劉鳳琴,馬俊海,戈曉菲

(1.浙江財經學院信息學院,浙江 杭州 310018;2.浙江財經學院金融學院,浙江 杭州 310018)

一、引 言

隨著我國金融市場的不斷開放和利率市場化進程的推進,市場利率的波動越來越頻繁和激烈,給我國商業(yè)銀行帶來了新的機遇和挑戰(zhàn)：利率的頻繁波動將使商業(yè)銀行面臨更大的期權性風險。因此研究銀行等金融機構資產、負債隱含期權的定價技術對我國商業(yè)銀行在產品開發(fā)和風險管理等方面都具有重要的理論及現實意義。在隱含期權的定價方面,國內外學者取得了許多重要研究成果。從國際上所取得的研究成果來分析,Brent W.,Richard(1998)利用蒙特卡羅方法對亞式期權中的隱含期權進行了定價分析,并通過參數估計得出了含有亞式期權的債券的價格[1];Brooks R(1996)還通過橫截面數據對利率水平和CDs中隱含期權價值作了敏感性分析[2];Hatem Ben-Ameur(2006)的研究發(fā)現隱含期權的風險還可能來源于資產負債凸性的改變而導致資產、負債價格發(fā)生不可預期的改變,同時對存款當中的隱含期權進行了研究,分析了定期存款中存在有利于存款人選擇或不選擇提前支取的特權及行使特權的時間特征[3]。國內的隱含期權研究近幾年發(fā)展也很快,鄭振龍等(2004)則對存貸款產品中隱含期權的定價作了詳細的研究,他們用無套利定價方法為存貸款產品中隱含期權進行了定價,并得出了我國銀行存貸款利差過低的結論[4];夏和平等 (2007)就隱含期權條件下銀行資產、負債利率風險控制進行了研究,指出了隱含期權條件下銀行資產、負債的利率風險控制策略[5]。

由上分析可知,近些年來國內外關于銀行隱含期權定價問題的研究取得了一定的研究成果,但是仍然主要集中在對含有隱含期權的利率風險的測量方面,而對于存貸款中隱含期權的定價則缺乏研究,特別是基于利率動態(tài)變化的存貸款的提前執(zhí)行情況。另外在研究方法上,前人提出的無套利分析方法、微分方程法等都是基于一系列苛刻的假設,在更復雜的情況下 (如加入利率的跳躍因子)可能無法得出精確的解。而蒙特卡羅模擬方法基于其自身的優(yōu)點及可解決多維證券定價的特點,將成為此類金融產品定價發(fā)展的趨勢所在。本文即提出使用蒙特卡羅模擬技術對貸款中的隱含期權進行定價,利用仿真的方法模擬出在不同的利率水平下的各期權的實際價值。

二、可提前償付存貸款的執(zhí)行邊界分析

(一)定期存款中隱含期權的執(zhí)行邊界分析

將定期存款中的隱含期權視為一種美式期權,具有很強的期權特性[6]。投資者在到期日之前都可以執(zhí)行此期權使自己的收益最大化,因此有必要對投資者何時行使該期權進行界定。如存款者在0時刻跟銀行簽訂了一個T年期定期存款合約,合約的利率為R0,T,活期利率為h0,T。若始終維持此合約,則到期時的本利和為eR0,TT(采用復利計算)。若在t時刻,銀行突然宣布上調利率至Rt,T,假設投資者的投資期間不變,為0-T,投資者的投資目標是要使期間的收益最大化。

則維持該存款合約的到期本息和會超過在t時刻提前支取并簽訂另一合約所獲得的本息和,因此存款人會選擇維持該合同。

則表明在t時刻提前支取,獲得0至t時刻的活期存款利息與本金,并重新簽訂0—T年期的定期存款,在0至T時刻所得的本金與利息和大于按0時刻的利率計算的本息和,則為使自己的收益最大化,該存款人會選擇提前支取并轉存。

將以上兩種情況相結合,在t時刻,投資者在T期末總收益可以表示為：

所以該期權的執(zhí)行條件為：

期權的執(zhí)行價格為：eR0,T*T。該期權表示一個利率看漲期權,其中eR0,T*T表示0-T內不含期權的貸款利率本利和。在期權執(zhí)行之后,借款人可重新申請一個期限為T-t的貸款,自然又獲得了一個期權,即在 T-t期間又可以進行提前支取并按新利率簽訂新合同,此時的執(zhí)行價格為eRt,T(T-t)。因此對于存款人來說,一個定期貸款可以分解為一個基本的債權和若干個美式看漲期權,此期權的執(zhí)行與否,完全取決于存款利率的變化。

