陳 沛 韓 旭 姜 潮 張 正

湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室,長沙,410082

基于最小二乘映射的多參數(shù)結構問題快速計算方法

陳 沛 韓 旭 姜 潮 張 正

湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室,長沙,410082

針對機械工程中復雜結構多參數(shù)問題,提出一種新的基于最小二乘映射的減基法。該方法通過在參數(shù)域采集樣本點,計算系統(tǒng)在有限個樣本點下的響應以構造減基空間,利用最小二乘映射把原方程向減基空間進行投影得到減縮方程,在減基空間快速求解該減縮系統(tǒng),獲得原問題的減縮解,并把減縮解還原到原空間,得到問題的近似解。當系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時,能通過減縮系統(tǒng)快速得到新參數(shù)下的響應,極大地提高了計算效率。最后將該方法用于賽車車架剛度計算,結果表明方法是有效且可靠的。

減基法;最小二乘映射;多參數(shù)問題;拉丁超立方采樣

0 引言

工程設計和產品開發(fā)越來越注重優(yōu)化設計,如何為眾多的參數(shù)選擇最合適的數(shù)值,這將在很大程度上影響產品的質量、性能及成本。優(yōu)化設計的主要工作是性能的重復分析,每次系統(tǒng)幾何參數(shù)或物理參數(shù)的改變,都需要對結構重新進行計算。對于復雜結構多參數(shù)系統(tǒng)而言,用傳統(tǒng)的計算方法循環(huán)求解不同輸入下的輸出,計算費用非常高,因此,受制于計算成本,很難對結構系統(tǒng)進行自適應設計和優(yōu)化,或對參數(shù)進行穩(wěn)健的估計。目前解決這類問題的一條途徑是對結構進行降階建模和分析,如Guyan降階法[1]、Ritz向量降階法[2]、正常正交分解法[3]等,但這些方法在保持原模型的物理特性和提高效率上仍存在一定的局限性,即使是降階后,求解仍比較耗時。

減基法作為一種新的快速計算方法,在20世紀70年代被提出,其基本思想是,當系統(tǒng)由多個參數(shù)來描述時,這些參數(shù)的不同組合會使系統(tǒng)方程有不同的解,而系統(tǒng)在新參數(shù)下的解可以用事先設計的樣本參數(shù)組所對應解的線性組合來得到。近年來,不少學者對該方法進行了研究,Maday等[4-5]提出了減基法計算的預收斂理論;Rovas[6]把減基法應用于不同種類偏微分方程的求解中;Liu等[7]將減基法擴展到反問題中,并進行了相關研究。國內對該方法的研究很少,劉玉秋等[8]將修正減基法用于船舶設計,雷飛等[9]將減基法用于車身復雜結構大規(guī)模問題的快速分析。

上述文獻中采用的減基法都是先構造減基空間,再通過Galerkin映射把原方程投影到低階方程進行求解。本文在此基礎上提出一種新的減基法:在獲取減基空間后,利用最小二乘映射把系統(tǒng)特征矩陣及載荷向量向減基空間投影得到減縮系統(tǒng),求解減縮系統(tǒng)并將解映射到原空間得到問題的近似解。本文以某賽車車架為例,分別通過計算耗時和誤差對比,驗證了該減基方法的可靠性和有效性。

1 基于最小二乘映射的減基法理論及算法

1.1 基于最小二乘映射減基法理論

對于大型結構靜力學問題,有限元方法通常用偏微分方程弱形式的矩陣表示:

式中,Κ(μ)為剛度矩陣;U(μ)為場變量;F為載荷向量;μ為輸入參數(shù),對于多參數(shù)問題,μ為參數(shù)向量。

通過拉丁超立方采樣,在參數(shù)域 Ω中采樣N個參數(shù)點,得到集合

當采樣方法科學,樣本點數(shù)目選取合理時,所構造的減基空間具有良好的完備性,從而保障了降階投影后原模型的物理特性不發(fā)生改變或缺失。因此,當參數(shù)域發(fā)生變化時,新參數(shù)下的解能用減基空間中基向量的線性組合表示,即

對于靜力學問題,當參數(shù)發(fā)生變化時,結構對應的數(shù)學模型會發(fā)生相應的變化,即剛度矩陣改變。為了避免參數(shù)變化后重新進行前處理以及保證計算的高效性,將系統(tǒng)剛度矩陣顯式分解成與參數(shù)相關的系數(shù)部分和與參數(shù)無關的矩陣部分,將剛度矩陣表示為

