(zhuǎn)變?yōu)榱炕癁橘|(zhì)和質(zhì)守恒的規(guī)律”，［1］亦即真正描述出——宇宙總能量之化為商過(guò)程轉(zhuǎn)變?yōu)樯袒癁槟芎陀钪婵偰芰渴睾愣伞?/p>

但是，李政道教授上述演示唯一的缺失是，未聲明其演示為就地取材——不可彎折的一支鉛筆（圖1-a1）。因?yàn)椋举|(zhì)的剛性鉛筆是不能對(duì)它施以可塑性實(shí)踐，以求得必須的某種經(jīng)驗(yàn)知識(shí)的。換言之，人們現(xiàn)在已知文［1］中的圖 3-a5或圖 5-a6內(nèi)的實(shí)者表整個(gè)現(xiàn)實(shí)宇宙，即本文中的圖1′-a1表整個(gè)現(xiàn)實(shí)宇宙。對(duì)圖 1′-a1施以一定形式實(shí)踐的對(duì)折，則得整個(gè)現(xiàn)實(shí)宇宙內(nèi)部的相對(duì)運(yùn)動(dòng)態(tài)（圖 1′-a2）。經(jīng)驗(yàn)地繩直圖 1′-a2，則得標(biāo)量態(tài)的圖 1′-a3。將該標(biāo)量態(tài)的圖 1′-a3，變換成矢量態(tài)的圖 1′-a4，是可能的。不可否認(rèn)的事實(shí)是，只有在圖 1′-a4這種情況下，李政道教授才有可能以其手執(zhí)圖1′-a4的中點(diǎn)，令其繞該中點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)（圖1′-a5）又轉(zhuǎn)過(guò)去（圖1′-a4）。李政道教授指出，這運(yùn)動(dòng)沒(méi)有一刻靜止，但這整個(gè)過(guò)程卻具有對(duì)稱性（圖1′-a6）。

圖1 一支鉛筆及其動(dòng)向

圖1 ′現(xiàn)實(shí)宇宙及其對(duì)稱

在此，我們用圖1來(lái)對(duì)應(yīng)恩格斯、列寧的經(jīng)典唯物辯證法思想的見(jiàn)解，并非無(wú)益。

恩格斯說(shuō)：“運(yùn)動(dòng)【圖1′-a4】應(yīng)當(dāng)從它的反面【圖1′-a5】即從靜止【圖1′-a6】找到它的【可求解得的數(shù)值無(wú)窮小量的】量度，這對(duì)于我們的形而上學(xué)者【康托爾及其鼓吹者希爾伯特】來(lái)說(shuō)當(dāng)然是一道【連續(xù)統(tǒng)假設(shè)（continuum hypothesis）】難題和一付苦藥?！保?］

列寧說(shuō)：“統(tǒng)一物【圖1′-a1】之分為兩部分【圖1′-a3】以及對(duì)它矛盾著【圖1′-a6】的部分【圖1′-a6的右側(cè)或左側(cè)】的認(rèn)識(shí)，是辯證法的（是辯證法的‘本質(zhì)’之一，是它的主要特點(diǎn)或特征之一，甚至是它的最主要特點(diǎn)或特征）?！保?］

毛澤東《矛盾論》：“按照唯物辯證法的觀點(diǎn)，自然界的變化，主要地是由于自然界內(nèi)部矛盾的發(fā)展?！ㄎ镛q證法是否排除外部的原因呢？并不排除。唯物辯證法認(rèn)為外因是變化的條件，內(nèi)因是變化的根據(jù)，外因通過(guò)內(nèi)因而起作用?！?/p>

一言以蔽之，經(jīng)典唯物辯證法的這些重要論述，必定會(huì)通過(guò)本文于后的形數(shù)結(jié)合的幾何分形及其可持續(xù)發(fā)展，而將逐一定量地表現(xiàn)出來(lái)。

2 幾何分形

在中國(guó)的數(shù)學(xué)科學(xué)史上，最早的幾何分形之學(xué)，在老子（公元前571－公元前？）之著《老子》一書中，即《老子》（四十八章）：“為學(xué)日益【筆者按：①學(xué)，見(jiàn)《說(shuō)文解字》：“學(xué)，篆文敩省?！薄稌ふf(shuō)命下》：“惟敩，學(xué)半。”《說(shuō)文解字》：“半，物中分也?！雹谌眨?jiàn)《說(shuō)文解字》：“日，實(shí)也”】，為道日損【①道，見(jiàn)《莊子·繕性》：“道，理也?！崩?，見(jiàn)《說(shuō)文解字注·理》：“鄭注樂(lè)記曰：理，分也?！雹谌?，見(jiàn)《說(shuō)文解字》：“日，實(shí)也?！雹蹞p，見(jiàn)《說(shuō)文解字》：“損，減也”】，損之又損，以至于無(wú)為。無(wú)為而無(wú)不為?！钡?，老子之著《老子》書中，這種以文言秘語(yǔ)而著之的幾何分形之學(xué)，今已幾乎無(wú)人能識(shí)。

《辭?！罚?999年版）：“老莊學(xué)派以老子、莊子學(xué)說(shuō)為主的道家學(xué)派?！妒酚洝芬岳锨f同傳，稱莊子‘其學(xué)無(wú)所不窺，然其要本歸于老子之言’。”如：

《老子》（四十三章）：“不言‘之’教，無(wú)為‘之’益，天下希及‘之’。”《莊子·知北游》：“夫知者不言，言者不知，故圣人行不言‘之’教?！?/p>

莊子（公元前369－公元前286）學(xué)說(shuō)，即莊子之著《莊子》。《辭?！罚?999年版）：“《莊子》亦稱《南華經(jīng)》。道家經(jīng)典之一。莊子及其后學(xué)著?！稘h書·藝文志》著錄《莊子》52篇，現(xiàn)僅存郭象注本保留下來(lái)的33篇。其中內(nèi)篇七篇，一般認(rèn)定為莊子著；外篇雜篇可能攙雜有他的門人和后來(lái)道家的作品。一說(shuō)內(nèi)、外、雜諸篇都反映了莊子的思想。其文章汪洋恣肆，并多采用寓言故事形式，想象豐富。……歷來(lái)注解極多，于今通行本有郭象（？－312）注，王先謙（1842－1917）《莊子集解》、郭慶藩《莊子集解》等?！北疚闹械摹肚f子》，皆引自王先謙《莊子集解》。

《莊子·天下》：“一尺之捶【筆者按：一，其數(shù)；尺，其形。一尺，數(shù)與形結(jié)合的幾何學(xué)的圖形（圖1′）】，日取其半【日、半，見(jiàn)《說(shuō)文解字》：“日，實(shí)也?！庇郑骸鞍耄镏蟹忠病薄?，萬(wàn)世不竭”而無(wú)為以終。

［定理 2］現(xiàn)實(shí)宇宙的總能量，日取其半，取之又取，以至于無(wú)為而終。

解：設(shè)現(xiàn)實(shí)宇宙的總能量值為尺（形）上的常數(shù) 1（文［1］中的圖3-a5或圖5-a6上的實(shí)者，即本文中的圖1′，亦即圖2-a1－6）。