(二)可提前償還貸款中隱含期權的執(zhí)行邊界分析

假設當期一個投資者同銀行簽訂一份期限為T的貸款合同,連續(xù)復利貸款利率為r0,T,貸款金額簡化為1,違約金為α,假設貸款人貸款期間不變?yōu)?-T。如果貸款者沒有提前償還貸款,則其總成本為er0,T*T(為簡化起見,假設貸款為到期一次性償還)。如果在時刻t,市場利率突然發(fā)生改變,則在余下的時間T-t,新的貸款利率表示為：rt,T。

則維持該項貸款的到期本利和會超過在t時刻提前償還的本利與違約金兩項之和按照新利率計算的到期本利和。因此貸款人會選擇提前償還貸款,繳納違約金,并按新利率rt,T申請本金為T-t的新貸款。

則維持原有定期貸款的成本低于提前償還,繳納違約金并兩項金額重新簽訂新貸款的總成本,借款人會維持原有貸款合同不變。

將以上兩種情況相結合,在t時刻,借款人貸款期末總成本可以表示為：

所以該期權的執(zhí)行條件為：

三、銀行期權定價的蒙特卡羅模擬過程

利率的動態(tài)特征對于利率的預測及相關衍生產品的定價具有重要意義,因此對利率模型的估計也提出了許多不同的方法,其中以極大似然法 (MLE)和廣義矩估計法 (GMM)的理論研究和實證支持最具代表性,其中已有文獻證明,對于復雜利率模型的估計,MLE方法的精確性優(yōu)于GMM方法[7],故本文擬采用MLE方法對模型參數進行估計?；谀Ｐ蛯χ袊鹑谑袌隼实倪m應性,同時考慮到模型估計的便利性,本文使用CIR模型,并在此模型中加入跳躍項,表示市場的突發(fā)事件(如政策的突變、股市崩盤等)對利率過程帶來的影響。

CIR模型認為,在風險中性世界中,短期利率的變化過程遵從：

其中,r表示短期瞬時利率,k表示利率均值回復速度,θ表示長期均值,σ表示波動率。在本論文中,我們在該短期利率變化中加入跳躍項,即單因子瞬時短期利率均值回歸漂移——跳躍模型,可以表示為：

其中k表示向均值調整的速度,u(t)表示時刻t的利率長期均值,σ(t)則表示波動率,W(t)代表布朗運動。J代表服從某些分布的隨機變量,為避免突發(fā)的深度跳躍使利率出現負值情況,我們這里假設J服從 (a,b)的均值分布,dP則代表強度為λ的泊松分布。

關于模型的參數估計,可以參看劉鳳琴等 (2009)關于參數估計及其蒙特卡羅檢驗[8]。本文在此主要分析其價格的蒙特卡羅估計過程。

(一)蒙特卡羅模擬過程的基本步驟

蒙特卡羅模擬的實質是通過隨機抽樣的樣本均值來近似代替隨機分布的總體期望值,從而得到對隨機分布數學期望的實際估計的數值分析方法。蒙特卡羅模擬就是通過模擬這些數學期望或積分來估計標的變量的[9],其步驟如下：

1.風險中性測度下模擬出標的變量在有效期內的樣本路徑

在前文分析的理論基礎上,我們在CIR模型中加入跳躍項J,使之更符合實際情況中利率的不連續(xù)變動,即有：

將此模型用離散化進行模擬,取△t=1個月,模擬在當前初始利率狀態(tài)下,經過5年即60個月的時間后,利率可能經過的路徑,重復利用此模擬方法,可以模擬此利率路徑圖。

2.各樣本模擬路徑上的隱含期權價值的計算

根據該利率變動的特點,在每一條利率樣本路徑上均可能涉及到存款的提前支取情況,因此在一條路徑中可能存在多個期權執(zhí)行情況,但基于美式期權執(zhí)行的最優(yōu)策略問題,其間只存在一個最佳執(zhí)行點,則此最佳執(zhí)行策略時的期權值的貼現值即為該條模擬上隱含期權的期權值。即期權值為：

