吳小峰，孫啟國，狄杰建，周迎春

（北方工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，北京 100141）

0 前言

目前地震反應(yīng)分析方法主要分為靜力法、反應(yīng)譜法和時(shí)程分析法［1］。靜力法實(shí)質(zhì)上不考慮結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特征，現(xiàn)在在工程抗震分析上應(yīng)用較少；反應(yīng)譜法操作相對(duì)較為簡(jiǎn)單，現(xiàn)被多國抗震規(guī)范推薦使用；時(shí)程分析法動(dòng)態(tài)模擬較為準(zhǔn)確，但其計(jì)算量大，通常應(yīng)用于特別重要結(jié)構(gòu)或不規(guī)則結(jié)構(gòu)或其他特殊情況。反應(yīng)譜法理論上只適用于彈性結(jié)構(gòu)的抗震分析，用于非彈性情況必須進(jìn)行修正，而時(shí)程分析法可直接應(yīng)用于彈塑性結(jié)構(gòu)的抗震分析計(jì)算。我國抗震規(guī)范推薦采用反應(yīng)譜法和時(shí)程分析法［2］。本為通過分析反應(yīng)譜法和時(shí)程分析法的計(jì)算原理，運(yùn)用ANSYS有限元軟件，以一工程實(shí)例的抗震反應(yīng)計(jì)算結(jié)果為基礎(chǔ)，討論反應(yīng)譜法和時(shí)程分析法數(shù)值仿真上的共同性和計(jì)算結(jié)果的一致性。

1 算法原理

1.1 反應(yīng)譜法

反應(yīng)譜法是將動(dòng)力問題轉(zhuǎn)化為靜力問題來計(jì)算，應(yīng)用結(jié)構(gòu)總響應(yīng)是各振型響應(yīng)疊加的原理。反應(yīng)譜法首先根據(jù)地震波時(shí)程記錄構(gòu)造反應(yīng)譜，再依據(jù)反應(yīng)譜計(jì)算結(jié)構(gòu)各階振型的最大響應(yīng)，然后通過一定的模態(tài)合并算法計(jì)算總的最大響應(yīng)［1，3］?？蓱?yīng)用ANSYS譜分析中的單點(diǎn)響應(yīng)譜分析法輔助計(jì)算，它是反應(yīng)譜理論的工程應(yīng)用。在模態(tài)合并算法上依據(jù)我國抗震規(guī)范推薦用的算法平方和開方的組合算法。

第i階模態(tài)上的最大響應(yīng)

其中：Ri為第i階模態(tài)上的最大響應(yīng)；ψi為第i階模態(tài)的振型向量；Ai為第i階模態(tài)的模態(tài)系數(shù)。Ai的大小取決于第i階模態(tài)的反應(yīng)譜值和第i階模態(tài)的參與系數(shù)。參與系數(shù)是每階模態(tài)在特定方向上對(duì)變形貢獻(xiàn)大小的度量。

平方和開方的組合算法的一般形式

其中：Ra為合并后的模態(tài)總體響應(yīng)；N為參加合并的模態(tài)數(shù)目。

地震反應(yīng)譜曲線具體反映了地震動(dòng)特性，模態(tài)振型反映了結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性，可見反應(yīng)譜法體現(xiàn)了地震動(dòng)特性和結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性對(duì)結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的影響。

1.2 時(shí)程分析法

時(shí)程分析法，也稱直接動(dòng)力法，它是根據(jù)動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程，將地震波時(shí)程記錄作為激勵(lì)，直接積分求解結(jié)構(gòu)在各個(gè)時(shí)刻的動(dòng)態(tài)響應(yīng)?？蓱?yīng)用ANSYS瞬態(tài)分析中的完全法輔助計(jì)算，它依據(jù)直接動(dòng)力分析理論，積分算法采用Newmark時(shí)間積分法。

動(dòng)力學(xué)基本運(yùn)動(dòng)方程

其中：［M］為質(zhì)量矩陣；［C］為阻尼矩陣；［K］為剛度矩陣為節(jié)點(diǎn)加速度向量；為節(jié)點(diǎn)速度向量；｛u｝為節(jié)點(diǎn)位移向量為載荷向量。

地震波時(shí)程記錄全面的反映了地震動(dòng)特性，以此作為激勵(lì)積分計(jì)算結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，可見時(shí)程分析法全面體現(xiàn)了地震動(dòng)特性和結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性對(duì)結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的影響。

1.3 算法比較

反應(yīng)譜法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算方便，計(jì)算量小，可有效的計(jì)算結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的最大值。但反應(yīng)譜法原則上只適用于線性結(jié)構(gòu)，地震反應(yīng)譜不包含相位的信息，計(jì)算精度取決于參與合并振型的數(shù)目。時(shí)程分析法可模擬結(jié)構(gòu)在整個(gè)地震持續(xù)時(shí)間內(nèi)各時(shí)刻的地震響應(yīng)，可成功的處理各種非線性問題，但其計(jì)算量大，地震響應(yīng)計(jì)算值較大依賴于地震波時(shí)程曲線的選?。?］。

