劉旭彬

（暨南大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系，廣州 510632）

GARCH模型的蒙特卡羅模擬方法及應(yīng)用

劉旭彬

（暨南大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)系，廣州 510632）

文章以長江電力（600900）股票和長電CWB1（580007）權(quán)證為例進(jìn)行了實(shí)證研究分析，結(jié)合GARCH模型與蒙特卡羅模擬方法，利用Eviews和R語言對長電CWB1權(quán)證進(jìn)行了數(shù)值方法的定價(jià)。實(shí)證結(jié)果顯示出了金融時(shí)間序列的GARCH模型特性，并且蒙特卡羅方法定價(jià)與實(shí)際價(jià)格偏差較小，證實(shí)了該方法在期權(quán)定價(jià)中的有效性。

GARCH模型；蒙特卡羅方法；期權(quán)定價(jià)

0 引言

在眾多的金融衍生物當(dāng)中，期權(quán)是一種重要的基礎(chǔ)性衍生產(chǎn)品，如何準(zhǔn)確地為期權(quán)定價(jià)一直是眾多學(xué)者研究的重要課題。

期權(quán)定價(jià)的經(jīng)典模型是Black-Scholes模型，該模型需要先估計(jì)標(biāo)的股票收益的波動(dòng)率，一般采取歷史波動(dòng)率法，但是完全市場與波動(dòng)率固定不變的假設(shè)與實(shí)際市場并不完全相符，大量的實(shí)證分析證實(shí)了Black-Scholes模型定價(jià)的偏差。應(yīng)用GARCH模型對標(biāo)的股票收益的波動(dòng)率的時(shí)滯性進(jìn)行探討，并在此基礎(chǔ)上對期權(quán)定價(jià)問題進(jìn)行研究，國內(nèi)外的學(xué)者在這方面都有一定的貢獻(xiàn)。

Duan[1]運(yùn)用均衡定價(jià)原理通過引入更一般化的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)關(guān)系或叫做局部風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)關(guān)系解決了這一難題，從而第一次給出了系統(tǒng)的GARCH期權(quán)定價(jià)理論。此后，Duan和Simonato[2]結(jié)合GARCH模型與馬爾科夫鏈對美式期權(quán)的定價(jià)問題進(jìn)行了研究；Duan和Zhang[3]運(yùn)用GARCH模型研究了香港恒生指數(shù)期權(quán)的定價(jià)問題，研究表明基于GARCH模型的期權(quán)定價(jià)方法具有較高的準(zhǔn)確性。汪來喜、丁日佳[4]應(yīng)用GARCH模型估計(jì)標(biāo)的股票收益的波動(dòng)率，并將估計(jì)出來的收益波動(dòng)率代入Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式，與基于歷史波動(dòng)率下的定價(jià)進(jìn)行比較，結(jié)果發(fā)現(xiàn)GARCH定價(jià)并非總具有優(yōu)勢。王健、李超杰、何建敏[5]基于GARCH-擴(kuò)散過程，把規(guī)范的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型推廣到存在交易成本的情形，并與Leland的期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行了比較。結(jié)果表明，有交易成本的GARCH-擴(kuò)散期權(quán)定價(jià)模型具有較好的定價(jià)性能。張敏、王鍵[6]研究了期權(quán)的數(shù)值分析法—Monte Carlo模擬法，為期權(quán)的定價(jià)提供了估值的數(shù)值計(jì)算方法。

國內(nèi)常見的蒙特卡羅模擬方法是假定標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從一個(gè)幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即根據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格呈對數(shù)正態(tài)分布的假設(shè)，模擬出資產(chǎn)在期權(quán)持有期內(nèi)的價(jià)格走勢，得出資產(chǎn)在期權(quán)到期日的不同價(jià)格分布。上述方法中測度的波動(dòng)率多為常數(shù)，未能如實(shí)地反映出金融時(shí)間序列波動(dòng)率的時(shí)變性和聚類性。對于如何才能利用可充分反映金融時(shí)間序列特有性質(zhì)的方法來進(jìn)行期權(quán)定價(jià)，國內(nèi)少有相關(guān)文獻(xiàn)研究。針對以上問題，本文假設(shè)股票價(jià)格收益率服從一個(gè)GARCH類模型，此類模型為準(zhǔn)確描述和預(yù)測波動(dòng)率提供了條件，而使用結(jié)合了GARCH類模型的蒙特卡羅模擬方法為長電CWB1權(quán)證的價(jià)格進(jìn)行數(shù)值定價(jià)，精確性較高，與實(shí)際的偏差較小，證實(shí)了該方法定價(jià)的有效性。