其中,C為期權的價值,r為無風險利率,X為此存款未被提前執(zhí)行時的利息總和,ST為存款進行轉存后所得的最大利息和。

3.對所模擬出的樣本路徑上的相應期權值求平均值

對所模擬出的樣本路徑上相應期權值求平均值,得到此定期存款中隱含期權估計值。即：

(二)對偶變量方差減少技術應用

按傳統(tǒng)的蒙特卡羅模擬方法進行,需要很大的次數N值,才能得到滿足精度要求的隱含期權c的估計值,這將消耗大量的計算時間,為了使這種方法更具有適用性,即減少計算量和縮小誤差,提出了很多優(yōu)化方法：如對偶變量技術、控制變量技術、重點抽樣法、時刻匹配法等。本文使用對偶變量技術,該方法的實質是：每次模擬運算期權價值的兩個值,第一個C1通過正常方法得到,第二個C2是通過改變抽樣樣本的符號計算出來的 (如果ε是用來計算第一個期權值的樣本,則-ε用來計算第二個值的樣本)。由該模擬運算得出的期權價值是這兩個計算值的平均值[10]。將對偶變量法引入蒙特卡羅模擬的步驟是：

(1)風險中性概率測度下模擬出標的變量Y在衍生證券有效期內的樣本路徑,并采取相同的隨機變量生成標的變量X在衍生證券有效期內的樣本路徑,即Y的利率路徑為：

其中dwt值是通過 ti-ti-1Z即 ΔtZ來模擬,Z～N(0,1)服從正態(tài)分布;J服從均值為 (a,b)的均值分布,dP為強度λ的泊松分布,也是通過隨機抽樣來抽取。因此,假設在一次利率模擬中dwt的抽樣值為a,Jdp的抽樣值為b,則變量X的利率路徑可表示為：

(2)根據該衍生證券的性質,估計出第i條樣本路徑上的基于利率RR的X隱含期權與基于利率R的Y存款隱含期權的貼現盈利收益;

(3)對所模擬出來的X與Y樣本收益上盈利收益求平均,得到該衍生證券的估計值。

四、實證模擬

(一)案例描述及實施過程

在這里我們選擇定期存款隱含期權為研究對象加以分析。以2007年11月21日公布的五年期存款利率0.0585為初始利率,計算從該時期開始的五年期存款中的隱含期權值。貼現利率取一年期定期存款利率值：0.0414。為了計算定期存款中隱含期權的價格,我們可以根據前面估計出來的參數模擬出未來存款利率的變動,并計算每次利率變動路徑下的期權收益,最后求出收益的均值并按照原先利率進行貼現,就可以得到隱含期權的價格[7]。根據央行2007年11月21日對人民幣利率的調整,現行的存款基準利率分別為：

表1 2007年11月21日央行公布的存款基準利率

(二)蒙特卡羅模擬方法估計期權價值的步驟

1.利率路徑的模擬

根據前述參數估計方法,我們可以得出參數值的取值為：

則此定期存款利率的跳躍擴散模型離散化公式為：

Rt取現存的五年期定期存款利率 0.0585;△t以月為單位,即1/12;布朗運動 dwt可用來模擬,其中Z～N(0,1)正態(tài)分布,可在Matlab里實現標準正態(tài)分布的樣本抽樣;J服從均值為 (-0.018,0.018)的均值分布,dP為強度λ為0.0995的泊松分布,均通過Matlab中命令的識別抽樣完成。

2.計算出在期權被執(zhí)行時的價值

若此客戶選擇在t時刻提前支取存單,在t時刻的利率水平為rt,T=rt,60,活期存款利率為h0,T,則其再存款的利息之和為則其選擇提前支取存款并以另一利率轉存的前提條件是：初始存款總收益小于轉存后利息總收此式中的t即為理性的提前償付日期。期權的價值為：C=e-rtmax(ST-X,0)。另外,考慮美式期權的最優(yōu)執(zhí)行策略問題,在一條利率模擬路徑上,使期權值最大的時間點作為執(zhí)行期權的時間點,再將此值用時間價值進行貼現,即可得出此期權的價值。如此根據利率的一次模擬,即可形成一次存款及其提前支取行為。

圖1是模擬10000次的過程中,各條路徑上相應的隱含期權值。由此可見,在10000次的運行中,定期存款中的隱含期權執(zhí)行與否是隨著利率模擬路徑的變化而變化的,在有些利率路徑變化過程中,不執(zhí)行期權為宜,而在有些利率路徑圖中,執(zhí)行期權是明智的選擇。