反應(yīng)譜法實(shí)質(zhì)是振型分解的算法，時(shí)程分析法是積分算法，但反應(yīng)譜法和時(shí)程分析法均體現(xiàn)地震動(dòng)特性和結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性對(duì)結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的影響。假設(shè)結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)是線性問題，采用同一地震波，即地震波時(shí)程曲線和反應(yīng)譜曲線相對(duì)應(yīng)，則反應(yīng)譜法和時(shí)程分析法計(jì)算的結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)具有一定程度的可比較性。

2 工程實(shí)例

2.1 建模

對(duì)某高壓直流輸電換流閥塔建立簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)模型。塔為四層懸吊式，頂端由U型螺栓固定，各層間由吊桿連接，上端由U型螺栓連接，下端由鉸鏈連接，各層承重50kg。吊桿長3.215m，直徑0.03 m；縱梁長4.85m；橫梁長1.85m；框梁截面0.065 m×0.12m，承重梁截面0.04m×0.085m；吊桿和承重梁彈性模量8×109Pa，泊松比0.25，密度2100 kg／m3；框梁彈性模量2.1×1011Pa，泊松比0.3，密度7800kg／m3。在抗震分析中，結(jié)構(gòu)材料視為理想的線彈性材料，阻尼比假定0.05。輸入天然的El Centro地震波，只考慮水平地震激勵(lì)。El Centro地震波加速度記錄和加速度反應(yīng)譜見圖1。

圖1 El Centro地震波Fig.1 El Centro wave.

在ANSYS中建立有限元模型，見圖2。框梁和吊桿選用BEAM188單元；U型螺栓和鉸鏈選用MPC184中的GENERAL JOINT單元；選用MASS21單元等效承重。BEAM188單元默認(rèn)是三維線性梁?jiǎn)卧赥imoshenko理論并考慮了剪切變形的影響，2個(gè)節(jié)點(diǎn)各有6個(gè)自由度，即X、Y、Z方向的平動(dòng)和繞X、Y、Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)；MPC184單元是一類多點(diǎn)約束單元，其中GENERAL JOINT是2個(gè)節(jié)點(diǎn)的連接單元，默認(rèn)6個(gè)自由度，可指定約束的自由度以實(shí)現(xiàn)不同連接方式的模擬；MASS21單元是點(diǎn)單元，6個(gè)自由度，每個(gè)方向可以指定不同的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。建立幾何模型，并劃分網(wǎng)格，指定整體單元尺寸大小0.300m。共計(jì)劃分單元714個(gè)，660個(gè)節(jié)點(diǎn)。

2.2 計(jì)算流程

在有一定承重的柔性懸掛結(jié)構(gòu)中重力因素影響顯著，故考慮重力作用下的預(yù)應(yīng)力影響。由于在模型中應(yīng)用了MPC184單元，所以考慮大變形效果的作用。在ANSYS中反應(yīng)譜法和時(shí)程分析法的計(jì)算流程如下：

反應(yīng)譜法計(jì)算流程：（1）靜力分析，計(jì)算重力作用下的預(yù)應(yīng)力；（2）模態(tài)分析，并考慮預(yù)應(yīng)力；（3）單點(diǎn)響應(yīng)譜分析；（4）模態(tài)擴(kuò)展；（5）合并模態(tài)；（6）結(jié)果后處理。在模態(tài)分析中提取前30階模態(tài)，模態(tài)擴(kuò)展20階模態(tài)。在單點(diǎn)響應(yīng)譜分析中，譜類型選擇加速度反應(yīng)譜，激勵(lì)方向?yàn)閄向，設(shè)置阻尼比為0.05。

時(shí)程分析法計(jì)算流程：（1）靜載荷步分析，考慮重力產(chǎn)生的預(yù)應(yīng)力；（2）施加地震載荷求解；（3）后處理分析。在靜載荷步分析中，施加重力加速度，關(guān)閉時(shí)間積分效果，打開應(yīng)力鋼化效果，并設(shè)置極小的時(shí)間值；在后面的地震荷載求解分析中應(yīng)用矩陣參數(shù)法實(shí)現(xiàn)多步載荷的求解，不刪除重力加速度，打開時(shí)間積分效果，設(shè)定瑞利阻尼，指定載荷為遞增載荷，激勵(lì)方向?yàn)閄向。通過文獻(xiàn)［5］計(jì)算阻尼的方法，求得瑞利阻尼系數(shù)α＝0.0694，β＝0.0303。

2.3 計(jì)算仿真比較

在換流閥頂端由U型螺栓固定連接，故在頂端節(jié)點(diǎn)上約束3個(gè)平動(dòng)的自由度，施加地震載荷并分別進(jìn)行反應(yīng)譜法和時(shí)程分析法的抗震分析計(jì)算，在計(jì)算結(jié)果中提取結(jié)構(gòu)頂層和底層角點(diǎn)處（圖2中①、②點(diǎn)）的地震響應(yīng)值，只取激勵(lì)方向上的響應(yīng)位移值。

圖2 有限元模型Fig.2 Finite element model.