1 理論依據(jù)與技術(shù)實(shí)現(xiàn)

1.1 GARCH模型

金融時(shí)間序列的一個(gè)顯著特點(diǎn)是條件異方差性。Engel提出自回歸條件異方差(ARCH)模型，Bollerslev將其推廣到廣義ARCH 模型（GARCH）。這些模型以線性形式刻畫了誤差項(xiàng)的條件二階矩性質(zhì)，通過條件異方差的變化來刻畫波動(dòng)的時(shí)間可變性及集簇性，GARCH族模型現(xiàn)在已廣泛地應(yīng)用于計(jì)量金融領(lǐng)域。對對數(shù)收益率rt，我們假定其均值方程是一個(gè)ARMA模型，設(shè)at=rt-μt使均值修正的對數(shù)收益率，考慮如下模型[7]：

1.2 蒙特卡羅模擬方法的理論依據(jù)

衍生證券的數(shù)值方法通常有二叉樹方法，有限差分方法和蒙特卡羅模擬方法。

蒙特卡羅方法是以概率統(tǒng)計(jì)的理論和方法為基礎(chǔ)的一種計(jì)算方法。蒙特卡羅方法將所求解的問題與某個(gè)概率模型聯(lián)系起來，在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行隨機(jī)模擬，從而得出問題的近似解，因此蒙特卡羅方法也被稱為隨機(jī)模擬法或者統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)法。

蒙特卡羅模擬方法的理論依據(jù)是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)。我們考慮一種歐式衍生證券，這種衍生證券的持有者在其有效期內(nèi)不能做任何決策，假設(shè)在T時(shí)刻時(shí)該衍生證券的收益為fT，那么在風(fēng)險(xiǎn)中性的世界里，其0時(shí)刻的價(jià)值為：

如果衍生證券只依附一個(gè)標(biāo)的隨機(jī)變量，并且這個(gè)變量不是利率，我們就可以模擬風(fēng)險(xiǎn)中性世界中該標(biāo)的變量的一種可能路徑，然后計(jì)算出在這條可能路徑下所得到的回報(bào)，得到了衍生證券的最終價(jià)值，這一最終價(jià)值可被看作是全部可能終值集合中的一個(gè)隨機(jī)樣本。再選取該變量的第二條樣本路徑，可以按照上述方法獲得第二個(gè)樣本的終值。更多的樣本路徑得出更多的樣本終值。計(jì)算出大量的樣本終值后，(fT)就用它們的算術(shù)平均值來估計(jì)，通過無風(fēng)險(xiǎn)利率對(fT)進(jìn)行貼現(xiàn)，就可以計(jì)算出衍生證券現(xiàn)值的估計(jì)值。上述的模擬被稱為其中的一次模擬運(yùn)算。蒙特卡羅方法需要非常大量的模擬運(yùn)算。

1.3 基于GARCH模型蒙特卡羅模擬方法的技術(shù)實(shí)現(xiàn)

股票價(jià)格t時(shí)期的波功率σt可由GARCH(1,1)模型估計(jì)出，假設(shè)股票的收益率滿足如下的形式：

其中{St}為股票每日的收盤價(jià)格序列，{Rt}為股票的收益率序列，λ表示單位風(fēng)險(xiǎn)費(fèi)用 （即市場中的預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)增加一單位時(shí)，收益率就會(huì)相應(yīng)增加λ個(gè)單位），Ψt-1表示t-1時(shí)刻所有的信息集。

在風(fēng)險(xiǎn)中性的世界中，令 ξt=λσt+εt，則上述模型變?yōu)槿缦滦问剑?/p>

接著運(yùn)用蒙特卡羅方法對標(biāo)的股票價(jià)格走勢進(jìn)行模擬，其技術(shù)實(shí)現(xiàn)步驟如下：

(1)創(chuàng)建一個(gè)j行k列的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)矩陣，k表示距離到期時(shí)刻T的天數(shù)(距到期日時(shí)間不包括周末和假期)，j表示模擬的路徑總數(shù)，不妨設(shè)j=10000，n(j,k)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)矩陣中的一個(gè)元素。

(2)創(chuàng)建一個(gè)波動(dòng)率矩陣σ(j,k)，該矩陣第一列的元素可用歷史波動(dòng)率的方法估計(jì)α0，α1，β1可以用Eviews軟件估計(jì)出，ξ(j,k)=σ2(j,k)n(j,k)，代入波動(dòng)方程可得到波動(dòng)率矩陣。