求證：現(xiàn)實(shí)宇宙的總能量值1（圖2-a6），日取其半，取之又取，以至于無(wú)為而終。

證：幾何直觀表明，圖2-a6中唯實(shí)無(wú)虛，是不言而喻的。在中國(guó)的古漢語(yǔ)中，所謂日取其半，即實(shí)取其半或?qū)嵢∑湮镏蟹忠?。《說(shuō)文解字》：“日，實(shí)也?！庇郑骸鞍?，物中分也。”

圖2 幾何分形及其張量態(tài)

圖2 ′歐氏幾何?平面直角坐標(biāo)

圖2 ″連續(xù)統(tǒng)的基數(shù)

對(duì)圖2-a6實(shí)取其半，則得圖2-a7。

對(duì)圖2-a7實(shí)取其半，則得圖2-a8。

遵《莊子·天運(yùn)》：“不可多取”之訓(xùn)導(dǎo)，而對(duì)圖2-a8中的分?jǐn)?shù)通分，則得圖2-a9。

將圖2-a9一般化，則得圖2-a10。

以張量描述宇宙膨脹著的整個(gè)自然界，即對(duì)圖2-a10施以去分母的張量運(yùn)算，則得圖2-a11。又繼續(xù)對(duì)圖2-a11施以去分母的張量運(yùn)算，則得圖2-a12或圖2-a13。

結(jié)論：現(xiàn)實(shí)宇宙的總能量值1（圖2-a1－6），日取其半（圖2-a7），取之又?。▓D2-a8），用至于無(wú)為（圖2-a12或圖2-a13）而終。

證畢。

3 幾何微分

什么是科學(xué)？孫鉞說(shuō)：“科學(xué)是認(rèn)識(shí)世界的過(guò)程。”［6］或者說(shuō)，科學(xué)是定量地認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)宇宙的過(guò)程，尤以幾何微分為工具，而求解得我們?nèi)祟惖挠钪孢^(guò)程極為敏感的初始條件或邊界條件。

哈利韋爾（Jonathan J. Halliwell）說(shuō)：“量子宇宙學(xué)家不可推卸的任務(wù)是提出宇宙初始條件或邊界條件的定律?！保?］不幸的是，西方學(xué)術(shù)界的這種努力，至今仍未見(jiàn)成效。

在中國(guó)本土的傳統(tǒng)科學(xué)中，自然科學(xué)（又稱“量子渾沌宇宙學(xué)”），其目的是要求解得量子渾沌宇宙態(tài)（圖 2-a12或圖2-a13）。而且，量子渾沌宇宙態(tài)是幾何微分的直接基礎(chǔ)，即是隱行別也的直接基礎(chǔ)。《說(shuō)文解字》：“微，隱行也?！庇郑骸胺郑瑒e也。”又：“別，分解也。”分解也，即別解也，亦即量子凝聚形式有序宇宙學(xué)的初始條件或邊界條件之解也，不可不察。

所謂渾沌，是以其量子——能量子（實(shí)）與虛量子（不實(shí)）同向相連或未別來(lái)表征的。（圖2-a12）《辭海》（1999年版）：“渾沌①同“混沌”?！苤玻?92－232）《七啟》：“夫太極之初【筆者按：①夫，見(jiàn)《說(shuō)文解字》：“夫，——周制以八寸為尺”，即密制以八寸（圖 2″-a12，即圖 2-a12）為尺（圖 1，即圖 2-a1－6）。②之，見(jiàn)《莊子·田子方》：“凡之亡也”】，渾沌未分【即能量子（實(shí)）與虛量子（不實(shí)）同向相連而未別（圖2-a12）。《說(shuō)文解字》：“分，別也”】。”又：“混沌①古……天地相連的狀態(tài)。《白虎通·天地》：‘混沌相連【筆者按：連（圖2-a12），見(jiàn)《莊子·大宗師》：“連乎其似好閉也?！薄兑住だぁの难浴罚骸疤斓亻]?！薄抖Y記·月令》：“天地不通閉塞而成冬?！薄墩f(shuō)文解字注·冬》：“冬之為言終也?！薄肚f子·田子方》：“凡之亡也”】，視之不見(jiàn)，聽(tīng)之不聞?！薄吨腥A大辭典》（1915年編）：“混沌，陰陽(yáng)未分也【筆者按：引伸為虛、實(shí)同向相連而未別也】。見(jiàn)《字匯》?！惫试唬毫孔訙嗐绲臄?shù)學(xué)科學(xué)形式表現(xiàn)，即圖2-a12，不誤。

圖3 從渾沌到可迭代有序

圖3 ′連續(xù)統(tǒng)的基數(shù)·序數(shù)及N1

所謂幾何微分，即《老子》書中至今仍然有效的“無(wú)為而無(wú)不為”之說(shuō)，亦即《莊子》書中的“有為”之說(shuō)。

《老子》（四十八章）：“為學(xué)日益，為道日損，損之又損，以至于無(wú)為【圖2-a12或圖2-a13，即圖3-a1或圖3-a′1】。無(wú)為而無(wú)不為【圖3-a2或圖3-a′2】?！薄肚f子·天道》：“無(wú)為也，則用天下而有馀；有為也，則為天下用而不足。故古之人貴夫無(wú)為也?！币?yàn)?，《老子》書中的“無(wú)為”，即是幾何分形之終（圖2-a12或圖2-a13）。《莊子·秋水》：“消息盈虛，終【圖2-a12或圖2-a13，即圖 3-a1或圖 3-a′1】則有始【圖 3-a2或圖 3-a′2】?！庇帧吨庇巍罚骸八馈緢D 2-a12或圖 2-a13，即圖 3-a1或圖 3-a′1】也生之【之，見(jiàn)《莊子·人間世》：“而知‘之’所為‘出’乎哉?！薄墩f(shuō)文解字》：“之，出也”】始【圖3-a2或圖3-a′2】?！惫试唬菏肌緢D3-a2或圖 3-a′2】，即量子凝聚形式有序宇宙階段［1］極為敏感的初始條件或邊界條件，亦即我們?nèi)祟惖挠钪孢^(guò)程極為敏感的初始條件或邊界條件。但是，敏感其何？這個(gè)問(wèn)題于中國(guó)古代流傳至今以文言秘語(yǔ)而為之的文獻(xiàn)中，是有記載的。如，

《老子》（四十八章）：“取天下【圖2-a12，即圖3-a1，亦即圖 5-a1?！妒酚浳宓郾炯o(jì)》：“天下謂之渾沌”】常以無(wú)事?！薄肚f子·大宗師》：“無(wú)事而生定?！庇帧跺羞b游》：“定乎內(nèi)、外【圖5-a1，即圖 3-a1，亦即圖 2-a12】之分【圖 5-a2（《說(shuō)文解字》：“之，出也。”又：“分，別也”），即圖3-a2】?！薄抖Y記·大學(xué)》：“外本內(nèi)末?！庇秩纾?/p>

圖4 無(wú)窮積分或無(wú)窮集合

圖4 ′連續(xù)統(tǒng)假設(shè)

《老子》（四十八章）：“取天下常以無(wú)事【1．以，見(jiàn)《說(shuō)文解字》：“以，用也?！?．無(wú)事，見(jiàn)圖 6-a1，即圖 3-a1，亦即圖2-a12】。及其有事【有事，即事至?！肚f子·田子方》：“事至而斷”（圖 6-a2，即圖 3-a2）】，不足【圖 6-a2，即圖 3-a2】以取天下【用取圖 6-a1，即圖3-a1，即圖 2-a12】?！薄抖Y記·樂(lè)記》：“宮為君，商為臣，角為民，徴為事，羽為物?！竟P者按：即圖6-a1為圖 6-a2】”《論語(yǔ)·學(xué)而》：“敏于事【圖 6-a2】。”

