黃道增

（臺州學(xué)院，浙江 臺州 317000）

利用函數(shù)單調(diào)性證明積分不等式

黃道增

（臺州學(xué)院，浙江 臺州 317000）

積分不等式的證明方法多種多樣，本文主要利用被積函數(shù)的單調(diào)性和通過構(gòu)造輔助函數(shù)的單調(diào)性證明積分不等式.

函數(shù)單調(diào)性；積分不等式；輔助函數(shù)

積分不等式是微積分學(xué)中一類重要的不等式，其證明方法多種多樣.如果題目條件中含“單調(diào)性”或隱含“單調(diào)性”的條件，利用函數(shù)單調(diào)性證明比較簡單.本文主要討論利用被積函數(shù)的單調(diào)性和通過構(gòu)造輔助函數(shù)的單調(diào)性證明積分不等式.

1 利用被積函數(shù)的單調(diào)性

例1設(shè)f(x)為[0,1]上非負(fù)單調(diào)遞減函數(shù)，

證明 由f(x)的單調(diào)遞減性得：

若0＜x≤α＜1，有f(x)≥f(α)

由（1）（2）得：

2 利用輔助函數(shù)的單調(diào)性

證明方法根據(jù)——變微積分學(xué)基本定理和可導(dǎo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)符號與單調(diào)性關(guān)系定理：

可導(dǎo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系定理：設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，如果在(a,b)內(nèi)f'(x)≥0（或f'(x)≤0），那么f(x)在[a,b]上單調(diào)增加（或單調(diào)減少）.

證明的一般過程：

（1）構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)，取定閉區(qū)間[a,b]；

（2）求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)，再判別它的符號，利用可導(dǎo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)關(guān)系，判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（3）求函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值；

（4）根據(jù)第2步和第3步即可得證.

∵f(x)在[a,b]上連續(xù)，且單調(diào)增加，

∴g'(x)≥0

即g(x)在[a,b]上單調(diào)增加，

∵F(a)=0∴F(b)＞0

即F(x)≥0，x∈[0,1].

分析 可將此定積分不等式看成是數(shù)值不等式，并將常數(shù)1變?yōu)樽償?shù)x，利用差式構(gòu)造輔助函數(shù).

∵0＜f'(t)＜1

∴f(t)在[0,1]上嚴(yán)格單調(diào)遞增.

∴f(t)＞f(0)=0

∴H'(t)≥0

∴對任意t∈[0,1]有H(t)≥H(0)=0，F(xiàn)'(t)＞0，t∈[0,1]

∴F(t)在[0,1]上嚴(yán)格單調(diào)遞增，F(xiàn)(l)＞F(0)=0

〔1〕華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上)[M].北京:高等教育出版社,2001.

〔2〕張榮.輔助函數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,2007(10).

〔3〕葉國菊，趙大方.數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)與考研指導(dǎo)[M].北京:清華大學(xué)出版,2009.

〔4〕賈高.數(shù)學(xué)分析專題選講[M].上海:上海交通大學(xué)出版社, 2009.

O172.2

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1673-260X（2010）09-0014-02