(3)模擬股票價(jià)格的走勢，到期日T的股票價(jià)格ST的計(jì)算方法如下：

圖1 長江電力日收益率波動(dòng)的波動(dòng)

圖2 長江電力日收益率的頻數(shù)圖及統(tǒng)計(jì)特征

(4)則歐式看漲期權(quán)在GARCH(1,1)模型下的定價(jià)公式為：

其中C表示歐式看漲期權(quán)的價(jià)格，r表示無風(fēng)險(xiǎn)利率，X表示期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格，S(T,i)表示標(biāo)的資產(chǎn)在到期日T的第i條路徑模擬價(jià)格。

2 數(shù)據(jù)分析與實(shí)證

2.1 數(shù)據(jù)的選取與準(zhǔn)備

本文實(shí)證的數(shù)據(jù)來自WIND金融數(shù)據(jù)庫，研究的期權(quán)為長電CWB1(580007)，其標(biāo)的股票為長江電力(600900)，選取長江電力上市之日2003年11月18日至2007年3月19日的日收盤價(jià)為樣本來進(jìn)行GARCH模型的估計(jì)，共806個(gè)數(shù)據(jù)，其收益率按照如下的公式來計(jì)算：

其中Rt表示股票的日收益率，St為股票的每日收盤價(jià)。

2.2 實(shí)證分析

2.2.1 描述性統(tǒng)計(jì)（見圖1，圖2）

圖2的結(jié)果見表1。

由圖1可以看出長江電力日收益率的波動(dòng)都表現(xiàn)出時(shí)變性、突發(fā)性和集群性。由圖2的結(jié)果可看出其收益率分布都是略微右偏的，其峰度明顯要高于正態(tài)分布的峰值3，所以具有一般金融時(shí)間序列“尖峰厚尾”性質(zhì)。通過雅克貝拉檢驗(yàn)可以得出長江電力日收益率序列的分布是顯著的異于正態(tài)分布的，初步具備建立GARCH(1,1)模型的條件。

2.2.2 平穩(wěn)性檢驗(yàn)

從上面的統(tǒng)計(jì)分析能夠知道，收益率序列圍繞著均值上下波動(dòng)，不存在趨勢，因此，對滬深兩市的收益率序列做帶截距項(xiàng)不帶時(shí)間趨勢滯后4階的ADF檢驗(yàn)，可以得到表2。

表1 長江電力日收益率序列的統(tǒng)計(jì)特征

表2 長江電力日收益率序列的增廣迪基富勒檢驗(yàn)

表3 GARCH(1,1)方差方程的建模結(jié)果

表4 ARCH-LM檢驗(yàn)結(jié)果

由長江電力日收益率序列的增廣迪基富勒檢驗(yàn)得出，ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為-12.952，P值接近為0，說明長江電力的收益率序列均在1%的顯著性水平下拒絕存在單位根的原假設(shè)，由此得到長江電力的收益率序列是平穩(wěn)的，無需差分則可以直接建立模型。

2.2.3 建立GARCH(1,1)模型

對長江電力建立GARCH(1,1)模型，可得表3。

即：

由表3可以看出，方差方程中所有系數(shù)都是統(tǒng)計(jì)顯著的，且所有系數(shù)均大于 0，α1+β1=0.9524＜1，滿足 GARCH(1,1)模型中參數(shù)的約束條件，由于ARCH項(xiàng)系數(shù)和GARCH項(xiàng)系數(shù)之和為0.9524，又非常接近于1，說明外部沖擊引起長江電力的波動(dòng)影響時(shí)間會(huì)比較長，持久性特征明顯。

2.2.4 GARCH(1,1)模型的ARCH-LM檢驗(yàn)

對GARCH(1,1)模型的殘差進(jìn)行滯后4階的ARCH-LM檢驗(yàn)，其結(jié)果見表4。

相伴概率為0.8827，接受原假設(shè)，認(rèn)為殘差序列不具有ARCH效應(yīng)，說明上面的GARCH(1,1)模型很好地消除了殘差序列的條件異方差性。

2.3 期權(quán)定價(jià)蒙特卡羅模擬方法的R語言實(shí)現(xiàn)