商（圖6-a1，即圖3-a1，亦即圖2-a12），見(jiàn)《中華大辭典》（1915年編）：“商，張也，陰氣開(kāi)張?！庇郑骸吧?，漏刻也?！秲x禮士昏禮注》日入三商為昏?！锻ㄑ拧啡蹋桃病?。再見(jiàn)《辭海》（1999年版）：“商④漏刻。古代漏壺中箭上所刻的度數(shù)?！秲x禮·士昏禮》賈公彥疏：‘鄭目錄云：‘日入三商為昏?！蹋^商量【曾煒?shù)h按：商量，讀作Shānɡ liànɡ。［辨誤］在這里，商量——不能讀作 Shānɡ liánɡ】，是漏刻之名?！痹僬撸肚f子·天下》：“譬如耳目鼻口【筆者按：見(jiàn)圖 7-a1，即圖 3-a1，亦即圖2-a12】，皆有所明，不能相通，猶百家眾技也，皆有所長(zhǎng)，時(shí)有所用?！庇帧吨庇巍罚骸岸柯斆鳌竟P者按：見(jiàn)圖7-a1，即圖3-a1，亦即圖2-a12】?！庇帧短斓亍罚骸奥斆黝Ｖ?，給數(shù)以敏?！薄墩撜Z(yǔ)·學(xué)而》：“敏于事【圖 6-a2，即敏于數(shù) 0（圖 7-a2）】。”《系辭傳》（上）：“易，無(wú)思也【筆者按：無(wú)，見(jiàn)《說(shuō)文解字》：“無(wú)，亡也”】，無(wú)為也【無(wú)為（圖2-a12，即圖3-a1，亦即圖7-a1），見(jiàn)《莊子·田子方》：“無(wú)為而才自然矣?！薄墩摵狻で哺妗罚骸白匀灰玻瑹o(wú)為”】，寂然不動(dòng)【中國(guó)的寂然不動(dòng)說(shuō)與西方的熱寂說(shuō)于宇宙過(guò)程互相對(duì)立。見(jiàn)文［1］的圖7】，感而遂通天下之故。”《禮記·樂(lè)記》：“感于物【筆者按：物，見(jiàn)圖 6-a2，即圖 7-a2】而后動(dòng)【動(dòng)，見(jiàn)圖7-a3或圖6-a3，即圖4-a1】?！薄肚f子·刻意》與《莊子·天道》皆曰：“動(dòng)而與陽(yáng)同波【圖7-a3，即圖6-a3，亦即圖4-a1或圖4-a′1】”，此即中國(guó)古代科學(xué)中至今仍有效的量子宇宙波動(dòng)說(shuō)。

霍金（Stephen Hawking）在就任［英］劍橋大學(xué)盧卡西恩講座教授的就職講演中說(shuō)：“我認(rèn)為【我們?nèi)祟惖摹坑钪妗具^(guò)程】的初始條件，是和局部的物理定律一樣，都是同樣適合作為科學(xué)研究及理論的課題來(lái)探討的?！保?］不幸的是，霍金教授及他的西方同行們，事實(shí)上至今仍未能“對(duì)宇宙的初始條件及局部的物理定律做出解釋。”［8］

其實(shí)，量子渾沌宇宙態(tài)【圖2-a12，即圖3-a1】的局域等值變換【圖3-a2】，則得我們?nèi)祟惖挠钪孢^(guò)程的極為敏感的初始條件或邊界條件。

圖5 內(nèi)、外出別

圖6 無(wú)事·有事

圖7 七竅·敏感·動(dòng)

4 無(wú)窮積分或無(wú)窮集合

在中國(guó)古代的數(shù)學(xué)科學(xué)中，以道家學(xué)派為代表創(chuàng)建的無(wú)窮積分或無(wú)窮集合，仍是以文言秘語(yǔ)來(lái)表述的。所以，道藝復(fù)興，是重振中國(guó)科學(xué)的前提條件。（見(jiàn)表1）

《老子》（四十八章）：“為學(xué)日益，為道日損，損之又損，以至于無(wú)為【圖2-a12或圖2-a13，即圖3-a1或圖3-a′1】。無(wú)為而無(wú)不為【圖3-a2或圖3-a′2】?！薄肚f子·天道》：“無(wú)為也，則用天下而有馀；有為也，則為天下用而不足。故古之人貴夫無(wú)為也?！薄独献印罚ㄆ呤哒拢骸坝锈耪摺緢D2-a12或圖2-a13，即圖3-a1或圖 3-a′1】，損之 【圖 3-a2或圖 3-a′2】；不足者【圖 3-a2或圖3-a′2】，補(bǔ)之【圖 4-a1或圖 4-a′1及圖 4-a2或圖 4-a′2】。”《莊子·天下》：“以有積為不足【圖3-a2或圖3-a′2】”，即以有無(wú)窮積分為圖3-a2或圖3-a′2，亦即有無(wú)窮積分極為敏感的初始條件或邊界條件為圖3-a2或圖3-a′2。因?yàn)?，圖3-a2即圖7-a2是不言而喻的。

再者，《莊子·大宗師》：“陰陽(yáng)于人【筆者按：人，見(jiàn)《說(shuō)文解字》：“人，天地之性最貴者也”】。”又《知北游》：“人之【筆者按：之，見(jiàn)《莊子人間世》：“而知‘之’所為‘出’乎哉?！薄墩f(shuō)文解字》：“之，出也”】生，氣之聚也，聚則為生，散則為死?！庇郑骸八馈緢D 2-a12或圖 2-a13，即圖 3-a1或圖 3-a′1】也生之始【圖3-a2或圖3-a′2】?！庇帧度碎g世》：“氣也者，虛而待物【圖6-a2，即圖3-a2中以同步迭代】者也【圖6-a3，即圖4-a1】。唯道集虛【筆者按：1．唯，見(jiàn)《辭?！罚?999年版）：“唯④語(yǔ)助詞，無(wú)義?！墩撜Z(yǔ)·述而》：‘與其進(jìn)也，不與其退也，唯何甚。’”2．道，何謂道？《系辭傳（上）》：“一陰一陽(yáng)之謂道”，其形數(shù)結(jié)合的幾何學(xué)語(yǔ)言即：一陰一陽(yáng)出謂道（圖6-a2，即圖3-a2），《說(shuō)文解字》：“之，出也。”3．集，見(jiàn)《左傳·襄公二十六年》：“今日之事，幸而集?！保?）事，見(jiàn)《莊子·田子方》：“事至而斷”（圖6-a2）。（2）幸，見(jiàn)《莊子·德充符》：“幸能正生”，即幸能是生（圖3-a2）。《說(shuō)文解字》：“正，是也?！痹僖?jiàn)《中華大字典》（1915年編）：“幸本作?！墩f(shuō)文夭部》：“吉而免兇也。從，從夭。夭，死之事，死謂不。《段注》死為不幸，則免死為幸?！惫P者：死（圖2-a12，即圖3-a1）為不幸，則免死（圖3-a2，即圖6-a2）為幸。故曰：所謂幸而集，即圖3-a2而集?！掇o海》（1999年版）：“集⑥通‘輯’。輯睦；……”輯睦，見(jiàn)《左傳·成公十六年》：“輯睦以事君”，即輯睦用事君（圖6-a2，即圖 3-a2）?！墩f(shuō)文解字》：“以，用也。”4．集虛，即無(wú)窮集合和無(wú)限程序的有限多個(gè)同步迭代步驟有其完整解，因?yàn)閳D6-a2即圖3-a2中存在著的迭代者與被迭代者之間的可整除關(guān)系是其根據(jù)?！薄俊！边@就是我們重新發(fā)現(xiàn)《莊子》書中以文言秘語(yǔ)而為之且至今仍有效的，無(wú)窮集合之說(shuō)及其解。

