譚永杰 ,張文娟 ,崔?；?/p>

(1.周口師范學院計算機科學系,河南周口466001;2.周口科技職業(yè)學院,河南周口466000)

圖像置亂作為一種信息隱藏技術(shù),雖然起步不早,但由于各方面的財政支持,近年來該技術(shù)的發(fā)展速度很快,這與它在實際應(yīng)用中所發(fā)揮的巨大作用是分不開的。隨著多媒體技術(shù)、信息存儲技術(shù)的飛速發(fā)展,以及網(wǎng)絡(luò)帶寬限制的放松,越來越多的數(shù)字圖像得以在網(wǎng)絡(luò)上傳輸,并逐步成為人們獲取信息的主要手段。網(wǎng)絡(luò)上傳輸?shù)臄?shù)字圖像有些涉及到個人隱私或公司利益;有些甚至是軍事機密,牽涉到國家的安全,是至關(guān)重要的。所以,對傳輸?shù)臄?shù)字圖像進行可靠的加密處理,越來越引起眾多學者的關(guān)注。并逐步產(chǎn)生了圖像置亂技術(shù),提出了很多種圖像置亂算法。縱觀這些算法,從大的方面可以分為兩種:基于位置空間的置亂和基于色彩空間的置亂,有些則是將這兩種方法結(jié)合以求得更好的置亂效果。本文按照所依據(jù)的置亂原理分別介紹這兩種置亂方法中的一些經(jīng)典算法,并深入分析其置亂原理。

1 圖像置亂的概念與分類

1.1 圖像置亂的概念

根據(jù)資料,圖像置亂的定義可歸納為以下兩種[1]:

定義1 給出圖像A=[a(i,j)]nXm,變換矩陣T=[t(i,j)]nXm是1,2,…,n X m的一種排列,用T作置亂變換,得到圖像B。其變換方法如下:

將A與T按行列作一一對應(yīng),將A中對應(yīng)位置1的像素灰度值(或RGB分量值)移到對應(yīng)位置2,對應(yīng)位置2的像素灰度值移到對應(yīng)位置3,以此類推。最后將對應(yīng)n X m位置的像素灰度值移到對應(yīng)位置1,就得到了按T置亂后的圖像B。稱圖像A經(jīng)置亂變換T變換到了圖像B。記為B=TA。

定義2 給定一幅n X m大小的灰度圖像A= [a(i,j)]nXm,假設(shè)變換T是{(x,y):1≤x≤n,1≤y≤m,且 x,y均為整數(shù)}到自身的一一映射,即

將圖像A中位置(x,y)處的元素變換到位置(x′, y′)處,得到圖像B,則稱變換 T是圖像A的置亂變換。仍記為B=TA。

從數(shù)學本質(zhì)上看,上面兩個定義沒有本質(zhì)的區(qū)別,只是在不同的場合,有的用起來較方便。

1.2 圖像置亂的分類

到目前為止,關(guān)于圖像置亂的算法已經(jīng)有好多種,從大的方面可分為基于圖像位置空間、基于圖像色彩空間和基于圖像頻域空間的置亂;從具體的算法上也有許多成熟的算法被應(yīng)用到圖像置亂中,如基于 A rnold變換[2-4]、幻方變換[5]、Hilbert曲線[6]、隊列變換方法[7]等。這些都是基于圖像位置空間的經(jīng)典置亂方法,而繼黃石則提出了基于灰度變換的置亂方法后,也陸續(xù)有學者嘗試著在灰度空間進行置亂,并提出了一些好的置亂方法,如 Gray碼[8]、S盒[9]、混沌映射[10]等方法。其置亂思想來源于數(shù)字圖像處理中的灰度直方圖變換,針對圖像像素值進行置亂,該方法是基于圖像色彩空間的算法。本文主要描述這兩種算法中有代表性的方法。

2 位置空間的圖像置亂方法

2.1 基于Arnold變換的圖像置亂

A rnold變換是A rnold在遍歷理論研究中提出的一種變換,俗稱貓臉變換,原意為cat mapping。設(shè)想在平面單位正方形內(nèi)繪制一個貓臉圖像,通過如下變換

