●李顯權(quán) (富順縣城關(guān)中學(xué) 四川自貢 643200)

簡(jiǎn)述三角形四“心”的優(yōu)美向量性質(zhì)

●李顯權(quán) (富順縣城關(guān)中學(xué) 四川自貢 643200)

文獻(xiàn)［1］和文獻(xiàn)［2］分別討論了三角形五心的一個(gè)統(tǒng)一向量性質(zhì)．最近，筆者通過(guò)探究又得到了一組有關(guān)三角形重、內(nèi)、外、垂等四心的優(yōu)美向量性質(zhì)．

圖1

(3)若DE經(jīng)過(guò)銳角△ABC的外心，則

利用以上定理，可得三角形四心的如下性質(zhì):

性質(zhì)1條件同定理1．

(1)若DE經(jīng)過(guò)△ABC的重心，則

(2)若DE經(jīng)過(guò)△ABC的內(nèi)心，則

(4)若DE經(jīng)過(guò)銳角△ABC的垂心，則

證明(1)由DE經(jīng)過(guò)△ABC的重心，易知λ=，代入式(1)即得結(jié)論．

(2)如圖 2，由 DE經(jīng)過(guò)△ABC的內(nèi)心 I，利用文獻(xiàn)［2］中性質(zhì)2的證明過(guò)程，可知

圖2

代入式(1)整理即得結(jié)論．

(3)參照?qǐng)D2，由DE經(jīng)過(guò)銳角△ABC的外心O，利用文獻(xiàn)［2］中性質(zhì)1的證明過(guò)程，可知

代入式(1)整理即得結(jié)論．

(4)參照?qǐng)D2，由DE經(jīng)過(guò)銳角△ABC的垂心，利用文獻(xiàn)［2］中性質(zhì)3的證明過(guò)程，可知

代入式(1)整理即得結(jié)論．

本文中得到的性質(zhì)容易推廣到四面體中，留給有興趣的讀者．

［1］ 李顯權(quán)．三角形五心的一個(gè)統(tǒng)一向量性質(zhì)［J］．?dāng)?shù)學(xué)通訊(下半月)，2010(7):19．

［2］ 陳和平．三角形五心的一個(gè)向量統(tǒng)一表示［J］．?dāng)?shù)學(xué)通訊(下半月)，2009(4):31-32．