表1 中國(guó)古代的數(shù)學(xué)科學(xué)

5 西方的數(shù)學(xué)

什么是西方的數(shù)學(xué)的全貌？

數(shù)學(xué)家張恭慶教授說(shuō)：“由于數(shù)學(xué)的壯大和發(fā)展，20世紀(jì)以來(lái)，已經(jīng)沒(méi)有一個(gè)人能夠像龐加萊（Henri Poincaré，1854－1912）和希爾伯特（David Hilbert，1862－1943）當(dāng)年那樣通曉數(shù)學(xué)的全貌了。”［9］

式(24)雖然消除了輔助參數(shù)但θ2中卻同時(shí)引入了另外的輔助參數(shù)ρ.顯然，θ2中ρ和x,y是相關(guān)的，因此式(24)的結(jié)果同樣并非最優(yōu).為此，在第3步中，利用θ2中輔助參數(shù)ρ與目標(biāo)位置x,y的約束關(guān)系來(lái)構(gòu)建方程，從而進(jìn)一步提高目標(biāo)位置的估計(jì)精度.考慮的估計(jì)誤差，則由ρ=x2+y2可得：

所以，我們僅限于簡(jiǎn)要地逐一討論與本文相關(guān)的、西方的歷史的數(shù)學(xué)中的一些問(wèn)題。

5.1 歐幾里得《幾何原本》

愛(ài)因斯坦（Albert Einstein，1879－1955）說(shuō)道：“西方的科學(xué)發(fā)展是以兩個(gè)偉大的成就為基礎(chǔ)，那就是：希臘哲學(xué)家發(fā)明形式邏輯體系（在歐幾里的幾何學(xué)中），以及（在文藝復(fù)興時(shí)期）發(fā)現(xiàn)通過(guò)系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)可能找出因果關(guān)系。在我看來(lái)，中國(guó)的賢哲沒(méi)有走上這兩步，那是用不著驚奇的。要是這些發(fā)現(xiàn)果然都作出了，那倒是令人驚奇的事?！保?0］

關(guān)于歐幾里的幾何學(xué)，西方的數(shù)學(xué)史權(quán)威莫里斯·克萊因（Morris Kline，1908－1992）說(shuō)：“Euclid的直線是我們所說(shuō)的線段?！保?1］

我們的初級(jí)中學(xué)課本《幾何》中說(shuō)道：“線段用表示它的兩個(gè)端點(diǎn)的兩個(gè)大寫字母來(lái)表示【筆者按：即本文中的圖2′-a′1】，也可以用一個(gè)小寫字母來(lái)表示【即本文中的圖2′-a1】?！保?2］

張英伯教授說(shuō)：“歐幾里得《幾何原本》中的內(nèi)容已在現(xiàn)代中等教育中分成了若干部分，分別歸入平面幾何、代數(shù)、三角、立體幾何。初中平面幾何的內(nèi)容主要取材于《幾何原本》的前六章，……。《幾何原本》的開(kāi)頭列出的5個(gè)公理和五個(gè)公設(shè)……公理適用于數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域……公設(shè)適用于幾何部分?！保?3］

M·克萊因說(shuō)：希臘“古典時(shí)期【初等】數(shù)學(xué)成就的精華是 Euclid的《原本》?！保?1］“作圖題在希臘幾何中起重要作用，而Euclid公設(shè)確實(shí)限制只許用尺規(guī)作圖?！緩埨砭堝\炎譯注：“‘尺規(guī)’兩字是按習(xí)慣說(shuō)法譯的，這里的‘尺’實(shí)際應(yīng)是‘直邊’，理應(yīng)理解為沒(méi)有刻度的尺?！薄俊保?1］他還指出：“Euclid舉出如下的公設(shè)：

（1）從任一點(diǎn)到任一點(diǎn)作直線［是可能的］。

（2）把有限直線不斷循直線延長(zhǎng)［是可能的］。

（3）以任一點(diǎn)為中心和任意距離［為半徑］作一圓［是可能的］。

（4）所有直角彼此相等。

（5）若一直線與兩直線相交，且若同側(cè)所交兩內(nèi)角之和小于兩直角，則兩直線無(wú)限延長(zhǎng)后必相交于該側(cè)的一點(diǎn)?！鄙院?，M·克萊因說(shuō)：“頭3個(gè)公理說(shuō)的是可以構(gòu)作線和圓。所以它們是對(duì)兩件東西存在性的聲明，在第一篇里的講述過(guò)程中，Euclid通過(guò)構(gòu)作證明了其他一些東西的存在，但平面是例外。”［11］

筆者警覺(jué)到，M·克萊因教授的上述說(shuō)教，對(duì)人們具有極大的欺騙作用。

首先，歐幾里得《幾何原本》的公設(shè)1，從任一點(diǎn)到（另）任一點(diǎn)作直線。

眾所周知，歐幾里得幾何作圖，必須有其作圖用的工具和給定的已知的作圖條件，這樣就會(huì)出現(xiàn)如下兩種可能的情況：

一種可能是，若事先給定作圖的工具——一把沒(méi)有刻度的直尺和一個(gè)圓規(guī)（《辭?！罚?999年版）：“圓規(guī)作圖用的作圖工具。有兩股，上端鉸接，下端可隨意分開(kāi)或合攏，以調(diào)整所作圓或圓弧半徑的大小”），則歐幾里得《幾何原本》的公設(shè)1是作不成圖的。因?yàn)?，作圖用的作圖工具——尺長(zhǎng)已定，若給出的任意兩點(diǎn)間的距離大于作圖工具——尺長(zhǎng)，則作不成圖。若給出的任意兩點(diǎn)間的距離小于作圖工具——尺長(zhǎng)，而作出的直線（線段）其對(duì)應(yīng)于作圖工具——直尺上至少有一刻度，而與歐幾里得《幾何原本》的作圖工具——無(wú)刻度的直尺之規(guī)定相悖。

另一方面，若先給定任意的兩點(diǎn)，并以此兩點(diǎn)間的距離為準(zhǔn)，去制造一把長(zhǎng)度相對(duì)應(yīng)而無(wú)刻度的直尺，然后以該直尺為作圖的一定工具，對(duì)上述給定的任意兩點(diǎn)間作直線（線段）雖為可能，但是這種作圖是沒(méi)有普適性的。