式中,σi(μ)為與參數(shù)相關的函數(shù)項;Ki(i=1,2,…,m)為剛度矩陣中的不變項;m為剛度矩陣分離項數(shù)。

當參數(shù)發(fā)生變化時,無需對結構重新進行前處理,只需要對與參數(shù)相關的系數(shù)部分進行修正即可快速得到新的系統(tǒng)矩陣。

式(13)和式(14)中,K i為剛度矩陣中不變項,F為載荷常向量,故A i j、B i的值恒定而不受參數(shù)變化的影響,只需在離線階段計算一次,其結果可以在在線階段反復調用。KN(μ)為減縮系統(tǒng)方程的剛度矩陣,FN為縮減系統(tǒng)方程的力向量。在經過上述最小二乘變換后,原線性系統(tǒng)由n×n階降為了N×N階,從而使問題求解計算量大大縮減。求解式(17)得到減縮系統(tǒng)的響應α(μ),將α(μ)回代式(4)即可得到原系統(tǒng)的近似響應。

1.2 基于最小二乘映射減基法計算流程

根據(jù)減基法計算特點,將計算分為離線計算與在線計算兩部分。

(1)離線階段。①對參數(shù)域進行采樣并求解系統(tǒng)在樣本點的解;②構造減基空間;③分離剛度矩陣,投影與參數(shù)無關的矩陣。

(2)在線階段。①將參數(shù)無關矩陣與設計變量集成,構造新參數(shù)下的減縮系統(tǒng);②求解減縮系統(tǒng);③以減縮解為系數(shù)對解空間基向量進行線性組合,得到新參數(shù)下的近似解。

2 基于最小二乘映射減基法誤差定義

由于減基法是通過求解高維問題降階后的低維系統(tǒng)而快速得到原系統(tǒng)的近似解,所以在進行降階的過程中必然存在數(shù)值誤差。為了驗證減基法的計算精度,在相同參數(shù)下比較有限元法計算結果和減縮計算結果,利用歐幾里德范數(shù)定義相對誤差:

3 賽車車架剛度計算算例

以某大學生方程式賽車的車架剛度計算為例,車架剛度是評價賽車可靠性及安全性的一個重要指標,它直接影響賽車能承受的最大載荷以及沖擊韌性等,而車架材料及幾何尺寸都是影響剛度的重要因素。當進行車架設計時,需要在各參數(shù)范圍內選取多組參數(shù)組合,分別進行計算分析以找出最優(yōu)設計方案?；趥鹘y(tǒng)有限元的計算方法在參數(shù)改變時需要重新進行前處理并集成新的特征矩陣,不僅繁瑣而且耗時,以減基法為基礎的快速算法對處理此類多參數(shù)變化問題非常有優(yōu)勢。

根據(jù)車架各部位承受載荷狀況的不同,該賽車車架的主要受力構件采用直徑為25mm的空心圓鋼管焊接而成,次要受力構件及支撐件采用直徑為20mm的空心圓鋼管焊接而成。取其壁厚作為設計參數(shù),直徑20mm的鋼管壁厚t1變化范圍為1.2～2.8mm,直徑25mm的鋼管壁厚t2變化范圍為1.0～2.5mm。根據(jù)鋼管加工過程包含的雜質元素及熱處理工藝的不同[10],取其彈性模量E變化范圍為192～320GPa,泊松比υ=0.33。計算邊界條件如圖1所示,約束 A點六個由度,B、C、D三點約束三個平動自由度,保留三個轉動自由度,在車架頂部四個對稱位置分別施加垂直向下的集中載荷,通過測量車架變形大小來計算車架剛度。用梁單元將車架離散成409個單元,371個節(jié)點,共2226個自由度。

