摘要：在數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下，從旋轉(zhuǎn)對稱與數(shù)形結(jié)合的角度，以單位圓內(nèi)三角函數(shù)的定義為切入點(diǎn)，通過探究與發(fā)現(xiàn)實現(xiàn)引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式，將代數(shù)的公式置于幾何的圖形中理解的教學(xué)目標(biāo)。
　　關(guān)鍵詞：對稱思想；課堂教學(xué)；探究與發(fā)現(xiàn)
　　
　　以新課程為核心的教育改革，全面更新了基礎(chǔ)教育的理念，以接受與探究相融合，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性為主要思想的課堂改革，改變了原有的教學(xué)模式。弗萊登塔爾認(rèn)為：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的惟一正確的方法是實行“再創(chuàng)造”，也就是由學(xué)生本人將所要學(xué)的東西自己發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來；教師的任務(wù)就是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去進(jìn)行這種再創(chuàng)造的工作，而不是把現(xiàn)成的知識灌輸給學(xué)生。深入理解課程標(biāo)準(zhǔn)，了解數(shù)學(xué)知識的背景，準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，區(qū)分核心與非核心知識，將數(shù)學(xué)教學(xué)置于數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下，從根本上提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這是新課程對數(shù)學(xué)教師提出的要求。
　　通過多年的教學(xué)積累，深入學(xué)習(xí)課標(biāo)對這一內(nèi)容的處理方式，從系統(tǒng)的高度重新審視這一內(nèi)容，筆者認(rèn)為“對稱”才是這一部分內(nèi)容所揭示的核心思想。在此觀點(diǎn)下，教材對這一章內(nèi)容的調(diào)整，以下幾點(diǎn)值得教師深入體會：
　　一、揭示核心思想：對稱
　　1.加入了三角函數(shù)在單位圓內(nèi)的定義。從幾何的角度理解和認(rèn)識三角函數(shù)的定義——x=cosα，y=sinα就是對圓的動態(tài)解析，這與解析幾何中圓的參數(shù)方程，向量與復(fù)數(shù)的三解形式取得了一致，讓這一知識體系統(tǒng)一在數(shù)學(xué)的大系統(tǒng)之中。
　　2.移開和差倍公式的設(shè)置，弱化數(shù)學(xué)技巧的同時，強(qiáng)化了數(shù)學(xué)思想，讓三角函數(shù)的概念之間的關(guān)系更緊密。將單位圓引出的三角函數(shù)從圓內(nèi)的旋轉(zhuǎn)與對稱，上升為函數(shù)的周期性變化規(guī)律。而實現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是誘導(dǎo)公式，大坐標(biāo)系這天研究工具下，從坐標(biāo)系內(nèi)的角的終邊對稱這一幾何特征，轉(zhuǎn)化為角和、差的關(guān)系：α±β=2kπ；α±β=2kπ+π，進(jìn)一步通過定義上升為三角函數(shù)值的符號變化：sin（π±α）=±sinα；cos（π±α）=cosα，最后升華到坐標(biāo)系內(nèi)的三角函數(shù)圖像的周期性特征。
　　3.在單位圓內(nèi)定義三角函數(shù)，使學(xué)生理解三角函數(shù)線的難度降低。由數(shù)量表示的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化到幾何特征的三角函數(shù)線，實現(xiàn)了代數(shù)到幾何的轉(zhuǎn)化，這使得從單位圓內(nèi)平移三角函數(shù)線作圖的方法順理成章，而不顯得突然。通過幾何與代數(shù)的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了三角兼有幾何和代數(shù)的特征，是數(shù)與形的統(tǒng)一。
　　4.凝結(jié)著數(shù)學(xué)思想的概念成為聯(lián)系全章知識的關(guān)鍵。終邊相同角體現(xiàn)著角的分類標(biāo)準(zhǔn)從大小分類到終邊位置分類的轉(zhuǎn)變。而實現(xiàn)這一轉(zhuǎn)變的關(guān)鍵是在坐標(biāo)系的研究環(huán)境下，角的決定因素從三個（始邊、頂點(diǎn)、終邊）退化為一個終邊；終邊相同角又是三角函數(shù)定義的基礎(chǔ)：定義中只關(guān)心角的終邊位置，并沒有提到角的大小。因而終邊相同角才是核心概念，它所體現(xiàn)的位置分類的原則是達(dá)到全章和諧統(tǒng)一的關(guān)鍵，因而教學(xué)的重點(diǎn)是通過對概念的教學(xué)，讓學(xué)生體會概念所傳達(dá)的數(shù)學(xué)思想。