所以，歐幾里得《幾何原本》的公設(shè) 1，是其尺規(guī)作圖規(guī)定作不成圖的一個(gè)所謂假設(shè)。

再者，歐幾里得《幾何原本》公設(shè) 2，即把有限直線不斷循直線延長(zhǎng)；公設(shè)5，即平行公設(shè)或平行公理。

關(guān)于歐幾里得《幾何原本》的這兩條公設(shè)或公理，甚至西方的數(shù)學(xué)史權(quán)威M·克萊因也指出道：“關(guān)于在物質(zhì)空間里是否可假定存在無(wú)限直線這個(gè)與此【平行公理】有關(guān)的問(wèn)題，起初沒(méi)有那么多人關(guān)心，但終于突出成為【與平行公理】同樣重要的問(wèn)題。Euclid只是小心地假設(shè)，可以按需要延長(zhǎng)一條（有限）直線，因而甚至那延長(zhǎng)后的直線也還是有限的。還有Euclid敘述平行公理的特別措辭，說(shuō)兩條直線將在截線的同旁內(nèi)角之和小于兩直角的一側(cè)相交，這是為了避免直接說(shuō)出兩條直線無(wú)論怎樣延長(zhǎng)都不相交的一種方式。然而，Euclid確實(shí)含有無(wú)限直線存在的思想，因?yàn)榧偃糁本€都是有限的，則在任何情況下它們也不能按需要任意延長(zhǎng)，而且它證明了平行線的存在性?！保?4］

其三，歐幾里得《幾何原本》的公設(shè) 3，以任意一點(diǎn)為圓心和任一距離（為半徑）可作一圓。

筆者斷言，所謂“以任意一點(diǎn)為圓心和任一距離（為半徑）作一圓”，是不可能的。因?yàn)?，歐幾里得《幾何原本》的作圖工具之一為無(wú)刻度的直尺，其尺長(zhǎng)已經(jīng)給定，則其另一作圖工具——圓規(guī)，其規(guī)距能夠也只能夠作以該直尺的尺長(zhǎng)為半徑的圓。換言之，歐氏《幾何原本》作圖工具之一——無(wú)刻度的直尺的尺長(zhǎng)一定，則其另一作圖工具——圓規(guī)是而且只能夠是一個(gè)死規(guī)或銹規(guī)，即規(guī)距既不能夠大于也不能夠小于直尺的尺長(zhǎng)，亦即規(guī)距是也只能夠是恒為尺長(zhǎng)的圓規(guī)。

結(jié)論：綜上所述，歐幾里得《幾何原本》的所謂出發(fā)點(diǎn)——公理體系，不真。

5.2 坐標(biāo)幾何或解析幾何

關(guān)于坐標(biāo)幾何，M·克萊因說(shuō)：“Fermat和Descartes是數(shù)學(xué)中【繼 Euclid《幾何原本》之后】下一個(gè)巨大創(chuàng)造的主要負(fù)責(zé)人，……他們所創(chuàng)立的科目叫坐標(biāo)幾何或解析幾何，其中心思想是把代數(shù)方程和曲線曲面等聯(lián)系起來(lái)。這個(gè)創(chuàng)造是數(shù)學(xué)中最豐富最有效的設(shè)想之一。”［15］

雖然，M·克萊因吹捧了坐標(biāo)幾何，他還是不得不指出道：“別的數(shù)學(xué)家用比較粗魯?shù)恼Z(yǔ)言攻擊分析方法。Carnot希望‘把幾何學(xué)從分析學(xué)的畫符樣難懂的文字中解放出來(lái)。’這個(gè)世紀(jì)后期，Eduard Study（1862－1922）稱坐標(biāo)幾何的機(jī)器似的過(guò)程為‘坐標(biāo)磨坊的嘎嘎聲。’”他還接著說(shuō)：“對(duì)幾何學(xué)解析方法的反對(duì)不只是出于個(gè)人的偏好或口味。首先，一個(gè)真正的問(wèn)題是，到底解析幾何學(xué)是不是幾何學(xué)？因?yàn)榉椒ê徒Y(jié)果的實(shí)質(zhì)都是代數(shù)，它們的幾何意義都是隱蔽的?！保?4］

對(duì)解析幾何的見(jiàn)解，數(shù)學(xué)家張恭慶教授的見(jiàn)解尤為離譜，他說(shuō)：“數(shù)學(xué)一開(kāi)始就是研究‘?dāng)?shù)’和‘形’的。從古希臘時(shí)期起，人們就已試圖把它們統(tǒng)一起來(lái)。目的雖未能完全達(dá)到，但卻找到了兩者之間的種種聯(lián)系，推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。17世紀(jì)笛卡爾的解析幾何可謂是這兩者結(jié)合的典范，用‘?dāng)?shù)’研究‘形’，引進(jìn)了坐標(biāo)，也引進(jìn)了變量數(shù)學(xué)?！保?］

《辭?！罚?999年版）：“坐標(biāo)，確定平面上或空間中一點(diǎn)位置的一組有序數(shù)。例如，在平面上，取點(diǎn)O為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O引互相垂直的兩條直線 X′OX、Y′OY，稱為坐標(biāo)軸，從一點(diǎn)P作它們的垂線 PM、PN。設(shè)從點(diǎn) O到垂足M和N的距離是|X|和|Y|，視垂足M在點(diǎn)O的右或左，N在點(diǎn)O的上或下，而規(guī)定X和Y的正和負(fù)。稱（X，Y）為點(diǎn)P在笛卡兒坐標(biāo)系XOY下的坐標(biāo)，簡(jiǎn)稱‘直角坐標(biāo)’?！?/p>

事實(shí)上，人們歷來(lái)不知“平面直角坐標(biāo)”的真正來(lái)歷唯本文中的圖2′，即反科學(xué)或背離科學(xué)的圖2′。

圖8 平面直角坐標(biāo)

5.3 集論——無(wú)窮集合和無(wú)限程序

關(guān)于西方的數(shù)學(xué)，M·克萊因說(shuō)：“二十世紀(jì)數(shù)學(xué)中最為深入的活動(dòng)，是關(guān)于基礎(chǔ)的探討。強(qiáng)加于數(shù)學(xué)家的問(wèn)題，以及他們自愿承擔(dān)的問(wèn)題，不僅牽涉到數(shù)學(xué)的本性，也牽涉到【西方的】演繹數(shù)學(xué)的正確性。”［16］

論及西方的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，M·克萊因指出：“1930年以后的全部發(fā)展還留下來(lái)兩個(gè)沒(méi)有解決的大問(wèn)題：去證明不加限制的經(jīng)典分析與集合論的相容性，以及在嚴(yán)格【幾何】直觀的基礎(chǔ)上去【重新】建立【西方的】數(shù)學(xué)，或者去確定這種途徑的限度。在這兩個(gè)問(wèn)題中，困難的根源都在于無(wú)窮集合和無(wú)限程序中所用到的無(wú)窮（infinity）。”［16］

