呂 丹，童創(chuàng)明

(1.空軍工程大學(xué) 導(dǎo)彈學(xué)院，陜西 三原 713800；2. 毫米波國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210096)

1 引 言

雙各向同性媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系表達(dá)式中有介電常數(shù)、磁導(dǎo)率、非互易參數(shù)和手征參數(shù)4個(gè)參數(shù)，當(dāng)非互易參數(shù)為零時(shí)，稱這種媒質(zhì)為手征媒質(zhì)。

近幾年，手征媒質(zhì)在微帶線、電磁透鏡、極化轉(zhuǎn)換器等方面展現(xiàn)出巨大的應(yīng)用前景，同時(shí)反射特性的研究也是一個(gè)熱點(diǎn)問題。文獻(xiàn)[1-3]分別討論了手征參數(shù)變化對反射系數(shù)的影響，另外,文獻(xiàn)[2]還對不同本構(gòu)關(guān)系下手征媒質(zhì)的反射系數(shù)進(jìn)行了仿真計(jì)算。隨著研究的不斷深入，將手征媒質(zhì)涂敷在目標(biāo)表面起到減小反射波進(jìn)而降低目標(biāo)的雷達(dá)散射截面(RCS)成為可能[4]，文獻(xiàn)[5]就計(jì)算了涂敷手征媒質(zhì)金屬錐柱的RCS。

文獻(xiàn)研究成果只是基于固定的手征參數(shù)，并沒有給出在相應(yīng)的條件下應(yīng)該將參數(shù)值設(shè)置成多少才能獲得較好的吸收率。粒子群優(yōu)化算法[6](PSO)需要計(jì)算的參數(shù)較少，原理簡單、易于實(shí)現(xiàn)，但是它容易陷入局部最優(yōu)值；而模擬退火算法[7](SA)能以概率接受差于目前狀態(tài)的新狀態(tài)，易于跳出局部最優(yōu)。本文結(jié)合兩種算法的優(yōu)點(diǎn)，在標(biāo)準(zhǔn)算法的基礎(chǔ)上給出改進(jìn)措施，運(yùn)用混合優(yōu)化算法得到手征媒質(zhì)的最佳參數(shù)，并在此基礎(chǔ)上仿真計(jì)算了當(dāng)一個(gè)參數(shù)取不同值而其它參數(shù)固定不變條件下電磁波垂直入射時(shí)的反射系數(shù)。結(jié)果表明，在給定的頻率范圍內(nèi)、在最佳參數(shù)條件下，手征媒質(zhì)的吸收率和反射系數(shù)都是理想的。

2 理論方法

2.1 手征媒質(zhì)

2.1.1本構(gòu)關(guān)系

在Lindell本構(gòu)關(guān)系中，雙各向同性媒質(zhì)可描述為

(1)

(2)

式中,χ表示非互易參數(shù)，κ表示手征參數(shù)，ε0和μ0是真空中的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率，ε和μ是媒質(zhì)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率。雙各向同性媒質(zhì)包括手征媒質(zhì)和非互易媒質(zhì)，當(dāng)χ=0時(shí)，稱為手征媒質(zhì)；當(dāng)κ=0時(shí)，表征非互易媒質(zhì)。

對于手征媒質(zhì)，Lindell本構(gòu)關(guān)系化簡為

(3)

(4)

在Post本構(gòu)關(guān)系中，手征媒質(zhì)可描述為[1-2]

D=εpE+jξcH

(5)

B=-jξcμpE+μpH

(6)

2.1.2反射系數(shù)

當(dāng)平面波入射到雙各向同性媒質(zhì)表面時(shí)，場分成左旋極化波(-)和右旋極化波(+)。在Lindell本構(gòu)關(guān)系下，波阻抗Z和波數(shù)β也相應(yīng)的具有兩種形式：

(7)

(8)

其中：

μ+=μ(cos?+κr)e-j?，μ-=μ(cos?-κr)ej?

(9)

ε+=ε(cos?+κr)ej?，ε-=ε(cos?-κr)e-j?

