趙曉芹

（長(zhǎng)沙理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)沙 410004）

0 引言

古典風(fēng)險(xiǎn)模型是一個(gè)簡(jiǎn)化的理想模型，很多條件都是為數(shù)學(xué)上處理方便而假定的。模型中，保險(xiǎn)公司在單位時(shí)間內(nèi)按常數(shù)速度取得保單且每張保單的保費(fèi)均為常數(shù)，同時(shí)得到的資金不運(yùn)用，這顯然不符合保險(xiǎn)公司經(jīng)營(yíng)的實(shí)際情況。本文擬對(duì)古典風(fēng)險(xiǎn)模型作兩方面的推廣：一是保費(fèi)隨機(jī)收取。將保單到達(dá)計(jì)數(shù)過(guò)程推廣為齊次Poisson過(guò)程，每張保單收入為一隨機(jī)變量；二是考慮隨機(jī)利率因素。在一般的風(fēng)險(xiǎn)理論文獻(xiàn)中，利率常被設(shè)定為常數(shù)[1]～[5]，但是許多經(jīng)濟(jì)行為都是長(zhǎng)期的，這期間政府政策、經(jīng)濟(jì)周期等因素都會(huì)造成不確定性，即會(huì)帶來(lái)一定的風(fēng)險(xiǎn)，而未來(lái)利率的隨機(jī)性決定保險(xiǎn)公司的賠付能力估計(jì)和應(yīng)急準(zhǔn)備金計(jì)劃，因此采用固定利率可能會(huì)帶來(lái)與實(shí)際之間的較大偏差。為了更準(zhǔn)確地反映這種不確定性，避免由考慮常利率產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)，一種較好的方法就是采用隨機(jī)利率模型。文獻(xiàn)[6]研究了一類隨機(jī)利率模型，用概率論方法得到最終破產(chǎn)概率的表達(dá)式。本文將建立一類考慮隨機(jī)利率因素的保費(fèi)隨機(jī)的風(fēng)險(xiǎn)模型，主要運(yùn)用鞅方法，得到有限時(shí)間破產(chǎn)概率的一個(gè)上界及最終破產(chǎn)概率的Lundberg指數(shù)型上界估計(jì)。

1 模型的建立

定義 1 設(shè) M={M(t);t≥0}，N={N(t);t≥0}分別是強(qiáng)度為 λ、α 的齊次 Poisson過(guò)程，{Xk,k=1,2,…}和{Yj,j=1,2,…}是兩獨(dú)立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量序列，其分布函數(shù)分別為F（x）和G(x)，均值分別為u1、u2。I為一離散型非負(fù)隨機(jī)變量，分布律為P(I=ij)=pj,j=1,2,…，均值為 i。 假定 M，N，Xk，Yj，I相互獨(dú)立，u為正的常數(shù)。令

則式(1)中所定義的盈余過(guò)程為帶隨機(jī)利率的保費(fèi)隨機(jī)收取的復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型。

實(shí)際背景：M(t)表示在時(shí)段(0,t]內(nèi)保險(xiǎn)公司收取的保單數(shù)，每張保單的保費(fèi)額是Xk；N(t)表示在時(shí)段(0,t]內(nèi)保險(xiǎn)公司的理賠次數(shù)，每次的理賠額為Yj；I為隨機(jī)利率，u為初始準(zhǔn)備金。則R(t)為t時(shí)刻保險(xiǎn)公司的盈余。令

容易得到

為了保證保險(xiǎn)公司的穩(wěn)定經(jīng)營(yíng)，通常假設(shè)E[W(t)]>0，從而能保證相對(duì)安全負(fù)荷為正。更進(jìn)一步，還可以假定λu1(1+imin)-αu2>0，其中imin是隨機(jī)利率I所有可能取的值中最小的值。

破產(chǎn)時(shí)刻定義為：

有限時(shí)間破產(chǎn)概率為：

最終破產(chǎn)概率為：

令

2 有限時(shí)間破產(chǎn)概率的一個(gè)上界

首先可以得到:

所以：

容易看到，盈余過(guò)程{W(t);t≥0}是一個(gè)右連續(xù)過(guò)程，具有獨(dú)立增量性。對(duì)于盈余過(guò)程{W(t);t≥0}，任意給定r>0，0≤s≤t，有

定理 1 {R(t)-ER(t);t≥0}是 F-鞅。

證明：對(duì)于任意s≤t，由過(guò)程{R(t);t≥0}具有獨(dú)立增量性，有

證畢。

定理2 令

則 Mu={Mu(t);t≥0}是 F-鞅。

證明：對(duì)于任意s≤t，由獨(dú)立增量性及式(2),得

證畢。

引理1 設(shè)T是一個(gè)有界停時(shí)，M是一個(gè)右連續(xù)F-鞅，則有

定理 3 ?t，有

式中 r滿足 r>0，h2(r)＜∞。

證明：由對(duì)函數(shù)hk(r)性質(zhì)的假設(shè)知存在 r>0，使得 h2(r)＜∞，此時(shí) h1(-r)＜∞，故由式(2)知，E{exp[-r(W(t)-W(s))]}＜∞。又由定理2知Mu是F-鞅。選取t＜∞，則t∧Tu是一個(gè)有界 F-停時(shí)。注意到而Mu是正的,所以由引理1得

由于當(dāng) Tu＜∞ 時(shí),R(Tu)＜0,故

由此可得

兩邊取期望,得有限時(shí)間破產(chǎn)概率

證畢。

依據(jù)有限時(shí)間破產(chǎn)概率的上界估計(jì)式,保險(xiǎn)公司可以根據(jù)以往的歷史資料,選擇制定適當(dāng)?shù)碾U(xiǎn)種和合理的保費(fèi),預(yù)留必要的準(zhǔn)備金,以使得有限時(shí)間破產(chǎn)概率(比最終破產(chǎn)概率更接近實(shí)際的每一時(shí)期的破產(chǎn)概率)達(dá)到預(yù)想小的程度。

3 最終破產(chǎn)概率的Lundberg指數(shù)型上界估計(jì)

在式(3)中令t→∞取極限,得

定義 2 令 R=sup{r｜g(r)≤0},稱 R為盈余過(guò)程(1)的調(diào)節(jié)系數(shù)。

定理4 方程g(r)=0存在唯一正解R,即調(diào)節(jié)系數(shù)。

證明:易知

又g''(r)>0,故曲線g(r)是下凹的,而且limg(r)=+∞

故方程g(r)=0有唯一正解R。

由此可得最終破產(chǎn)概率的Lundberg指數(shù)型上界估計(jì)。

定理5 最終破產(chǎn)概率

其中R為調(diào)節(jié)系數(shù)。

[1]Bjorn Sundt,Jozef L.Teugels.Ruin Estimates under Interest Force[J].Insurance:Mathematics and Economics,1995，（16）.

[2]Vladimir Kalashnikov,Dimitrios Konstantinides.Ruin under Interest Force and Subexponential Claims:a Simple Treatment[J].Insurance:Mathematics and Economics,2000,27.

[3]Ruud Brekelmans,Anja De Waegenaere.Approximating the Finitetime Ruin Probability under Interest Force[J].Insurance:Mathematics and Economics,2001,29.

[4]Dimitrios Konstantinides,Qihe Tang,Gurami Tsitsiashvili.Estimates for the Ruin Probability in the Classical Risk Model with Constant Interest Force in the Presence of Heavy Tails[J].Insurance:Mathematics and Economics,2002,31.

[5]張燕，田錚，劉向增.常利率下相依風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)問(wèn)題[J].紡織高校基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào)，2007，20（4）.

[6]李晉枝，喬克林，何樹(shù)紅.隨機(jī)利率因素的破產(chǎn)模型[J].云南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2003，25（1）.

[7]Grandell J.Aspects of Risk Theory[M].New York:Springer-verlag,1991.