圖1 賽車車架及剛度計算邊界條件

用拉丁超立方采樣法在參數(shù)域采取10個樣本點,用減基法把原來2226×2226的系數(shù)矩陣縮減為10×10的矩陣,大幅度提高了求解效率。計算過程用Fortran程序實現(xiàn),采用減基法計算,離線計算時間為27.217s,在線計算時間為0.00016s,而用有限元法計算一次的時間為2.018s。當問題規(guī)模不大或計算次數(shù)不多時,減基法并不能充分體現(xiàn)出其優(yōu)勢。隨著計算次數(shù)的增加,減縮系統(tǒng)的計算時間與有限元計算時間的比較見圖2。由圖2知,當計算次數(shù)大于某一臨界值時,減縮計算的時間總是小于有限元計算時間,且隨著計算次數(shù)的增加,減縮計算的優(yōu)勢越明顯。在需要修改參數(shù)進行反復迭代的大規(guī)模計算過程中,采用減縮法能有效提高求解效率。

圖2 減縮計算時間與有限元計算時間對比

為驗證該減縮算法的穩(wěn)定性,在參數(shù)域中隨機選取50組參數(shù)組合:

在10個基下分別計算其響應。選取圖1中E點作為響應觀測點,考慮位移變化較大的y方向和z方向,減縮計算與有限元計算結果相對誤差分別如圖3和圖4所示。由圖3和圖4可知,所有參數(shù)點兩個方向的誤差均小于3.5×10-4,說明該方法對參數(shù)空間具有良好的適應性,同時表明通過拉丁超立方采樣構造的減縮空間能較好地保持原系統(tǒng)的物理特性。

圖3 不同參數(shù)組合下E點y方向誤差

圖4 不同參數(shù)組合下E點z方向誤差

減縮計算誤差與基空間維數(shù)之間的關系如圖5和圖6所示。同樣選取y方向和z方向進行觀測,圖5和圖6表明,最小二乘映射減基法與基于Galerkin映射的傳統(tǒng)減基法相比,兩者的最大減縮誤差具有一致收斂特性,當基空間維數(shù)較低時,最小二乘映射減基法的精度略優(yōu)于基于Galerkin映射的減基法,隨著基空間維數(shù)的增加,兩者的減縮誤差都迅速減小并趨于一個穩(wěn)定值,且之后再增加基向量的個數(shù)不會提高減縮精度。

圖5 y方向最大減基誤差與基空間維數(shù)變化情況

圖6 z方向最大減基誤差與基空間維數(shù)變化情況

4 結論

本文提出了一種基于最小二乘映射的減基法。該方法通過樣本點求解構造減基空間,并將系統(tǒng)特征矩陣及載荷向量向減基空間進行最小二乘映射,從而將求解大規(guī)模線性方程組變?yōu)榻庑⌒途€性方程組,與常規(guī)計算方法相比,節(jié)省了求解資源,有效地提高了計算效率,同時具有良好的計算精度。賽車車架的算例表明該方法是有效且可靠的。此外,該方法對大型復雜結構的反復迭代計算優(yōu)勢明顯,故可應用到工程優(yōu)化設計和反問題求解領域。

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Efficient Method for Computation of Multi-parameterized Problem Based on Least Square Mapping

Chen Pei Han Xu Jiang Chao Zhang Zheng
State Key Laboratory of A dvanced Design and Manufacturing for Vehicle Body,H unan University,Changsha,410082

A new reduced-basis method based on the least square m apping was suggested to improve the efficiency of solving comp lex and multi-parameterized problems in mechanical engineering.In thismethod,sam pling pointsw ere obtained from the parameter domain,and a reduced-basis space w as constructed by com puting responses of the problem at these points.Then the least square mapping was emp loyed to conduct projection from original space onto the reduced-basis space.A reduced system was obtained and can be solved efficiently.By p ro jecting the reduced so lution back into the original space,an app roximate solution of the original system was obtained efficiently and accurately.Even w ith new variables,the solution can be obtained fastly by solving the reduced system.The numericalexamp le demonstrates that thism ethod is of validity and reliability.

reduced-basis method;least square mapping;m ulti-parameterized problem;Latin hypercube sam pling

TB121

1004—132X(2011)06—0706—04

2010—05—27

國家自然科學基金資助項目(10802028)

(編輯 蘇衛(wèi)國)

陳 沛,男,1985年生。湖南大學機械與運載工程學院碩士研究生。研究方向為結構分析的快速算法。韓 旭,男,1968年生。湖南大學機械與運載工程學院教授、博士研究生導師。姜 潮,男,1978年生。湖南大學機械與運載工程學院副教授。張 正,男,1981年生。湖南大學機械與運載工程學院博士研究生。