摘要：結(jié)合肇慶科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院“高等數(shù)學(xué)”分層教學(xué)實(shí)踐，按模塊給出一套難易適中的分層考試試題，依此試題統(tǒng)計(jì)出考生的各模塊得分情況，再使用聚類分析方法中的K-均值聚類法對(duì)記錄進(jìn)行分類，根據(jù)分類結(jié)果從而制定相應(yīng)的授課計(jì)劃。結(jié)果對(duì)比顯示，此分類法較按成績(jī)排名分類更具科學(xué)性、合理性，為高職高等數(shù)學(xué)分層教學(xué)的推廣提供了一種新思路。
　　關(guān)鍵詞：高職教學(xué)；分層教學(xué)；聚類分析；K-均值聚類法；SPSS軟件
　　
　　高職高等數(shù)學(xué)分層教學(xué)已得到普遍實(shí)施，目前，對(duì)學(xué)生進(jìn)行分層時(shí)通常采取的措施是根據(jù)專業(yè)或者分層考試成績(jī)來分［1-3］。然而，如何較好地利用考試成績(jī)來科學(xué)合理地分層，這仍然是亟待完善解決的問題。本文根據(jù)聚類分析的基本原理和方法，借助SPSS軟件實(shí)現(xiàn)了對(duì)分層考試有關(guān)數(shù)據(jù)的計(jì)算，得出了一套科學(xué)合理的分層方案，為高職高等數(shù)學(xué)分層教學(xué)的推廣提供了新思路。
　　一、高職高等數(shù)學(xué)分層教學(xué)的思路
　　由于我院為民辦高職院校，入校學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)參差不齊，若采取統(tǒng)一授課方式，易造成“基礎(chǔ)好學(xué)生吃不飽，基礎(chǔ)差學(xué)生跟不上”的局面，故有必要在新生入校后進(jìn)行高等數(shù)學(xué)分層考試，按層次分班并有針對(duì)性地進(jìn)行授課。以往的分層方式是直接按考試成績(jī)從高到低分段分層，筆者認(rèn)為這種方式存在一定的弊端，比如甲和乙為兩個(gè)考試成績(jī)一樣的學(xué)生，被分入同一層次，接受同樣的授課方式貌似很合理，其實(shí)不然，極有可能這兩位學(xué)生在各個(gè)知識(shí)模塊上所掌握的程度不同，極端情況是截然相反。比如甲學(xué)生導(dǎo)數(shù)知識(shí)模塊比較好，但在空間解析幾何模塊方面較差，而乙學(xué)生的情況恰好與甲學(xué)生相反。因此，為了較好地避免此類問題的發(fā)生，這需要在試卷命題和如何分層上得到解決。
　　我院學(xué)生中95%以上為廣東地區(qū)學(xué)生，且各個(gè)專業(yè)文理科生并存。依照《2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理科）考試大綱的說明（廣東卷）》，并結(jié)合《高等數(shù)學(xué)》課程授課內(nèi)容，為更好地體現(xiàn)學(xué)生的真實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，將入學(xué)分層考試試題安排50小題，百分制，分為8個(gè)模塊，各模塊及其分值分別為：
　?。?）函數(shù)概念及基本初等函數(shù)Ⅰ（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)），20分?？疾榉秶鸀楹瘮?shù)定義域，函數(shù)圖象理解，函數(shù)單調(diào)性，指數(shù)、對(duì)數(shù)計(jì)算等。
　　（2）空間解析幾何與空間向量，10分。考查范圍為空間直角坐標(biāo)系表示點(diǎn)的位置，空間兩點(diǎn)間距離，平面、球體方程表示，空間向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積和有關(guān)應(yīng)用等。
　?。?）三角函數(shù)，12分?？疾榉秶鸀檎摇⒂嘞?、正切間的相互轉(zhuǎn)換以及有關(guān)它們的圖像、周期、單調(diào)性、最值，二倍角公式，和與差的三角函數(shù)公式等。
　?。?）數(shù)列，8分?？疾榉秶鸀閿?shù)列通項(xiàng)表示方法，等差等比前項(xiàng)和等。