這個貓臉圖像將由清晰變模糊,這就是A rnold變換[4]。

式(1)中mod 2表示模2運算。具體到數(shù)字圖像置亂方面時,x,y表示原圖像像素點的位置,x′, y′表示置亂后像素點的位置,mod 2須換成mod N,N是圖像矩陣的階數(shù),對其取模以保證置亂后的像素點的位置不超出圖像矩陣下標界限。故式(1)可改寫為

一幅圖像在經(jīng)過式(2)后,其位置進行了一對一的換位,從而得到另一幅不相關(guān)的圖,達到圖像加密的目的。

式(1)是標準的cat映射,即系統(tǒng)參數(shù)a=1,b=1,c=1,d=2,而丁瑋等證明了對于如下2 X 2矩陣[7]

當其元素滿足ad-bc=1時,它對平面坐標的變換可作為一類置亂變換。也就是說,當系統(tǒng)參數(shù)取值不同,但只要其滿足ad-bc=1,得到的置亂圖像也會不同,這就加大了圖像加密的靈活性。

總之,A rnold變換簡單、易實現(xiàn)且具有周期性,即當?shù)螖?shù)達到某一值時,置亂成原始圖像。文獻[6]給出了不同階數(shù) N下數(shù)字圖像的A rnold變換周期,如表1所示。

觀察表1知,A rnold變換的周期性與圖像大小有關(guān),但不成正比。

下面以256級的灰度圖像lena為實驗對象,在Matlab R2007b的環(huán)境下,進行仿真實驗。經(jīng)過1次參數(shù)為{1,1,7,8}的A rnold置亂變換后得到的置亂圖像如圖1。

2.2 基于幻方變換的圖像置亂

表1 不同階數(shù) N下數(shù)字圖像的A rnold變換周期

圖1 A rnold變換置亂圖像及其直方圖

幻方(M agic)是非常古老的數(shù)學問題。一個 N階幻方是由整數(shù)1,2,3,…,N2按下述方式組成的N X N方陣。該方陣每行、每列、每條對角線上的整數(shù)和都等于同一個數(shù) S,這個數(shù)叫幻方和[8]。經(jīng)過古今中外眾多數(shù)學家的多年潛心研究,已取得豐富的成果。當前,幻方已從被認為僅僅是“奇怪的現(xiàn)象”而逐漸開發(fā)了它的應(yīng)用。事實上,幻方與群論、組合分析、試驗設(shè)計等分支有許多關(guān)聯(lián)?；梅降臐撛趦r值有待人們?nèi)ヌ剿骱桶l(fā)現(xiàn)。幻方的定義及數(shù)學表達式為[11]:以1,2,3,…,N2個自然數(shù)為元素構(gòu)成的N階方陣

若A中的元素滿足

則稱A為N階幻方矩陣,簡稱 N階幻方,這里 N為任意整數(shù)。

將幻方理論運用到圖像置亂中,其置亂方法的流程圖見圖2。

圖2 幻方置亂流程圖

分析了幻方的原理及其在圖像置亂中的應(yīng)用后,進行了驗證性實驗,對圖1(a)進行置亂,結(jié)果見圖3。

以上兩種均為在位置空間的置亂變換,除此之外,類似的算法還有很多。如針對 A rnold變換、Hilbert曲線變換、Fibonacci變換[11]等置亂算法存在取模運算,在置亂時較為費時,且逆變換不易求得等不足。

3 基于色彩空間的圖像置亂方法

與基于位置空間的圖像置亂方法相比,在色彩空間對圖像置亂得到的圖像直方圖得到改變,分布均衡,也更加安全。

圖3 基于幻方的置亂效果圖及其直方圖

3.1 基于混沌序列的圖像置亂

英國數(shù)學家M athew s首先提出以Logistic映射作為序列密鑰生成器,將混沌系統(tǒng)用于加密。Logistic映射是一類被廣泛研究的動力系統(tǒng),定義為[12]

