徐萬(wàn)海，吳應(yīng)湘，鐘興福，何 楊，劉培林，馮現(xiàn)洪

(1.天津大學(xué) 建筑工程學(xué)院，天津 300072;2.中國(guó)科學(xué)院 力學(xué)研究所，北京 100190;3.海洋工程股份有限公司，天津 300451)

21世紀(jì)是海洋經(jīng)濟(jì)時(shí)代，隨著世界經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，能源短缺問(wèn)題日益突出，由于陸上及近海的石油資源日益枯竭，深海油氣開(kāi)發(fā)已成為各國(guó)能源戰(zhàn)略的重點(diǎn)。根據(jù)不同的海洋環(huán)境及經(jīng)濟(jì)方面的考慮，會(huì)采取不同的平臺(tái)開(kāi)采方案，如張力腿平臺(tái)(TLP)，SPAR平臺(tái)，半潛平臺(tái)等。不論海洋油氣開(kāi)發(fā)采用何種平臺(tái)方案，張緊式細(xì)長(zhǎng)柔性結(jié)構(gòu)如立管、張力腿等都會(huì)在其中扮演重要的角色。立管是進(jìn)行深水油氣開(kāi)采必不可少的設(shè)備，它連接海底礦藏與海面的作業(yè)平臺(tái)，進(jìn)行鉆探、導(dǎo)液和泥漿等工作。張力腿一般為圓柱形結(jié)構(gòu)，是連接張力腿平臺(tái)與海底錨固基礎(chǔ)的關(guān)鍵部件，提供平臺(tái)本體必要的結(jié)構(gòu)剛度。立管與張力腿結(jié)構(gòu)形式有很大的相似之處，最大的不同就是立管的軸向預(yù)張力比張力腿小，同時(shí)立管內(nèi)部有流體流動(dòng)［1］，如果忽略內(nèi)流影響，兩種結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)分析方法是一致的。

張力腿等細(xì)長(zhǎng)的海洋工程結(jié)構(gòu)，主要受到兩種外部激勵(lì)形式的作用，一種是平臺(tái)縱蕩而產(chǎn)生的受迫振動(dòng)，第二種是平臺(tái)垂蕩引起的參數(shù)振動(dòng)［2，3］。前人的研究工作主要集中在兩方面:一種是將張力腿簡(jiǎn)化為線性Euler-Bernoulli梁模型，同時(shí)考慮平臺(tái)縱蕩和垂蕩激勵(lì)作用［2，3］;另一種是把張力腿看成非線性梁結(jié)構(gòu)，為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，僅考慮平臺(tái)的垂蕩激勵(lì)［4，5］。上述的兩種簡(jiǎn)化方法，最終得到張力腿參數(shù)振動(dòng)的控制方程均為Mathieu方程。當(dāng)采用非線性梁模型，同時(shí)考慮平臺(tái)垂蕩與縱蕩共同作用，研究張力腿的非線性動(dòng)力響應(yīng)還很少見(jiàn)。綜合地考慮軸向與流向的非線性因素及耦合效應(yīng)時(shí)，張力腿參數(shù)振動(dòng)的控制方程不再是Mathieu方程，而變?yōu)楦话愕?Hill方程［6］。

本文的主要目的是給出不同情況下，Hill方程不穩(wěn)定區(qū)的確定方法，同時(shí)比較不同方法之間的不同之處，并給出各自的適用范圍。

1 控制方程

張力腿被簡(jiǎn)化為兩端簡(jiǎn)支的梁結(jié)構(gòu)，假設(shè)頂端平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)是關(guān)于時(shí)間的簡(jiǎn)諧函數(shù)，采用Han和Benaroya［7］提出的非線性模型，忽略轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的影響，應(yīng)用Galerkin法和模態(tài)展開(kāi)原則，得到描述張力腿等細(xì)長(zhǎng)的海洋工程結(jié)構(gòu)參數(shù)激勵(lì)系統(tǒng)的無(wú)量綱Hill方程［6］:

Ua，Va分別為平臺(tái)垂蕩和縱蕩的幅值，L為張力腿的長(zhǎng)度。

2 Hill方程的不穩(wěn)定區(qū)域確定方法

Hill方程的解會(huì)根據(jù)不同的δ，ε和M組合而變得穩(wěn)定或者不穩(wěn)定。由于水動(dòng)力阻尼的存在，張力腿等一般不會(huì)發(fā)生參數(shù)失穩(wěn)。但在不穩(wěn)定區(qū)內(nèi)，張力腿的動(dòng)力響應(yīng)幅值明顯大于穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)的結(jié)果，所以確定Hill方程不穩(wěn)定區(qū)域是十分必要的。關(guān)于不穩(wěn)定區(qū)的分析有很多種方法，其中攝動(dòng)方法和傅里葉分析是比較常用的。

2.1 變形參數(shù)法［8］

令:

將式(4)代入Hill方程式(1)，根據(jù)ε的階次整理:

方程(5)的解必須是周期為π或2π的周期函數(shù):

因此:

由于變形參數(shù)法確定Hill方程不穩(wěn)定區(qū)時(shí)，隨著n數(shù)值的增加計(jì)算量會(huì)變得相當(dāng)可觀。在此只討論n=0，1，2 的情況。

(1)n=0時(shí)

δ0=0，有v0=a，于是:

v1必須是周期的，因此δ1=0，化簡(jiǎn)求解式(10)，并將v1代入式(7)中:

其中NST為長(zhǎng)期項(xiàng)，消去長(zhǎng)期項(xiàng)，得到邊界曲線為:

(2)n=1時(shí)

當(dāng)n≠0時(shí)，方程(5)的通解為:

把式(13)代入式(6):

當(dāng)n=1時(shí)，消去式(14)中的長(zhǎng)期項(xiàng):

消去式(17)中的長(zhǎng)期項(xiàng)，邊界曲線為:

消去式(19)的長(zhǎng)期項(xiàng)，邊界曲線為:

(3)n=2時(shí)

當(dāng)n=2時(shí)，消去式(14)中的長(zhǎng)期項(xiàng):

消去式(23)中的長(zhǎng)期項(xiàng)，邊界曲線為:

消去式(25)中的長(zhǎng)期項(xiàng)，邊界曲線為:

2.2 改進(jìn)的變形參數(shù)法

應(yīng)用變形參數(shù)法進(jìn)行穩(wěn)定區(qū)域的理論分析時(shí)，必須滿足ε?1，很多情況下，ε?1的假設(shè)并不滿足，所以傳統(tǒng)的變形參數(shù)法已經(jīng)不再適用。很多學(xué)者對(duì)該方法進(jìn)行了改進(jìn)［9，10］，改進(jìn)的變形參數(shù)法可以用來(lái)確定參數(shù)激勵(lì)的幅值不是很小的Hill方程不穩(wěn)定區(qū)。

設(shè)δ是ε的多項(xiàng)式函數(shù)，即:

式中:δ0，ω1，ω'2，ω'3，…均為任意常數(shù)。由于 ε 可以不是小量，引入一個(gè)新的小參數(shù):

于是式(27)可以寫(xiě)成:

式中:δ0，ω1，ω2，ω3，…均為任意常數(shù)。

令:

把ε，δ，v的表達(dá)式代入式(1)中，比較α的同次冪項(xiàng)系數(shù):

運(yùn)用變形參數(shù)法確定參數(shù)振動(dòng)不穩(wěn)定區(qū)相同的公式推導(dǎo)方法，最終得到相應(yīng)的邊界曲線表達(dá)式:

(1)n=0時(shí)

邊界曲線為:

(2)n=1時(shí)

為消除方程中的長(zhǎng)期項(xiàng)，需滿足如下關(guān)系式:

邊界曲線為:

邊界曲線為:

(3)n=2時(shí)

為消除方程中的長(zhǎng)期項(xiàng)，需滿足如下關(guān)系式:

邊界曲線為:

邊界曲線為:

2.3 傅里葉分析法

當(dāng)δ和ε是小參數(shù)時(shí)，Hill方程的不穩(wěn)定區(qū)域根據(jù)攝動(dòng)方法可以獲得，但是實(shí)際的海洋環(huán)境條件下，δ和ε不再是小參數(shù)，變形參數(shù)方法不再適用，而改進(jìn)的變形參數(shù)方法僅僅能分析ε～1的情況，大參數(shù)情況下同樣不適用。所以需要采用傅里葉分析法來(lái)確定Hill方程不穩(wěn)定區(qū)域。

當(dāng)δ是方程(1)的可列特征值時(shí)，下面的周期解滿足式(1)［11］

把方程(44)、(45)、(46)和(47)代入式(1)，相應(yīng)的cos(2nτ)，cos(2n+1)τ，sin(2nτ)和 sin(2n+1)τ 各項(xiàng)前面系數(shù)等于0，經(jīng)過(guò)整理，得到無(wú)窮項(xiàng)的行列式關(guān)系如下:

可以根據(jù)實(shí)際工程設(shè)計(jì)需要，截取有限項(xiàng)n，應(yīng)用簡(jiǎn)單的數(shù)值方法可以得到Hill方程的不穩(wěn)定區(qū)圖像。

3 Hill方程的不穩(wěn)定區(qū)圖像

應(yīng)用MATLAB軟件畫(huà)出變形參數(shù)法以及改進(jìn)的變形參數(shù)法得到的Hill方程不穩(wěn)定區(qū)，分別取M=0，M=0.25，M=0.5，圖1和圖2分別給出了用上述兩種攝動(dòng)方法得到的Hill方程的前3階不穩(wěn)定區(qū)。

然后給出傅里葉分析方法獲得的不穩(wěn)定區(qū)。為了簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，同時(shí)保證最終結(jié)果的正確性和足夠的精度，截取式(48)～式(51)中的有限10項(xiàng)，分別取M=0，M=0.25，M=0.5，應(yīng)用 MATLAB 軟件編程，畫(huà)出大參數(shù)情況下方程(1)的不穩(wěn)定圖，δ和ε的取值范圍限定在0到20，圖3給出了Hill方程(1)的前3階不穩(wěn)定區(qū)。對(duì)比圖1、圖2和圖3可以發(fā)現(xiàn)，大參數(shù)情況下，Hill方程(1)的不穩(wěn)定區(qū)相比于小參數(shù)情形，具有明顯的不同。

4 結(jié)論

本文給出了三種不同的確定Hill方程不穩(wěn)定區(qū)方法、分別為變形參數(shù)法、改進(jìn)變形參數(shù)法及傅里葉分析法，通過(guò)對(duì)三種方法優(yōu)缺點(diǎn)的對(duì)比，可以得到如下結(jié)論:

(1)參數(shù)激勵(lì)系統(tǒng)的控制方程是小參數(shù)的Hill方程時(shí)，可以采用變形參數(shù)法、改進(jìn)變形參數(shù)法分析其不穩(wěn)定特性，分析結(jié)果具有較高的精度。但計(jì)算量會(huì)隨著不穩(wěn)定區(qū)階數(shù)的提高，變得十分巨大。

(2)參數(shù)激勵(lì)系統(tǒng)的控制方程不是小參數(shù)的Hill方程時(shí)，需要采用傅里葉分析法討論其解的不穩(wěn)定性，實(shí)際計(jì)算表明，傅里葉分析法可以根據(jù)需求得到高階不穩(wěn)定區(qū)，并且其思路簡(jiǎn)單，計(jì)算量不大，建議在張力腿、立管等細(xì)長(zhǎng)海洋結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)計(jì)算過(guò)程中采用。

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