3.對所模擬出的樣本路徑上的相應期權值求平均值

圖1 5年期定期存款中隱含期權的被執(zhí)行情況模擬

根據大數定理,將模擬運行多次(5000次以上),運行結果的平均值即為所求值。并分別通過模擬1000次、2000次、5000次、10000,分析其收斂情況如圖2。

由上圖2可看出,該隱含期權值在模擬運行2000次以內時,期權的波動較大,且并不穩(wěn)定,而大約在運行3000次后一直到10000次,期權值漸漸趨于穩(wěn)定,最后的期權值為0.0015。模擬運行后,期權值的估計值趨向于平穩(wěn),得出此估計值為：c=0.0015;即5年以上利率為0.0585的定期存款,存款期限為5年時,其隱含期權的價值為0.15%。即根據無套利定價理論,商業(yè)銀行的5年期存款利率應為：原存款利率-隱含期權價格：0.0585-0.0015=0.0570。

(三)對偶變量技術應用

從圖2中可以看出,蒙特卡羅模擬明顯的不足就是對于一些復雜的衍生證券,為得到精確的結果,需要進行很多的模擬次數,否則將產生較大的估計方差。如上例中,需要運行程序大約3000次才真正得以收斂。根據對偶變量技術原理,我們對蒙特卡羅模擬方法進行改進,得到其穩(wěn)定性能圖,將其與傳統(tǒng)蒙特卡羅模擬方法進行比較如下：

圖2 MC模擬1000、2000、5000、10000次的期權值收斂情況

圖3 傳統(tǒng)的MC方法與優(yōu)化的MC方法分別運行5000次得出期權值的波動比較

其中,圖3中左圖是傳統(tǒng)的蒙特卡羅模擬運行5000次的情況,右圖是加入對偶變量技術的蒙特卡羅模擬運行5000次的情況。由此可以比較得出,加入方差減少技術的蒙特卡羅模擬方法,其收斂速度大大加快,即有效克服了蒙特卡羅模擬收斂速度慢的問題。而兩種模擬方法得出的期權值都是一樣的,即0.0015。

五、結論分析

本文主要研究結論包括三個方面：一是可提前支取存款是一種復雜的隱含期權。對投資者而言,定期存款可以分解為一個基本債權和若干個美式看漲期權的多頭;對銀行而言,定期存款可以分解成一個基本債務和若干個美式看漲期權的空頭。二是運用蒙特卡羅模擬能比較有效解決商業(yè)銀行存款中隱含期權的定價問題,且加入方差減少技術的蒙特卡羅模擬方法可以大大降低其誤差,提高其模擬收斂效率。三是在目前的利率水平和利率管制體制下,中國銀行機構的存款利率相對偏高,其存款利息成本高于風險收益,存在缺口。

由于本文研究內容具有很大的復雜性和綜合性,而且研究的領域也比較新,隱含期權理論還不是很成熟,有些觀點與國內外學者還未達成一致,所以給本文的研究帶來一定的困難,對存貸款中隱含期權的應用研究存在許多不足,還處于起步階段,有很多的問題有待進一步研究和探討。

[1]Brent W.,Richard J.,Embedded.Options in the Mortgage Contract[D],Working Paper,1998,Pennsylvania University.

[2]Brooks R.Computing Yields on Enchanced CDs,Financial Service Review.1996,5(1)：31-42.

[3]Hatem Ben-Ameur,Michele Breton,Lotfi Karoui.A Dynamic Programming Approach for Pricing Options Embedded in Bonds[J],Journal of Economic Dynamics&Control.2006

[4]鄭振龍,林海.銀行資產負債中隱含期權的定價[J].金融研究,2004,(7).

[5]夏和平,周茂彬,王小明.存貸款業(yè)務中的隱含期權對我國商業(yè)銀行利率風險的影響 [J],金融研究,2007,(9)：138-150.

[6]劉暢,徐承龍,謝志華.提前還貸及其隱含期權的分析[J],應用數學與計算數學學報,2006,(12)：25-30.

[7]Longstaff,F.A,Schwartz,E.S.Valuing American Options by Simulation：Simple Least squaresapproach[J],Review of Financial Studies,2001,14(1)：113-147.

[8]劉鳳琴,戈曉菲.利率跳躍擴散模型的理論估計與蒙特卡羅模擬檢驗 [J].管理工程學報,2009,(4)：91-96.

[9]馬俊海.金融衍生證券定價的數值分析方法 [M]：浙江人民出版社,2002.97-101.

[10]Paul Glasserman.Monte Carlo Methods in Financial Engineering[M],高等教育出版社 (影印版)2008.