(10)

(11)

在空氣與雙各向同性媒質(zhì)交界面上多層結(jié)構(gòu)的反射系數(shù)為

(12)

(13)

(14)

2.2 混合優(yōu)化算法

2.2.1改進(jìn)PSO算法

假設(shè)在一N維空間中，由M個(gè)粒子組成種群，第i個(gè)粒子的速度和位置分別為xi=(xi1,xi2,xi3,…,xiN)T和vi=(vi1,vi2,vi3,…,viN)T。粒子迄今找到過的最好位置稱為個(gè)體極值點(diǎn)pi=(pi1,pi2,pi3,…,piN)T，種群目前找到的最好位置稱為全局極值點(diǎn)g=(g1,g2,g3,…,gN)T。粒子位置與速度的更新公式為

(15)

(16)

式中，i=1,2,3,…,M;n=1,2,3,…,N；ω為慣性權(quán)重。

本文在標(biāo)準(zhǔn)PSO算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)。

(1)混沌初始化

Logistic方程是一個(gè)典型的混沌系統(tǒng)[8]：

zn+1=μzn(1-zn)，n=0,1,2,…

(17)

式中，μ為控制參量。

由任意初值z0∈[0,1]可迭代出一個(gè)確定的時(shí)間序列z1,z2,z3,…。粒子具有N維坐標(biāo)，就要由一個(gè)N維任意初向量z0=(z01,z02,z03,…,z0N)T,z0n∈[0,1]迭代出一個(gè)數(shù)量L遠(yuǎn)大于種群的規(guī)模向量序列z1,z2,z3,…,zL，然后將混沌序列按下式一一映射到解空間：

xi=(xi1,xi2,xi3,…,xiN)T

xin=xnmin+(xnmax-xnmin)·zin

(18)

式中，xnmax和xnmin分別表示第n維坐標(biāo)的上下限。

通過計(jì)算、比較適應(yīng)值的大小，從中選擇性能較好的M個(gè)粒子作為初始種群，同時(shí)隨機(jī)產(chǎn)生粒子速度。

(2)重新初始化粒子的位置和速度

當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到周期要求，對當(dāng)前粒子的狀態(tài)進(jìn)行調(diào)整。這里采用選擇機(jī)制，計(jì)算所有粒子當(dāng)前的適應(yīng)值，保留性能較好的一半粒子，另一半粒子再隨機(jī)產(chǎn)生，所有粒子的個(gè)體極值點(diǎn)和全局極值點(diǎn)保持不變。

(3)變異

對種群最優(yōu)點(diǎn)以外所有粒子的個(gè)體極值點(diǎn)按以下公式進(jìn)行計(jì)算[9]：

(19)

2.2.2改進(jìn)SA算法

SA算法的原理是以固體的初始狀態(tài)i作為當(dāng)前狀態(tài)，其能量為Ei；隨機(jī)選取的某個(gè)粒子隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)微小變化得到一個(gè)新狀態(tài)j，其能量為Ej。若ΔE=Ej-Ei<0，則接受新狀態(tài)；否則，以概率exp(-ΔE/kT)接受新狀態(tài)。

本文在標(biāo)準(zhǔn)SA算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)。

(1)初始溫度

隨機(jī)產(chǎn)生一組狀態(tài)，選出兩狀態(tài)間的最大目標(biāo)函數(shù)差值|Δfmax|。設(shè)初始接受概率為Pr，一般Pr在[0.7,0.9]之間，初始溫度可由下式?jīng)Q定：

T0=-|Δfmax|/lnPr

(20)

(2)狀態(tài)產(chǎn)生函數(shù)

由于混沌變量具有遍歷性、隨機(jī)性，文中采用產(chǎn)生混沌序列作為候選解的方式作為狀態(tài)產(chǎn)生函數(shù)。

(3)溫度管理

每一次外循環(huán)結(jié)束后都要下降溫度，再進(jìn)行下一次的內(nèi)循化過程。這里采取較簡單的線性下降策略：

Ti+1=Tiλ，0<λ<1

(21)

式中，λ越接近1，溫度下降得越慢；λ越接近0，溫度下降得越快。

(4)增加記憶功能

最優(yōu)解記憶：將最優(yōu)解設(shè)置設(shè)為初始狀態(tài)，通過比較新狀態(tài)與當(dāng)前狀態(tài)的目標(biāo)函數(shù)值確定最優(yōu)解是否需要更新，注意在以概率接受較差狀態(tài)時(shí)最優(yōu)解不變，這樣保證了當(dāng)前狀態(tài)改變時(shí)歷史最優(yōu)解得以保留。

已接受解記憶：將已經(jīng)接受過的狀態(tài)存入禁忌表中，每次產(chǎn)生新狀態(tài)后先對照禁忌表，如果曾經(jīng)被接受過則重新產(chǎn)生新狀態(tài)；否則按步驟4進(jìn)行下面的判斷。這樣保證了同樣的狀態(tài)不會重復(fù)出現(xiàn)，節(jié)省了計(jì)算時(shí)間。