　?。?）導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，20分。考查范圍為導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，導(dǎo)數(shù)幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性和求極值、最值等。
　?。?）定積分，6分?？疾榉秶鸀槎ǚe分的相關(guān)概念，幾何意義和簡(jiǎn)單定積分的計(jì)算等。
　?。?）圓錐曲線與方程，8分?？疾榉秶鸀閳A、橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖像及簡(jiǎn)單性質(zhì)等。
　　（8）極限，16分。考查范圍為極限概念，不同類型的簡(jiǎn)單極限求解等。
　　二、聚類分析的基本原理與方法
　　所謂聚類分析［4］，就是將研究對(duì)象（若干個(gè)個(gè)體的集合）按照某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分成若干類。聚類方法經(jīng)過多年的發(fā)展，已經(jīng)逐漸形成了自身的方法體系。進(jìn)行聚類時(shí)，可以是按照變量對(duì)觀察值進(jìn)行聚類，這稱為Q型聚類；也可以是按照觀測(cè)值對(duì)變量進(jìn)行聚類，稱之為R型聚類。如果按照方法原理來區(qū)分，經(jīng)典的聚類方法大致分為三類［5］：層次聚類法、非層次聚類法（以K-均值聚類法最為常用）和智能聚類方法（較常見的是兩步聚類法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的自組織圖技術(shù)）。
　　由于文中需要聚類的數(shù)據(jù)量較大，而且是對(duì)記錄進(jìn)行聚類，故選擇K-均值聚類法實(shí)現(xiàn)。K-均值聚類法又叫快速聚類法，這種聚類方法的思想是把每個(gè)樣品聚集到其最近形心（均值）類中去。它在SPSS軟件中是按照如下步驟來進(jìn)行的：
　?。?）首先確定需要聚類的類別數(shù)量，這個(gè)是由分析者自己指定。
　　（2）根據(jù)分析者自己指定的聚類中心，或者由數(shù)據(jù)本身結(jié)構(gòu)的中心初步確定每個(gè)類別的原始中心點(diǎn)。
　?。?）逐一計(jì)算每一個(gè)記錄到各個(gè)類別中心點(diǎn)的距離（默認(rèn)為歐式距離平方來度量），把各個(gè)記錄按照距離最近的原則歸入各個(gè)類別，并計(jì)算新形成類別的中心點(diǎn)。
　　（4）按照新的中心位置，重新計(jì)算每一記錄距離新的類別中心點(diǎn)的距離，并重新進(jìn)行歸類，更新類別中心點(diǎn)。
　?。?）重復(fù)步驟4，直到達(dá)到一定的收斂標(biāo)準(zhǔn)，或者達(dá)到分析者事先指定的迭代次數(shù)為止。
　　三、聚類分析應(yīng)用于分層教學(xué)的過程及SPSS軟件的實(shí)現(xiàn)
　　分層考試試題中八個(gè)模塊依次用變量X1-X8表示，對(duì)應(yīng)情況如下：
　　X1：函數(shù)概念及基本初等函數(shù)Ⅰ（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)）模塊；X2：空間解析幾何與空間向量模塊；X3：三角函數(shù)模塊；X4：數(shù)列模塊；X5：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用模塊；X6：定積分模塊；X7：圓錐曲線與方程模塊；X8：極限模塊。
　　限于篇幅，現(xiàn)只抽取2009-2010學(xué)年度機(jī)電系部分學(xué)生（共20人）入學(xué)分層考試成績(jī)來做分析。各模塊得分情況如下表1：
　　由于各變量為連續(xù)性的，同量綱，且數(shù)量級(jí)相差不大，故在聚類分析前不需將數(shù)據(jù)作標(biāo)準(zhǔn)化處理。通過SPSS軟件實(shí)現(xiàn)快速聚類法［6］，將分類數(shù)定為3，可以得到表2-表5重要表：
