楊立波，盧殿臣

(1.淮陰工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 淮安 223003;2.江蘇大學(xué) 非線性科學(xué)研究中心，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

0 引言

求解非線性波動(dòng)方程的精確解在非線性問題的研究中占有重要的地位，直接尋找非線性方程的精確解，一直是數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的重要研究課題。近幾年來，研究人員對(duì)求解非線性發(fā)展方程的精確解提出了許多方法，如齊次平衡法、雙曲函數(shù)法、F－展開法、反散射法、投射的Riccati方程法等，利用這些方法求得了非線性發(fā)展方程的許多豐富的精確解。為了進(jìn)一步求得非線性波動(dòng)方程的廣義上的周期解，有人提出了Jacobi橢圓函數(shù)展開法，由于這種方法可借助于計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)得以實(shí)現(xiàn)，因此得到了廣泛的推廣和應(yīng)用。然而，尋找新形式的精確解仍是一件非常有意義的工作。

本文在投射的Riccati方程法和Jacobi橢圓函數(shù)展開法的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了4種新的Jacobi橢圓函數(shù)解，并利用該方法求出了Zakhaorv方程組的一系列新的精確解，包括周期解和孤波解，并對(duì)解的結(jié)構(gòu)做了分析。

1 擴(kuò)展的Jacobi橢圓函數(shù)展開法

對(duì)于給定的非線性發(fā)展方程，其一般形式可寫為:

式中的 F 是關(guān)于變?cè)?u，ut，ux，utt，txt，uxx，… 的多項(xiàng)式。

其中k和c是非零的待定常數(shù)。

將(2)式代入(1)式，得到關(guān)于u(ξ)的常微分方程

設(shè)方程式(3)具有如下形式的行波解

其中 a0，ai，bi，ci，di(i=1，2，…，n) 是待定常數(shù)，ξ= ξ(x，t) 是關(guān)于 x，t的函數(shù)，正整數(shù) n 的值通過平衡方程(3)中的非線性項(xiàng)和最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)來確定。F(ξ)，E(ξ)，G(ξ)，H(ξ)的選取本著計(jì)算簡單的原則，可從e，f，g，h 中任意選擇，其中

其中 p，r，s是任意常數(shù)，e，f，gh 這 4 個(gè)函數(shù)滿足下面的關(guān)系:

將(4) 式及(6) 式代入方程(3)，則得到關(guān)于 F(ξ)，E(ξ)，G(ξ)，H(ξ) 的多項(xiàng)式方程。令Fi(ξ)Ej(ξ)Gk(ξ)Hs(ξ)(i=0，1，2，…)(j=0，1)(k=0，1)(s=0，1) 的系數(shù)為零，就得到了關(guān)于a0，ai，bi，ci，di(i=1，2，…，n)的非線性代數(shù)方程組(NAEs)。利用Mathematica軟件及吳消元法求解該非線性代數(shù)方程組，并將所得的解代入(4)式，即可得到方程(1)的解。

2 Zakharov方程組的精確解

考慮如下形式的Zakharov方程組:

方程組(7)是描寫等離子體的高頻運(yùn)動(dòng)或非線性光波的模型，其中u是離子密度偏差，v是電場強(qiáng)度的慢變振幅，cs是電子－離子熱運(yùn)動(dòng)速度，α≠0，β≠0，δ≠0，cs為常數(shù)。

對(duì)(9)式的第一式直接積分并取積分常數(shù)為零，則得

在(9)式的第二式中取c=2αq，并把(10)式代入(9)式整理后得

平衡方程(11)式中的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和非線性項(xiàng)，得到n=1。因此，方程(11)的解具有如下形式:

將(6)、(12) 代入(11) 收集Fi(ξ)Ei(ξ)Gk(ξ)Hs(ξ)(i=0，1，2，…)(j=0，1)(s=0，1) 的系數(shù)，令它們?yōu)榱悖偷玫搅岁P(guān)于 k，ω，a0，a1，b1，c1，d1的非線性代數(shù)方程組 NEAs，借助計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)求得如下幾組解。

根據(jù)的擴(kuò)展 Jacobi橢圓函數(shù)展開法，選取 F(ξ)=g，E(ξ)=e，G(ξ)=f，H(ξ)=h。

情況1:當(dāng)s=0時(shí)，得到方程組(7)的解如下:

在上式中當(dāng)r2=s2時(shí)，上式中的解變?yōu)閡4與v4一樣的解。

情況3:當(dāng)r=0時(shí)，得到方程組(7)的解如下:24

3 結(jié)果與討論

當(dāng)m→1時(shí)，各解分別退化為如下解:

當(dāng)孤波的運(yùn)動(dòng)速度大于離子聲速，即c＞cs(超聲速)時(shí)，有β＞0，δ＞0，此時(shí)離子數(shù)密度擾動(dòng)u取正值，當(dāng)β＜0，δ＞0時(shí)，離子數(shù)密度擾動(dòng)u取負(fù)值。當(dāng)孤波的運(yùn)動(dòng)速度小于離子聲速，即c＜cs(亞聲速)時(shí)，有β＞0，δ＞0，此時(shí)離子數(shù)密度擾動(dòng)u取負(fù)值，當(dāng)β＜0，δ＜0，時(shí)，離子數(shù)密度擾動(dòng)u取正值。

圖 1、圖 2 和圖 3 分別給出了解 u2，v2和 u＇2，v＇2、解 u3，v3和 u＇3，v＇3、解 u4，v4和 u＇4，v＇4的對(duì)照?qǐng)D，圖中參數(shù)為 α =1，R=0.1，q=4，Cs=1，t=0(其中取 β =1，圖中各解中均取“+”)，圖1 中 β =－ 1，在圖2和圖3中β=1。

圖1(a) m=0.8解u2(周期解)

圖1(b) m=1解 u2＇(孤波解)

圖1(c) m=0.8解v2的實(shí)部(包絡(luò)周期解)

圖1(d) m=1 v2＇的實(shí)部(包絡(luò)孤波解)

圖2(a) m=0.8解u3(周期解)

圖2(b) m=1解u3＇(孤波解)

圖2(c) m=0.8解v3的實(shí)部(包絡(luò)周期解)

圖2(d) m=1解 v3＇的實(shí)部(包絡(luò)孤波解)

圖3(a) m=0.1 解 u4(周期解)

圖3(b) m=0 解 u4＇(周期解)

圖3(c) m=0.1解v4的實(shí)部(包絡(luò)周期解)

圖3(d) m=0解v4＇的實(shí)部(包絡(luò)周期解)

4 結(jié)論

本文運(yùn)用擴(kuò)展的Jacobi橢圓函數(shù)展開法，得到了Zakhaorv方程組的若干新精確解，包括周期解、孤波解。從以上求解中可以看出，在Zakharov方程組描述的系統(tǒng)中，離子數(shù)密度擾動(dòng)u和電場強(qiáng)度的慢變振幅v存在各種形式的周期波和包絡(luò)周期波，這些周期波可退化為孤波。以上求解方法簡單有效，有一定的普遍性，可以應(yīng)用于一大類非線性方程的求解。

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