(5)內(nèi)、外循環(huán)終止條件

文中采用了最優(yōu)值連續(xù)若干步保持不變的原則。

2.2.3混合算法

在改進(jìn)PSO、SA算法基礎(chǔ)上，給出了改進(jìn)的混合算法，具體流程如圖1所示。

圖1 混合算法流程圖

2.2.4目標(biāo)函數(shù)

優(yōu)化設(shè)計(jì)的目的是要在給定頻帶范圍內(nèi)獲得較大的吸收率和較小的反射系數(shù)，基底固定的手征媒質(zhì)對反射系數(shù)有影響的變量是涂層厚度和手征參數(shù)。目標(biāo)函數(shù)F為

(22)

對F進(jìn)行最大值尋優(yōu)計(jì)算將得到最佳的參數(shù)設(shè)置。

3 算例分析

(1)運(yùn)用混合優(yōu)化算法計(jì)算f(x)的最小值：

(23)

式中，xmax=1 000，vmax=1 000。

優(yōu)化算法參數(shù)選取如下：c1=c2=2.0，慣性權(quán)重ω=0.375，粒子數(shù)M=30，最大迭代次數(shù)為10 000，初始化周期Ie=50，模擬退火內(nèi)外循環(huán)的停止準(zhǔn)則都是種群最優(yōu)保持10次不變。圖2是對函數(shù)進(jìn)行50次計(jì)算平均最優(yōu)值與迭代次數(shù)的關(guān)系[9]，從圖中明顯看出本文改進(jìn)措施使收斂速度大大提高。

圖2 函數(shù)平均最優(yōu)值與迭代次數(shù)的關(guān)系曲線圖

(2)手征媒質(zhì)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別是εp=4.73-j0.16，μp=1.07-j0.27，厚度d∈(0.000 1～0.01)，手征參數(shù)ξc=ξc′-jξc″，ξc′∈(0.000 5～0.01)，ξc″∈(0.000 01～0.006)，入射波頻率f∈(8,18)GHz。運(yùn)用混合優(yōu)化算法得到最優(yōu)參數(shù)是：d=0.01，ξc=0.009 407 59-j0.004 880 79。改變手征參數(shù)實(shí)部，虛部及涂層厚度不變情況下，反射系數(shù)與頻率的變化曲線如圖3所示。

圖3 ξc實(shí)部變化情況下的反射系數(shù)

由圖3可以看出，隨著手征參數(shù)實(shí)部的增大，反射系數(shù)整體上先下降再上升，而且吸收峰值點(diǎn)逐漸向低頻端移動。當(dāng)手征參數(shù)實(shí)部處于最優(yōu)值附近時(shí)，在較寬的頻帶內(nèi)都可以獲得較理想的吸收率。

(3)改變手征參數(shù)虛部，實(shí)部及涂層厚度不變情況下反射系數(shù)與頻率的變化曲線如圖4所示。

圖4 ξc虛部變化情況下的反射系數(shù)

由圖4可以看出，隨著手征參數(shù)虛部的增大，反射系數(shù)剛開始變化不明顯，隨后下降較快；虛部繼續(xù)增大時(shí)反射系數(shù)又開始處于上升趨勢。當(dāng)手征參數(shù)虛部處于最優(yōu)值附近時(shí)，吸波帶寬都是較好的。

(4)改變手征涂層厚度，手征參數(shù)實(shí)部、虛部不變情況下反射系數(shù)與頻率的變化曲線如圖5所示。

圖5 涂層厚度變化情況下的反射系數(shù)

由圖5可以看出，隨著涂層厚度的增加，反射系數(shù)持續(xù)下降，而且吸收峰值點(diǎn)逐漸向低頻端移動。當(dāng)厚度取值在最優(yōu)值附近時(shí)，可獲得較為理想的吸波帶寬。

4 結(jié) 論

手征媒質(zhì)由于其手征參數(shù)的可調(diào)性使其不像一般材料那樣擁有固定不變的介電常數(shù)，可以根據(jù)需要調(diào)整手征參數(shù)大小從而改變媒質(zhì)介電常數(shù)值。通過優(yōu)化算法的尋優(yōu)計(jì)算，找到了最佳的參數(shù)設(shè)置，使在金屬板上涂敷的手征媒質(zhì)在電磁波垂直入射情況下，在一段頻率上獲得較小的反射系數(shù)和較高的吸收率，從而起到減小雷達(dá)反射波、降低目標(biāo)RCS的作用。

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