　　輸出結(jié)果中，表2是樣本的分類情況。從表中可以看出，根據(jù)考試成績(jī)將20名學(xué)生分為這樣三類：｛1：4、7、9、11、12、13、15、18、19｝；｛2：1、2、8、16、17｝；｛3：3、5、6、10、14、20｝。從表3和表5中可以看出，第一類為大部分模塊表現(xiàn)較好，個(gè)別模塊表現(xiàn)一般的學(xué)生。此類學(xué)生數(shù)量為9人。該類學(xué)生在第二模塊（空間解析幾何與空間向量模塊）、第三模塊（三角函數(shù)模塊）和第五模塊（導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用模塊）都表現(xiàn)比較突出，相對(duì)薄弱模塊為第七模塊（圓錐曲線與方程模塊）和第八模塊（極限模塊）。第二類為總體表現(xiàn)一般，個(gè)別模塊表現(xiàn)突出的學(xué)生。此類學(xué)生數(shù)量為5人。該類學(xué)生在第七模塊和第八模塊表現(xiàn)比較優(yōu)秀。第三類為總體表現(xiàn)較差的學(xué)生。此類學(xué)生數(shù)量為6人。該類學(xué)生在第一模塊（函數(shù)概念及基本初等函數(shù)Ⅰ模塊）和第六模塊（定積分模塊）極其薄弱，第六模塊得分情況實(shí)際上和文理科有一定的關(guān)系。有了這些信息，那么在對(duì)各類學(xué)生進(jìn)行授課時(shí)則可以比較有針對(duì)性，對(duì)表現(xiàn)好的模塊部分少講或者往更高難度講，對(duì)薄弱環(huán)節(jié)則重點(diǎn)詳細(xì)講解，使其掌握這些必備的基礎(chǔ)知識(shí)。比如，在對(duì)第三類學(xué)生授課時(shí)，應(yīng)首先詳細(xì)講解函數(shù)概念和指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容。表4為方差分析表，根據(jù)F值的大小可近似得到各個(gè)變量對(duì)聚類結(jié)果的重要程度（由重向輕）依次為：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用模塊、函數(shù)概念及基本初等函數(shù)Ⅰ（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)）模塊、空間解析幾何與空間向量模塊、極限模塊、圓錐曲線與方程模塊、定積分模塊、三角函數(shù)模塊、數(shù)列模塊。
　　將此分類結(jié)果與按成績(jī)排名情況相對(duì)比，可得到表6：
　　從表6可以看出，按聚類分析方法分類與直接按成績(jī)排名分類有所不同。例如序號(hào)為17的學(xué)生雖然排名靠前，但將其列入第二類，從表1的實(shí)際成績(jī)來看，該學(xué)生極限模塊掌握的很好，而導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用模塊欠佳，與第一類學(xué)生相比有差距，而與第二類學(xué)生相比恰為極限模塊都掌握很好的一類，因此，將其劃入第二類較為合適。由此看來，用聚類分析進(jìn)行分類比直接按成績(jī)排名分類更科學(xué)、更合理。
　　四、該方法的改進(jìn)及推廣
　　以上在用K-均值聚類法進(jìn)行分類時(shí)，將初始分類數(shù)定為3，此分類數(shù)可根據(jù)本校的具體實(shí)際情況來確定。分類越多，層次就越分明，授課就更有針對(duì)性，但與此同時(shí)，帶來教學(xué)管理上的不便。同時(shí)，變量的選取也具靈活性，而值得注意的是，在進(jìn)行聚類時(shí)，應(yīng)該盡可能考慮變量之間的相關(guān)性，否則容易造成聚類結(jié)果的區(qū)分度不強(qiáng)或者意義不大。如果存在共線性問題，最好先對(duì)變量進(jìn)行預(yù)處理（剔除，或者提取主成分）再進(jìn)行聚類分析。由于K-均值聚類法適用于大數(shù)據(jù)量的分類同時(shí)不占太多的內(nèi)存空間和計(jì)算時(shí)間，所以可進(jìn)行大范圍推廣。
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