R語言的實(shí)現(xiàn)程序見附錄。附錄中的程序構(gòu)造了一個(gè)函數(shù)，只要輸入離行權(quán)日的天數(shù)n、股票的前一天收盤價(jià)格s0作為初始價(jià)格、權(quán)證的行權(quán)價(jià)格X和股票的歷史波動(dòng)率sigma0還有單位風(fēng)險(xiǎn)費(fèi)用 （這里假設(shè)為0.25），并且選取2006年一年整存整取的利率2.52%作為無風(fēng)險(xiǎn)利率，就可以通過10000次的模擬股價(jià)路徑，算出10000個(gè)在行權(quán)日當(dāng)天的股票最終價(jià)格，從而得出以其為標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)證的價(jià)值。則最終運(yùn)算得到的模擬價(jià)格與真實(shí)價(jià)格的比較見表5。

利用偏離度來界定蒙特卡羅模擬方法的優(yōu)劣，從定量的方式著手，驗(yàn)證基于GARCH模型的蒙特卡羅定價(jià)方法的有效性。

平均偏度計(jì)算方法：

其中Pr為真實(shí)價(jià)格，Ps為蒙特卡羅模擬價(jià)格。則由此可以算出，蒙特卡羅模擬價(jià)格與真實(shí)價(jià)格之間的平均偏離度為 4.843%，說明 GARCH(1,1)模型對權(quán)證的定價(jià)偏差不大，結(jié)合了GARCH模型的蒙特卡羅方法十分有效。

表5 蒙特卡羅模擬價(jià)格與真實(shí)價(jià)格對比

3 結(jié)論

本文利用多種金融時(shí)間序列分析方法與統(tǒng)計(jì)手段，對標(biāo)的股票長江電力（600900）和權(quán)證長電 CWB1（580007）進(jìn)行實(shí)證分析，結(jié)合GARCH模型和蒙特卡羅模擬方法對長電CWB1進(jìn)行數(shù)值定價(jià)，得到如下結(jié)果：

(1)長江電力的股票日收益率基本滿足一般金融時(shí)間序列具有的“尖峰厚尾”特征，而擬合出來的GARCH（1,1）模型能很好地模擬其波動(dòng)率，各項(xiàng)系數(shù)都十分顯著，ARCH項(xiàng)系數(shù)和GARCH項(xiàng)系數(shù)之和為0.9524，非常接近于1，說明外部沖擊引起長江電力的波動(dòng)影響時(shí)間會(huì)比較長，持久性特征明顯。

(2)雖然運(yùn)用了期權(quán)的定價(jià)方法，可是長電CWB1不是真正的期權(quán)產(chǎn)品，理論上和期權(quán)還是有一些出入的，權(quán)證是由公司發(fā)行的，發(fā)行數(shù)量上是有限的，容易被人操縱價(jià)格，影響定價(jià)的準(zhǔn)確性。

(3)賣空機(jī)制能使股票市場的價(jià)格更加接近于真實(shí)價(jià)格，對實(shí)現(xiàn)股票市場的有效性有著重要的意義。由于當(dāng)時(shí)我國股票市場不允許賣空，使得套利無法進(jìn)行，市場的投機(jī)成份較多，價(jià)格的上下波動(dòng)大，也會(huì)增加定價(jià)的難度。

(4)在中國權(quán)證市場上多數(shù)都是百慕大式的權(quán)證，是介于歐式和美式的一種權(quán)證，蒙特卡羅方法由于其獨(dú)特的性質(zhì)，一般用來模擬歐式的權(quán)證，不過總體來說，基于GARCH模型的蒙特卡羅模擬值和真實(shí)值之間的平均偏離度只有4.843%，定價(jià)的準(zhǔn)確性還是相當(dāng)高的。

[1]Duan J.The Garch Option Pricing Model[J].Mathematical Finance，1995,5(1).

[2]Duan J,Simonato J.American Option Pricing under GARCH by a Markov Chain Approximation[J].Journal of Economic Dynamics and Control，2001,25(11).

[3]Duan J,Zhang H.Pricing Hang Seng Index Options around the Asian Financial Crisis-A GARCH Approach[J].Journal of Banking&Finance，2001,25(11).

[4]汪來喜，丁日佳.基于GARCH模型的股票期權(quán)定價(jià)方法研究[J].金融理論與實(shí)踐，2008，(2).

[5]王健，李超杰，何建敏.有交易成本的GARCH-擴(kuò)散期權(quán)定價(jià)模型[J].東南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2006，(1).

[6]張敏，王鍵.Monte-Carlo模擬法在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用[J].湖南商學(xué)院學(xué)報(bào)，2003，(4).

[7]R Tsay.金融時(shí)間序列分析[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2006.

（責(zé)任編輯/浩 天）

F830.91

A

1002－6487（2010）23－0163-03