其中當3.569 945 6<μ≤4時,Logistic映射呈現(xiàn)混沌狀態(tài),xn∈(0,1)。

Logistic映射具有確定性,而且具有形式簡單、對初值敏感等特點,其序列的遍歷統(tǒng)計特性等同于零均值白噪聲,具有良好的隨機性、相關(guān)性和復雜性[13]。利用Logistic映射對初始條件的敏感性可獲得數(shù)量很大的混沌序列,解決了任意長隨機比特序列的生成、傳輸、存儲等無法逾越的難題,可用于數(shù)據(jù)量大的數(shù)字圖像置亂方面。在對混沌理論進行分析之后,進行了以下的驗證性實驗,仍選取圖1(a)為待置亂圖像,實驗結(jié)果見圖4。

觀察圖4(b)與圖1(c)知,用該方法置亂后直方圖發(fā)生改變,置亂圖像的紋理顆粒更加細膩,但不足之處是仍可依稀看到原圖像的輪廓,如再結(jié)合位置空間的置亂對其進行預(yù)處理,可達到較好的置亂效果。與前面幾種基于位置空間的置亂方法相比,從HVS角度來說,效果更優(yōu)。

3.2 基于Gray碼的圖像置亂

定義3[8]對于任意非負整數(shù) u,其二進制碼記為 u=(upup-1…u1u0)2,令

i=1,2,…,p-1,則得到一個二進制表示的整數(shù)變換 g(u)=(gpgp-1…g1g0)2,式(5)稱為 Gray變換,g(u)稱為u的Gray碼。其中運算“⊕”為模2加法。

圖4 基于混沌映射的置亂效果圖及其直方圖對比

下面給出u=0,1,2,…,15相對應(yīng)的Gray碼,如表2所示。

為了對Gray碼進行推廣和計算基于 Gray碼的數(shù)字圖像置亂變換的周期,下面引入廣義 Gray碼的概念[8]。

定義4 對于非負整數(shù)u,其q進制碼記為u= (upup-1…u1u0)q,定義如下變換

表2 u=0,1,…,15時Gray碼對應(yīng)表

其中,q≥2為正整數(shù),aij為整數(shù),i,j=0,1,…,p。當系數(shù)矩陣的行列式|(aij)|與q互素時,以上變換稱為 u的廣義 Gray 變換,g(u)= (gpgp-1…g1g0)q稱為u的廣義 Gray碼。

令q=2,變換矩陣為

則式(7)為一般的 Gray變換,g(u)即為一般的Gray碼。

如果式(6)中的變換矩陣仍然為以上的A,則式(4)稱為 q進制 Gray變換,g(u)即為 q進制Gray碼。

將三進制Gray碼變換用于圖像置亂方面是非常靈活的,可在位置上將一幅圖像按一定的順序?qū)ο袼鼐幪?從而利用三進制 Gray碼變換重新排序置亂圖像,當然也可保持位置不變,對圖像的灰度值用三進制表示,再利用三進制Gray碼變換,從而置亂圖像。

為了得到更好的置亂效果,有些學者將基于位置空間的圖像置亂方法和基于色彩的圖像置亂方法相結(jié)合,即先在位置或色彩空間初步置亂圖像,在得到初步置亂圖像的基礎(chǔ)上,再在色彩或位置空間進行進一步的置亂變換。顯然,在經(jīng)過多次置亂后,圖像的置亂效果會更優(yōu),置亂周期也更長,安全性也相應(yīng)的更高。

4 小結(jié)

本文深入分析了幾種現(xiàn)有置亂方法的原理,并對其中部分置亂變換進行了仿真,通過分析實驗結(jié)果得知:

1 )基于位置空間的圖像置亂利用某種變換將一幅圖像各像素的秩序打亂,但像素的總數(shù)及灰度值不變,可反映一幅圖像的亮度信息直方圖不變,這就使得該類方法存在無法改進的缺陷,如用窮舉法重排置亂圖像即可恢復原圖像,安全性不高。

2 )在色彩空間對圖像進行置亂,通過數(shù)據(jù)變換或編碼技術(shù)等改變了圖像的灰度值,置亂后圖像直方圖發(fā)生改變,與位置空間的置亂相比安全性增強。

3 )在研究這兩類置亂算法的基礎(chǔ)上,也有學者將兩者結(jié)合起來用于圖像置亂,也取得了較好的置亂效果。

綜上,在圖像的色彩空間置亂圖像較之基于位置空間的圖像置亂的方法,效果更優(yōu),安全性也更高,故下一步的工作重點是探索基于色彩空間的圖像置亂新方法。

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