關(guān)于集合論，M·克萊因說(shuō)：“西方的集合論的創(chuàng)建者是Georg Cantor（1845－1918）?！保?6］他又說(shuō)：“Contor指出，他的關(guān)于無(wú)窮數(shù)或超限數(shù)的理論，不同于普通所說(shuō)的一個(gè)變量變得無(wú)窮小或無(wú)窮大的那個(gè)無(wú)窮的概念。兩個(gè)一一對(duì)應(yīng)的集合具有相同的勢(shì)或基數(shù)。對(duì)于有限集合來(lái)說(shuō)，基數(shù)就是這集合中的元素的個(gè)數(shù)。對(duì)于無(wú)窮的集合，要引進(jìn)新的基數(shù)。自然數(shù)集合的基數(shù)用N0表示?！保?6］他還說(shuō)：“Cantor已經(jīng)證明，對(duì)于給定的任一集合，總可以構(gòu)造一個(gè)新的集合，即所給集合的所有子集構(gòu)成的集合，使其基數(shù)大于所給集合的基數(shù)。如果給定集合的基數(shù)是N0，則其全部子集構(gòu)成的集合具有基數(shù)2No。Cantor已經(jīng)證明2No＝C，這個(gè)C就是連續(xù)統(tǒng)的基數(shù)。另一方面，他通過(guò)序數(shù)引進(jìn)了N1，并證明N1是N0的后繼者，于是N1≤C。

至于N1＝C是否成立，即連續(xù)統(tǒng)假設(shè)（continuum hypothesis）是否成立，Contor不管怎樣刻苦努力，也不能回答。在1900年的國(guó)際數(shù)學(xué)會(huì)議上，Hilbert把這個(gè)問(wèn)題列入了著名問(wèn)題的名單中?！保?6］

但是，西方的數(shù)學(xué)中的康托爾連續(xù)統(tǒng)假設(shè)欲獲證明，其于中國(guó)的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)科學(xué)中不過(guò)是順手牽羊的小事一樁。如，

5.4 從混沌到有序

在中國(guó)的古典數(shù)學(xué)科學(xué)中，從渾沌到有序的最簡(jiǎn)要的文言秘語(yǔ)表述是，《莊子·在宥》：“渾渾沌沌，終身不離【筆者按：所謂終身不離，即死亦相連——連續(xù)統(tǒng)（圖2-a12或圖2-a13，即圖3-a1或圖3-a′1）或大一統(tǒng)?！豆騻鳌る[公元年》：“何言乎王正月？大一統(tǒng)也。”《莊子·天下》：“歷物之意，曰：至大‘無(wú)’外，謂之大一；至小‘無(wú)’內(nèi)，謂之小一。”1．無(wú)，見(jiàn)《說(shuō)文解字》：“無(wú)，亡也?！?．內(nèi)、外，見(jiàn)《禮記·大學(xué)》：“外本內(nèi)末”（圖5-a1，即圖2-a12）】；若彼知‘之’【之，見(jiàn)《莊子·田子方》：“凡之亡也”（圖2-a12，即圖3-a1）】，乃是離‘之’【之，見(jiàn)《莊子·人間世》：“而知‘之’所為‘出’乎哉?！薄墩f(shuō)文解字》：“之，出也”（圖 3-a2，即圖 5-a2）】?！?/p>

本文于前已引《辭?！罚?999年版）：“老莊學(xué)派以老子、莊子學(xué)說(shuō)為主的道家學(xué)派?！妒酚洝芬岳锨f同傳，稱莊子‘其學(xué)無(wú)所不窺，然其要本歸于老子之言’。”如：

《莊子·在宥》：“渾渾沌沌，終身不離；若彼知之，乃是離之”一說(shuō)，然其要本歸于老子之言——《老子》（四十八章）：“為學(xué)日益，為道日損，損之又損，以至于無(wú)為【圖2-a12，即圖3-a1】。無(wú)為而無(wú)不為【圖3-a2，即圖5-a2】。”

但是，西方的理論物理學(xué)家海森堡（Werner Karl Heisenberg，1901－1976）問(wèn)道：“二千五百年以來(lái)，哲學(xué)家和自然科學(xué)家一直在討論這個(gè)問(wèn)題：如果人們?cè)噲D把物質(zhì)一次又一次地不斷分割下去，將出現(xiàn)什么情況？什么是物質(zhì)的最小成分？”［17］另一方面，西方的數(shù)學(xué)家哈爾莫斯（P. R. Halmos）說(shuō)：“渾沌（chaos）概念與動(dòng)力系統(tǒng)概念有關(guān)，粗略地講，混沌理論研究動(dòng)力系統(tǒng)的無(wú)窮過(guò)程的行為?！瓬嗐缤ǔＥc分形（fractal）有關(guān)?！保?8］

一言以蔽之，西方的物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家，至今仍無(wú)人能知從渾沌到有序的定量之解，即使是伊里亞·普里戈金（Ilya Prigogine，1917－2003）亦不例外。曾慶宏（1941－）和沈小峰（1934－）說(shuō)：“《從混沌到有序》（Order out of chaos）是比利時(shí)著名科學(xué)家、諾貝爾獎(jiǎng)金獲得者伊·普里戈金教授和他的學(xué)生、同事伊·斯唐熱（Isabelle Stengers）博士合寫的一本關(guān)于自然科學(xué)哲學(xué)問(wèn)題的著作。”［19］

5.5 三體問(wèn)題

在人類的科學(xué)史上，所謂三體問(wèn)題，是可積系統(tǒng)的形式表現(xiàn)問(wèn)題，即《老子》（七十七）章：“不足者（圖3-a2或圖3-a′2）”的形式表現(xiàn)問(wèn)題，亦即《莊子·天下》：“以有積為不足（圖3-a2或圖 3-a′2）”之說(shuō)。

另一方面，M·克萊因說(shuō)：“三體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題成為New ton以來(lái)的【西方的】一個(gè)主要問(wèn)題，至今還未解決?！保?5］又：“在三體問(wèn)題中得到一些特殊精確解，是拉格朗日（Joseph Louis Lagrange，1736－1831）在1772年一篇得獎(jiǎng)?wù)撐摹墩撊w問(wèn)題》中給出的。這些解中，有一個(gè)是說(shuō)，這些物體能夠作這樣的運(yùn)動(dòng)，使得它們的軌道是同時(shí)描出的3個(gè)相似橢圓，而且以三物體的質(zhì)量中心為其共同的焦點(diǎn)。另一個(gè)是，假定3個(gè)物體從一個(gè)等邊三角形的3個(gè)頂點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，那么它們就好象粘住在這個(gè)三角形上運(yùn)動(dòng)著，而這個(gè)三角形本身圍繞著三物體的質(zhì)量中心轉(zhuǎn)動(dòng)。第三個(gè)是，假定三物體是從一直線上的初始位置投入運(yùn)動(dòng)的，那么在適當(dāng)?shù)某跏紬l件下，它們將繼續(xù)固定在這一直線上，而這條直線在一平面上圍繞物體的質(zhì)量中心轉(zhuǎn)動(dòng)。對(duì)于Lagrange來(lái)說(shuō)，這3種情況是沒(méi)有物理實(shí)在性的，然而那個(gè)等邊三角形的情況在1906年被發(fā)現(xiàn)適用于太陽(yáng)、木星和一個(gè)名叫Achilles的小游星?！保?5］普里戈金說(shuō)：“一個(gè)受到非常廣泛研究的例子就是三體問(wèn)題，這或許是動(dòng)力學(xué)史上最重要的問(wèn)題。既受地球又受太陽(yáng)影響的月球的運(yùn)動(dòng)，就是這個(gè)問(wèn)題的一例。人們作了無(wú)數(shù)次嘗試去把它表述成一個(gè)可積系統(tǒng)的形式，直到十九世紀(jì)末，布倫斯（Bruns）和彭加勒證明了這是不可能的?！保?9］