　　基于上述認(rèn)識，筆者認(rèn)為誘導(dǎo)公式的教學(xué)應(yīng)該更多的是體現(xiàn)三角函數(shù)的對稱性，避免在低層次的運(yùn)算技巧上的重復(fù)。誘導(dǎo)公式所體現(xiàn)的是圓的中心對稱性和坐標(biāo)軸對稱性，結(jié)合三角函數(shù)的定義實現(xiàn)從幾何到代數(shù)轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵。通過分析新課標(biāo)對這一部分內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，結(jié)合自己的理解和對課本內(nèi)容的挖掘，利用數(shù)形結(jié)合的方法，將公式的推導(dǎo)過程與三角函數(shù)的定義與直角坐標(biāo)系內(nèi)的單位圓相結(jié)合，利用對稱和圖形的特點(diǎn)來講解三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式，收到了較好的教學(xué)效果。
　　二、尋求教學(xué)起點(diǎn)：提出構(gòu)想
　　首先是讓角在直角坐標(biāo)系內(nèi)旋轉(zhuǎn)的構(gòu)想。循著這一構(gòu)想讓角在直角坐標(biāo)系內(nèi)無法體現(xiàn)出大小的區(qū)分，因而終邊相同角的位置分類順理成章地登上了舞臺；這時的角在直角坐標(biāo)系內(nèi)成為一條射線，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生分析出在直角坐標(biāo)系內(nèi)終邊決定角這一根本的思想。在這一思想的指導(dǎo)下，從幾何的角度出發(fā)探究出了角的終邊對稱。在坐標(biāo)系內(nèi)這五個角對應(yīng)著四個特征方向，我將其稱為定位角。類比生活中的東南西北的定位方式，讓學(xué)生體會東方是太陽升起的地方，也是一天開始的時候。這就是一個角的始邊所處的位置，所有的角都是從這一個位置開始的，并且周而復(fù)始，從來沒有停止。讓學(xué)生通過旋轉(zhuǎn)來區(qū)分這四組角是關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的角，每一個角對應(yīng)著一個象限，即當(dāng)我們認(rèn)為α為一個銳角的時候，π-α；π+α；2π-α（-α）分別對應(yīng)于角α在第二、三、四象限內(nèi)的對稱角，并且隨著角α的旋轉(zhuǎn)，依次跑遍整個坐標(biāo)平面。
　　其次是設(shè)計三角函數(shù)的定義的構(gòu)想。π，這五個角的正弦值與余弦值分別對應(yīng)于單位圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，找出其中關(guān)鍵的值0和1，并依此推導(dǎo)出三角函數(shù)值的符號的變化規(guī)律——正弦值的符號與y軸的符號變化一致，將其歸納為上下方向：余弦值的符號與x軸的符號變化一致，歸納為左右方向。進(jìn)一步探究角的終邊在關(guān)于x軸對稱時，正弦值的符號相反，角的終邊關(guān)于y軸對稱時正弦符號相同；角的終邊關(guān)于x軸對稱時，余弦值符號相同，角的終邊關(guān)于y軸對稱時，余弦值符號相反。通過幾何畫板分析演示與分析四組結(jié)構(gòu)角的終邊位置的對稱特征，以及這一特征所揭示的同名三角函數(shù)值之間的關(guān)系，近而總結(jié)出結(jié)論：這些角的同名三角函數(shù)值的絕對值相等。在得出結(jié)論后，我要求學(xué)生寫出角度為30°、45°與60°的其他對稱的角（為了讓學(xué)生能夠快速投入到思考中，我選用了學(xué)生比較熟悉的角度制），學(xué)生分組討論。學(xué)生完成后，提出一個問題，讓學(xué)生用一個比較簡單的方式來求出30°、150°、210°、330°和-30°的三角函數(shù)值。
　　待學(xué)生完成后，讓學(xué)生分析產(chǎn)生一現(xiàn)象的原因，并結(jié)合三角函數(shù)的定義試著說明這一現(xiàn)象，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這一現(xiàn)象出現(xiàn)的原因是這些角的終邊對稱。也正是由于對稱，而使各三角函數(shù)的同名三角函數(shù)的值只相差一個符號；深化引導(dǎo)學(xué)生分析是什么導(dǎo)致了符號的變化，經(jīng)過同學(xué)們的分析和爭論與教師的適當(dāng)引導(dǎo)，導(dǎo)致符號發(fā)生變化的原因是由于三角函數(shù)的定義中用的是角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)的符號不同，從而得出是角的終邊決定了三角函數(shù)的符號。
　　在推導(dǎo)過程中，學(xué)生推廣這一結(jié)論到α角時，有不少學(xué)生都能夠?qū)⒏鲗ΨQ角用π-α、π+α、2π-α、-α這些結(jié)構(gòu)角來表示，并由此推導(dǎo)出了誘導(dǎo)公式，并歸納出解題三步曲：
　?。?）一拆角成結(jié)構(gòu)對稱角（學(xué)生的總結(jié)），判斷結(jié)構(gòu)角的位置；（2）二看函數(shù)名稱定符號；（3）三定名稱變與不變。
　　按照這三個步驟，學(xué)生能夠很快地運(yùn)用誘導(dǎo)公式解決問題，避免死記公式而帶來的運(yùn)用不靈活的問題。
　　從理念的更新到課堂教學(xué)的具體實現(xiàn)，這中間還有很大的空間。而這一空間要求我們教師來填補(bǔ)，深入學(xué)習(xí)課程標(biāo)準(zhǔn)，研究挖掘教材所展示的數(shù)學(xué)思想，將課堂教學(xué)立意提高數(shù)學(xué)思想和系統(tǒng)的高度；結(jié)合學(xué)生的實際，選擇好一個合適的切入點(diǎn)，讓學(xué)生的體會真正的學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，從而達(dá)到提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的目標(biāo)。
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