2.3.1 響應(yīng)位移比較

在反應(yīng)譜法計(jì)算的結(jié)果中提取選擇角點(diǎn)的總響應(yīng)位移值，得①號(hào)角點(diǎn)總響應(yīng)位移值0.1055m，②號(hào)角點(diǎn)總響應(yīng)位移值0.4039m；在時(shí)程分析法計(jì)算的結(jié)果中提取選擇角點(diǎn)的各時(shí)刻的響應(yīng)位移值，繪制響應(yīng)位移曲線，得響應(yīng)位移峰值，見圖3和表1。相對(duì)誤差值是反應(yīng)譜法和時(shí)程歷程法計(jì)算的響應(yīng)最值的偏差除以反應(yīng)譜法計(jì)算的總響應(yīng)值的商。

表1 響應(yīng)位移值比較

可見，反應(yīng)譜法計(jì)算的總響應(yīng)位移值與時(shí)程分析法計(jì)算的響應(yīng)位移峰值在數(shù)值上很接近，相對(duì)誤差很小，二者仿真結(jié)果具有一致性。反應(yīng)譜法和時(shí)程分析法計(jì)算的地震響應(yīng)實(shí)質(zhì)上都是在地震波載荷下結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，它們?cè)陧憫?yīng)值的影響因素上都同樣考慮了結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性和地震動(dòng)特性，故此它們?cè)谟?jì)算的響應(yīng)最值上相一致。二者計(jì)算產(chǎn)生誤差的原因主要是輸入激勵(lì)存在的不確定性［6］和計(jì)算過程產(chǎn)生的誤差。

2.3.2 響應(yīng)頻率比較

根據(jù)振型疊加原理，結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)總響應(yīng)是結(jié)構(gòu)各階振型響應(yīng)的疊加，并且引起結(jié)構(gòu)共振的振型貢獻(xiàn)最大。在反應(yīng)譜法計(jì)算結(jié)果中提取各階振型的模態(tài)系數(shù)和振型矢量，計(jì)算各階振型的響應(yīng)值，并根據(jù)計(jì)算響應(yīng)值的大小確定結(jié)構(gòu)共振的主要響應(yīng)頻率，各階振型的響應(yīng)值是模態(tài)系數(shù)與振型矢量的乘積。在時(shí)程分析法計(jì)算的結(jié)果中，對(duì)提取的時(shí)域響應(yīng)曲線作傅氏變換，繪制結(jié)構(gòu)響應(yīng)的頻譜特征曲線，并以此確定結(jié)構(gòu)共振的主要響應(yīng)頻率。本文對(duì)前兩個(gè)主要響應(yīng)頻率進(jìn)行了對(duì)比，見圖4和表2。

圖3 時(shí)程分析法的響應(yīng)位移曲線Fig.3 Response displacement curves of the time history analysis.

圖4 兩種方法的主要響應(yīng)頻率對(duì)比Fig.4 Comparison of response frequencies between the two metods.

表2 主要響應(yīng)頻率比較

可見，反應(yīng)譜法和時(shí)程分析法中確定的結(jié)構(gòu)主要響應(yīng)頻率在數(shù)值上相一致。結(jié)構(gòu)共振是由激勵(lì)頻率與結(jié)構(gòu)固有頻率相接近而引起的，反應(yīng)譜法和時(shí)程分析法計(jì)算地震響應(yīng)中均反映了此現(xiàn)象。但是此種數(shù)值上的接近存在局限性，在時(shí)程分析法中共振頻率的識(shí)別與激勵(lì)類型關(guān)系密切，沖擊型的激勵(lì)才比較容易識(shí)別，這也是產(chǎn)生誤差的主要原因。

3 結(jié)論

利用ANSYS有限元分析軟件，進(jìn)行地震仿真計(jì)算比較。結(jié)果表明：

（1）反應(yīng)譜法和時(shí)程分析法在抗震反應(yīng)計(jì)算中均體現(xiàn)了地震動(dòng)特性和結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性對(duì)結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的影響；

（2）在假設(shè)條件下，反應(yīng)譜法和時(shí)程分析法在抗震計(jì)算仿真結(jié)果上具有一致性，包括響應(yīng)最值上的一致性和主要響應(yīng)頻率上的一致性；

（3）反應(yīng)譜法和時(shí)程分析法仿真結(jié)果的一致性具有一定的局限，選用的地震反應(yīng)譜需與選用的地震波曲線相對(duì)應(yīng)，主要響應(yīng)頻率的一致程度依賴于地震波的類型，然而兩者在計(jì)算仿真上的一致性可作為驗(yàn)核抗震分析計(jì)算結(jié)果的一種手段。

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