顯然，既受地球又受太陽(yáng)影響的月球的運(yùn)動(dòng)，是天體物理中的問(wèn)題。林家翹教授指出：“宇宙論和天體物理是不同的兩種學(xué)科?！保?0］其實(shí)，可積的三體問(wèn)題的對(duì)象，是也只是整個(gè)宇宙——我們?nèi)祟惖挠钪孢^(guò)程的初始條件或邊界條件，即中國(guó)古代的“以有積為不足【圖3-a2】”（《莊子·天下》）。

5.6 地圖四色問(wèn)題

西方的法朗西斯·古特里（Francis Guthric）于1852年提出了一道數(shù)學(xué)難題——地圖的四色問(wèn)題（亦稱“四色猜想”）。所謂地圖的四色問(wèn)題，是指能否只用四種顏色在地圖上把所有的地區(qū)涂色，使相鄰的兩個(gè)地區(qū)的顏色不同。

歐陽(yáng)光中指出道：“1976年9月，《美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)通告》宣布了一件震撼全球數(shù)學(xué)界的消息：美國(guó)伊利諾斯大學(xué)的兩位教授阿佩爾（K. I. Appel）和哈肯（W. Haken）……利用電子計(jì)算機(jī)證明了地圖的四色猜測(cè)是正確的?！保?1］數(shù)學(xué)家哈爾莫斯（P. R.Halmos）認(rèn)為阿佩爾和哈肯聲稱利用電子計(jì)算機(jī)證明了地圖的四色猜想，是數(shù)學(xué)進(jìn)展中的一個(gè)突破（explosion），他說(shuō)：“突破意味著一種大的響聲，一則出乎意料的通告，但不一定是件好事情?！保?2］

歐陽(yáng)光中說(shuō)：“1977年12月9日我國(guó)著名科學(xué)家錢學(xué)森教授在《人民日?qǐng)?bào)》上發(fā)表了一篇題為《現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)》的文章，其中有這樣一段話：‘去年數(shù)學(xué)界轟動(dòng)一時(shí)的一件事，是用電子計(jì)算機(jī)證明了數(shù)學(xué)上的四色定理。畫地圖最多只需要四種顏色。要證明這個(gè)定理很難，數(shù)學(xué)家經(jīng)過(guò)上百年的努力，證明不了。去年美國(guó)數(shù)學(xué)家用電子計(jì)算機(jī)證明了。他們看到這個(gè)問(wèn)題要證明并不是不可能，而是證明的步驟、程序很復(fù)雜，人一輩子的時(shí)間也證不完。他們就把程序編好，交給高速的電子計(jì)算機(jī)去干。高速電子計(jì)算機(jī)也用了一千多個(gè)小時(shí)才證出來(lái)。美國(guó)數(shù)學(xué)家認(rèn)為，他們的主要貢獻(xiàn)不在證明了四色定理，而在運(yùn)用電子計(jì)算機(jī)完成了這件人沒(méi)有能夠完成的事。’”他還接著說(shuō)：“利用高速電子計(jì)算機(jī)終于解決了數(shù)學(xué)中的這一大難題。然而數(shù)學(xué)家們?nèi)耘f在問(wèn)：證明能否簡(jiǎn)化？是否不用計(jì)算機(jī)也能證明？這些正等待有志者去攻關(guān)?！保?1］

在筆者看來(lái)，意欲證明地圖的四色問(wèn)題，首先必須畫出地圖，然后方能為其著色。

地圖，見(jiàn)《管子·七法》：“兵也者【筆者按：兵，見(jiàn)《莊子·列御寇》：“兵為外”（圖 5-a1，即圖 2-a12）】，善于地圖【1．地，見(jiàn)《白虎通·爵》：“父天母地，故稱天地。”《莊子·達(dá)生》：“天地者，萬(wàn)物之父母也，合則成體，散則成始?！薄抖Y記·樂(lè)記》：“天高地下，萬(wàn)物散殊。”《莊子·秋水》：“天在內(nèi)”（圖5-a1，即圖8-a1，亦即圖2-a12）。2．圖，見(jiàn)《老子》（六十三章）：“圖難于其易?！薄断缔o傳（上）》：“易，無(wú)思也［筆者：無(wú)，見(jiàn)《說(shuō)文解字》：“無(wú)，亡也”］，無(wú)為也。感而遂通天下之故。”《莊子·列御寇》：“知道易，勿言難。知而不言，所以之天也?！庇帧肚锼罚骸疤煸趦?nèi)”（圖5-a1，即圖8-a1，亦即圖2-a12）?！抖Y記·樂(lè)記》：“天高地下”（圖8-a1，即圖2-a12）。《史記·五帝本紀(jì)》：“天下謂之渾沌”（圖2-a12）?！吨芏Y·夏官·職方氏》：“掌天下之圖，以掌天下之地（圖 8-a1，即圖 2-a12，亦即圖 3-a1）?！薄墩f(shuō)文解字》：“圖，畫、計(jì)難也”（圖 2-a12，即圖 3-a1）】，謀十官【1．謀，見(jiàn)《莊子·應(yīng)帝王》：“無(wú)為謀府?！庇帧兜鲁浞罚骸案f(wàn)物?！?．十，見(jiàn)《說(shuō)文解字》：“十，數(shù)之具也。—為東、西，|為南、北，則四方中央備矣”（圖 2-a13，即圖 3-a′1）。3．官，見(jiàn)《中華大字典》（1915年編）：“官，管也?！薄抖Y記王制疏》：“其諸侯以下及三公至士，總而言之，皆謂之官。官者管也”】?！?/p>

為地圖（圖 8-a1，即圖 2-a12，亦即圖 3-a1）著色見(jiàn)《莊子·齊物論》：“四者熟知天下之正色哉【筆者按：1．四，見(jiàn)《中華大字典》（1915年編）：“四，陰數(shù)也。象四分之形。見(jiàn)《說(shuō)文四部》?！抖巫ⅰ房谙袼姆?，八像分也?！?．天下，見(jiàn)《史記·五帝本紀(jì)》：“天下謂之渾沌”（圖2-a12，即圖3-a1）。3．正，見(jiàn)《說(shuō)文解字》：“正，是也”】?！庇帧侗I跖》：“則變?nèi)菀咨Q不足【筆者按：不足，見(jiàn)《老子》（七十七章）：“有馀者（圖2-a12，即圖3-a1），損之（圖 3-a2）；不足者（圖 3-a2），補(bǔ)之（圖 4-a1及圖 4-a2）。”】”。

所以，在中國(guó)的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)科學(xué)中，所謂的地圖四色問(wèn)題，即為圖8-a1涂色問(wèn)題，亦即為圖2-a12涂色的問(wèn)題。而另一方面，在西方的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中，所謂的地圖四色問(wèn)題，即為康托爾的2No（由圖2-a12牽出的圖2″-a12）涂色的問(wèn)題。但是，美國(guó)的阿佩爾教授和哈肯教授為康托爾的2No配圖了嗎？或者說(shuō)，他倆怎么會(huì)證明了四色猜想呢？

圖8 天高地下

5.7 第一推動(dòng)

關(guān)于“第一推動(dòng)”之說(shuō)的由來(lái)，方勵(lì)之說(shuō)：“——‘第一推動(dòng)’是個(gè)很老的問(wèn)題，在亞里士多德的《物理學(xué)》中就已提到了。中世紀(jì)的托馬斯·阿奎那，則把‘第一推動(dòng)’作為證明上帝存在的第一種方法。他在《神學(xué)大全》中曾如下寫道：

