鄭福昌

(武夷學院電子工程系,福建武夷山354300)

彈簧系統(tǒng)的彈性勢能與重力勢能一樣是對一定的勢能零點而言的,否則,勢能沒有意義,但選擇不同的勢能零點,彈性勢能不同。在普通物理學中,相當一部分學生在彈性勢能概念和計算上經常出錯。本文將在勢能概念的基礎上,對在選擇不同彈性勢能零點時勢能值的計算方法進行討論,在此基礎上通過特例對出現(xiàn)錯誤的原因進行深入分析。

1 彈性勢能的零點選擇

勢能值只具有相對意義,即它是相對于勢能零點來講的,而勢能零點的選擇具有任意性,通?？梢愿鶕?jù)解題的方便,靈活恰當?shù)剡x取。勢能零點選擇不同,勢能值也不同,但兩點間的勢能差并不因零點選擇的不同而改變,重力勢能如此,彈性勢能也不例外,這是勢能的共同特點。在力學教材中是以彈簧自由長度處為彈性勢能零點導出勢能值的表達式:Ep=kx2,所以常引起一種錯覺,似乎彈性勢能的零點只能取在彈簧的自由長度處。其實不然,彈性勢能的零點可以取在彈簧的自由長度處,也可以取在其他位置,彈性勢能的零點原則上可以任意選取。如果彈性勢能的零點取在彈簧自由長度處,則根據(jù)勢能的定義“保守力的功等于物體系勢能增量的負值”,顯然在由零勢能狀態(tài)變化到任一狀態(tài)的過程中,彈性力總是做負功的,因此由零勢能狀態(tài)到任意狀態(tài)彈性勢能總是增加的,故當以彈簧自由長度處為彈性勢能零點時,彈性勢能總是正值。

彈性勢能的零點原則上可以任意選取,若不選在彈簧自由長度處,則系統(tǒng)在任意狀態(tài)下的彈性勢能不能保證總是正值,即在某些狀態(tài)下可能是正值,而在另外一些狀態(tài)下可能為負值。

2 零點不選在彈簧自由長度處時,彈性勢能的計算

當彈性勢能零點不選在彈簧自由長度處時,仍可根據(jù)勢能的定義“保守力的功等于物體系勢能增量的負值”,計算出任一狀態(tài)下系統(tǒng)的彈性勢能。

下面通過對一水平放置且一端固定,另一端連一物體的彈簧(如圖1所示)進行分析。設彈簧勁度系數(shù)為k,物體位于O點(x=0)時,彈簧處于自由長度。

圖1

2.1 以O點為彈性勢能零點

以彈簧自由長度處O點為坐標原點,水平向右為坐標軸正向建立坐標。當物體位于A′點時,彈簧被拉伸,拉彈簧過程中,彈性力的功為

式中-kx為彈性力,因 x>0,所以-kx沿x軸負向,而d x>0。

根據(jù)勢能的定義有:-(EpA′-0)=-所以物體位于A′點時,系統(tǒng)的彈性勢能 EpA′=kx

可見,當以彈簧自由端O點為彈性勢能零點時,任一狀態(tài)下系統(tǒng)彈性勢能可以表示為:

并且它恒為正值。

2.2 以A點為彈性勢能零點

在物體由A點運動到O點過程中,彈性力做正功,系統(tǒng)的彈性勢能應減少,故當物體位于A點和O點之間時,系統(tǒng)的彈性勢能均為負值。由A點運動到O點過程中,彈性力做功WAO=∫(-kx)d x=。因以 A點為彈性勢能零點,即 EpA=0,所以物體位于O點時,系統(tǒng)的彈性勢能 EpO=

同理可以求得,物體位于B點時系統(tǒng)的彈性勢能EpB=-

在物體由O點運動到A′點的過程中,由于彈性力做負功,彈性勢能增加,彈性力做功WOA′=-。故有 EpO-EpA′=-,所以物體位于A′點時系統(tǒng)的彈性勢能 EpA′=EpO+=0。

同理可以分別計算出物體位于B′點、C點和C′點處時系統(tǒng)的彈性勢能為:EpB=EpB′=-

2.3 結果分析

從以上可以清楚地看出:

1 )若以彈簧自由長度處為彈性勢能零點,則彈性勢能恒為正值。

2 )若彈性勢能零點不選在彈簧自由長度處,則系統(tǒng)在任意狀態(tài)下的彈性勢能不能保證總為正值,在某些狀態(tài)下可能為負值。

3 )以不同點為彈性勢能零點時,同一狀態(tài)的彈性勢能值是不同的。但任意兩確定狀態(tài)的彈性勢能差是不變的。

3 選擇不同彈性勢能零點時小球第一次經過O′點的速率

一個勁度系數(shù)為k的輕彈簧一端固定,另一端懸掛一個質量為m的小球,這時平衡位置在點O′,如圖2所示?，F(xiàn)用手把小球沿豎直方向拉伸Δx并達到B點的位置,靜止釋放后小球向上運動,試求小球第一次經過O′點時的速率。

圖2

3.1 O點為彈性勢能零點

以彈簧自由長度處O點為坐標原點,豎直向下為坐標軸正向建立坐標系。把小球所處的B點位置取為系統(tǒng)的重力勢能零點,而系統(tǒng)的彈性勢能零點取在彈簧未發(fā)生形變時的O點。設受小球重力作用,彈簧伸長了Δx0,而到達了O′點。

O′狀態(tài)時系統(tǒng)的機械能:

B狀態(tài)時系統(tǒng)的機械能:

由O′狀態(tài)和B狀態(tài)的機械能守恒,可得

式中v是小球達O′點時的速率。因小球處于O′點時重力等于彈性力,故有

由式(1)、(2)可求得小球到達O′點時的速率

3.2 O′點為彈性勢能零點

3.2.1 誤區(qū)分析

以彈簧自由長度處的點為坐標原點,豎直向下為坐標軸正向建立坐標系,B點取為系統(tǒng)的重力勢能零點,將彈性勢能的零點選在O′點,得O′狀態(tài)時系統(tǒng)的機械能

B狀態(tài)時系統(tǒng)的機械能

由O′狀態(tài)和B狀態(tài)的機械能守恒,可得

故有

顯然,在同一參考系下討論的速率問題,由于彈性勢能零點選擇不同而得出了不同的結果。當然,式(5)所得結果是錯誤的。這一錯誤結果的出現(xiàn),是什么原因造成的呢?難道說O′點處不能選為彈性勢能零點?顯然,并不是勢能的零點不可以任意選擇。式(5)所應用的彈性勢能的表達式是 Ep,其前提條件是選擇物體處于平衡位置(彈簧未發(fā)生形變)時系統(tǒng)的彈性勢能為零。在應用 Ep時,已經默認選O點為勢能零點,現(xiàn)在又選O′點為勢能零點,無形中選了兩個勢能零點,這也就是導致式(5)錯誤的原因。由以上可知,如將彈性勢能的零點選在O′點,相應小球在B點位置的彈性勢能應有不同的值。

3.2.2 正確解法

下面就以O′點為彈性勢能的零點,B點為系統(tǒng)的重力勢能零點,O′狀態(tài)時系統(tǒng)的機械能:E (O′)=m g(Δx)+m v2;B狀態(tài)時系統(tǒng)的機械能: E(B)=-k(Δx)2+k(Δx+Δx0)2。由O′狀態(tài)和B狀態(tài)機械能守恒有:

由此可得

3.3 B點為彈性勢能零點

下面就以O′點為彈性勢能的零點,B點為系統(tǒng)的重力勢能零點,可得O′狀態(tài)時系統(tǒng)的機械能:;B狀態(tài)時系統(tǒng)的機械能:E(B)=0。由O′狀態(tài)和B狀態(tài)機械能守恒有:k(Δx0)2-k(Δx+Δx0)2+m g(Δx)+=0。由此可得

需要特別注意的是,公式 Ep=是在選擇了彈簧無形變狀態(tài)為勢能零點得到的,Ep=m g h也是選定了勢能零點在h=0處。那么,h=0在什么地方呢?顯然,物體在B點位置取為系統(tǒng)的重力勢能零點,這時O′的高度是h=Δx(在上面的求解過程中正是這樣選擇的),也可以把O′點位置取為系統(tǒng)的重力勢能零點,這時B點的高度是h=-Δx。這兩種選擇都滿足h=0,Ep=0。

由上面分析可知,公式 Ep=和 Ep= m g h中的x和h具有不同的含義。h是物體所處的高度,只有相對意義,而 x代表彈簧的形變,具有絕對意義。

以上所討論的問題只涉及在相同參考系下同一坐標原點(彈簧自由長度處)的情況,實際上如果在同一參考系下選擇不同的坐標原點,彈性勢能的表示式也不同。限于篇幅此問題以后再做討論。

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