‘在世界上，有些事物是在運(yùn)動(dòng)著，這在我們的感覺(jué)上是明白的，也是確實(shí)的，凡事物運(yùn)動(dòng)，總是受其他事物推動(dòng)?！?/p>

‘如果一件事物本身在動(dòng)，而又必受其他事物推動(dòng)，那么其他事物又必定受另一其他事物推動(dòng)。但我們?cè)诖藳Q不能一個(gè)一個(gè)地推到無(wú)限?！裕詈笞返接幸粋€(gè)不受其他事物推動(dòng)的第一推動(dòng)者，這是必然的。每個(gè)人都知道，這第一推動(dòng)者就是上帝?！?/p>

現(xiàn)代科學(xué)興起后，許多神學(xué)論斷都被科學(xué)直接證明是不對(duì)的?？墒恰谝煌苿?dòng)’一直是個(gè)難點(diǎn)。牛頓曾表述過(guò)大體與阿奎那相同的論斷，也承認(rèn)存在‘第一推動(dòng)者’。后來(lái)的物理學(xué)雖然不再提‘第一推動(dòng)者’，但也并未回答‘第一推動(dòng)’是由何推動(dòng)的?！保?3］

宇宙自所謂不動(dòng)到始動(dòng)，西方的物理學(xué)不解地謂之第一推動(dòng)。那么，宇宙是怎樣自所謂不動(dòng)到始動(dòng)的呢？為了科學(xué)定量定態(tài)地解答這個(gè)問(wèn)題，不妨重復(fù)本文于前已述。即

《老子》（四十八章）：“為學(xué)日益，為道日損，損之又損，以至于無(wú)為【圖2-a12，即圖3-a1，亦即圖7-a1】。”《論衡·遣告》：“自然也，無(wú)為?！薄断缔o傳》（上）：“無(wú)為也，寂然不動(dòng)?！?/p>

《老子》（四十八章）：“為學(xué)日益，為道日損，損之又損，以至于無(wú)為。無(wú)為而無(wú)不為【圖3-a2，即圖7-a2】?！薄肚f子·天道》：“無(wú)為也，則用天下而有馀；有為也，則為天下用而不足。故古之人貴夫無(wú)為也?！薄独献印罚ㄆ呤哒拢骸坝锈耪摺緢D2-a12，即圖3-a1或亦即圖7-a1】，損之【圖3-a2，即圖7-a2】。”

《老子》（四十八章）：“為學(xué)日益，為道日損，損之又損，以至于無(wú)為。無(wú)為而無(wú)不為。”《莊子·天道》：“無(wú)為也，則用天下而有馀；有為也，則為天下用而不足。故古之人貴夫無(wú)為也?！薄独献印罚ㄆ呤哒拢骸坝锈耪?，損之；不足者【圖3-a2，即圖7-a2】，補(bǔ)之【圖4-a1及圖4-a2。其圖4-a1，即圖7-a3】?！?/p>

文［1］已證，宇宙三過(guò)程循環(huán)無(wú)限有其向下和向上的分枝，而且是宇宙三過(guò)程循環(huán)無(wú)限及其任一過(guò)程皆三階段發(fā)展的。我們?nèi)祟惖挠钪孢^(guò)程的前身，即非我們?nèi)祟惖挠钪孢^(guò)程的第三階段（向下的分枝過(guò)程的第三階段），被《老子》（四十八章）：“為學(xué)日益，為道日損，損之又損，以至于無(wú)為”（圖2）求解得，且求解得其終——“無(wú)為”為圖2-a12，即圖3-a1，亦即圖7-a1的所謂不動(dòng)態(tài)（《系辭傳》（上）：“無(wú)為也，寂然不動(dòng)”）。

所以，宇宙自所謂不動(dòng)（圖2-a12，即圖3-a1，亦即圖7-a1），而到始（圖3-a2，即圖7-a2）動(dòng)（圖4-a1，即圖7-a3），根本不存在西方的物理學(xué)中的所為“第一推動(dòng)者”。

1 曾煒?shù)h.論物動(dòng)學(xué)中公理化的形數(shù)結(jié)合幾何學(xué)方法（1）［J］.科學(xué)之友，2009.11（33）：1～6

2 楊振寧.基本粒子發(fā)現(xiàn)史（楊振玉、范世藩譯）［M］.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1963.9：52

3 毛澤東同李政道討論“對(duì)稱”［N］.人民日?qǐng)?bào)，1988.09.11：第8版

4 恩格斯.反杜林論（中譯本）［M］.北京：人民出版社，1970：59

5 列 寧.談?wù)勣q證法問(wèn)題（中譯本）［M］.北京：人民出版社，1973：1

6 孫 鉞.科學(xué)的意義［N］.科學(xué)時(shí)報(bào)，2008.09.18：B3版

7 Jonathan J. Halliwell.量子宇宙和宇宙創(chuàng)生（龔 靜、韓王榮譯）［J］.世界科學(xué)，1992.10：4

8 Stephen Hawking.理論物理的盡頭是否已經(jīng)在望？（林華清譯）［J］.世界科學(xué)，1991.7：1、6

9 張恭慶.國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)和我們［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2000.7：2、1

10 許良英等編譯.愛(ài)因斯坦文集（第一卷）［M］.北京：商務(wù)印書館，1976：574

11 M·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想（第一冊(cè)）（張理京、張錦炎譯）［M］.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1979：68、31、44、69

12 人民教育出版社數(shù)學(xué)室編.初級(jí)中學(xué)課本《幾何》（第一冊(cè)）［M］.北京：人民教育出版社，1983：4

13 張英伯.歐氏幾何的公理體系和我國(guó)平面幾何課本的歷史演變［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2006.1：4～5

14 M·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想（第三冊(cè)）（北京大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)史翻譯組譯）［M］.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1980：277～278、245

15 M·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想（第二冊(cè)）（北京大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)史翻譯組譯）［M］.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1979：1、80、228～229

16 M·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想（第四冊(cè)）（北京大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)史翻譯組譯）［M］.上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1981：289、323～324、60、66、69～70

17 W. Heisenberg.基本粒子是什么？（范岱年譯）［A］.現(xiàn)代物理學(xué)參考資料（第三集）［C］.北京：科學(xué)出版社，1978：5

18 P. R. Halmos.數(shù)學(xué)的進(jìn)展減慢了嗎？（上）（劉華杰譯）［J］.世界科學(xué)，1991.11：12

19 伊·普里戈金、伊·斯唐熱.從渾沌到有序（曾慶宏、沈小峰譯）［M］.上海：上海譯文出版社，1987：1，112

20 陳奎寧.林家翹教授談中國(guó)學(xué)者的治學(xué)方法有可改進(jìn)之處［J］.大自然探索（自然科學(xué)），1984.1：1

21 歐陽(yáng)光中.地圖四色問(wèn)題［M］.北京：人民教育出版社，1981：4～5、5

22 P. R. Halmos.數(shù)學(xué)的進(jìn)展減慢了嗎？（下）（劉華杰譯）［J］.世界科學(xué)，1991.12：5

23 方勵(lì)之.宇宙的創(chuàng)生［J］.中國(guó)社會(huì)科學(xué)院研究生院學(xué)報(bào)，1985.4：4