楊正賢，孔憲仁，廖 俊，徐大富

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 衛(wèi)星技術(shù)研究所，哈爾濱 150080）

0 引言

隨著航天器、機(jī)器人等機(jī)械系統(tǒng)朝著輕質(zhì)、高速、高精度方向發(fā)展，具有輕質(zhì)柔性部件的剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)大量出現(xiàn)。以往對(duì)這類剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)的控制研究多是基于傳統(tǒng)零次近似動(dòng)力學(xué)模型[1-2]。這種建模方法直接使用結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中的變形假設(shè)，忽略了大范圍運(yùn)動(dòng)和彈性變形的耦合項(xiàng)，而且沒(méi)有考慮大范圍運(yùn)動(dòng)對(duì)彈性變形運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)頻率和振型模態(tài)的影響。當(dāng)系統(tǒng)存在大范圍剛體運(yùn)動(dòng)特別是高速運(yùn)動(dòng)時(shí)，零次近似動(dòng)力學(xué)模型已不能正確揭示剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為[3-4]，所以有必要研究更符合實(shí)際的精細(xì)動(dòng)力學(xué)模型。

近年來(lái)，許多學(xué)者[5-10]從連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的基本原理出發(fā)，提出了較零次近似動(dòng)力學(xué)模型更為精確的一次近似耦合動(dòng)力學(xué)模型，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了零次近似模型的局限性和一次近似模型的準(zhǔn)確性。但是該類模型都是從精細(xì)動(dòng)力學(xué)分析需求的角度出發(fā)，在變形位移場(chǎng)和應(yīng)力-應(yīng)變中保留高階項(xiàng)，導(dǎo)致動(dòng)力學(xué)模型越來(lái)越復(fù)雜并引入大量強(qiáng)非線性項(xiàng)。這對(duì)于控制器的設(shè)計(jì)來(lái)說(shuō)是不利的，增加了其設(shè)計(jì)和實(shí)際應(yīng)用的難度，因此有必要建立適合剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)控制器設(shè)計(jì)的一次近似耦合動(dòng)力學(xué)模型。

本文針對(duì)中心剛體加旋臂梁的系統(tǒng)，首先利用Hamilton原理建立了偏微分的一次近似耦合動(dòng)力學(xué)模型，然后采用有限元法對(duì)其離散得到常微分形式動(dòng)力學(xué)模型。該模型在變形位移場(chǎng)描述中計(jì)及二次耦合項(xiàng)，同時(shí)忽略軸向拉伸量，使得在引入動(dòng)力剛化項(xiàng)時(shí)，簡(jiǎn)化了動(dòng)力學(xué)模型。仿真結(jié)果表明，該精簡(jiǎn)模型正確預(yù)示了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，能夠用于實(shí)際控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。

1 剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型

圖1為帶有大型柔性附件的典型剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)模型。模型包括一個(gè)中心剛體和一個(gè)均勻懸臂梁式柔性附件。中心剛體在平面內(nèi)繞固定點(diǎn)ON旋轉(zhuǎn)，柔性梁固結(jié)在中心剛體OB上。假設(shè)柔性梁為小變形小應(yīng)變下的等截面Euler-Bernoulli梁，材料均勻且各向同性。這種模型在航天、機(jī)器人等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用背景。

圖1 剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型Fig. 1 Dynamic model of rigid-flexible coupling system

圖1中，中心剛體的半徑和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為a和Jh；T為作用在其上的力矩；E、A、l、ρ分別為柔性梁的彈性模量、截面積、自然長(zhǎng)度和體積密度；分別為慣性坐標(biāo)系和固結(jié)在未變形柔性梁中與之間的夾角；為關(guān)于的矢量；未變形梁上任意點(diǎn)Q0變形后為Q，為其變形矢量；

1.1 梁變形描述

圖2中φ為梁變形后中軸面轉(zhuǎn)過(guò)的角度，柔性梁中軸線上任意點(diǎn)P0變形后為P，那么其變形矢量在浮動(dòng)坐標(biāo)系下的表示為[4-5]

式中：us、v分別為柔性梁軸向拉伸量和橫向彎曲撓度；為梁變形位移的二次耦合項(xiàng)，是梁橫向彎曲引起的縱向位移。傳統(tǒng)零次混合坐標(biāo)建模方法中，并沒(méi)有考慮變形耦合，但當(dāng)其與大范圍運(yùn)動(dòng)相耦合時(shí)，將影響系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。矢量在浮動(dòng)坐標(biāo)系下的表示分別為

由圖2中梁的幾何變形關(guān)系，同時(shí)考慮到梁小變形下 φ為小值的假設(shè)，可以得到梁上任意點(diǎn)Q0(x,y)的變形矢量在浮動(dòng)坐標(biāo)系下的表示為

其中縱向位移 -y? v /?x 項(xiàng)是由梁橫向彎曲引起軸向伸縮變形造成的?？紤]在很多實(shí)際情況下，軸向拉伸量us為微小量，忽略u(píng)s得到梁上任意點(diǎn)的變形描述為

由公式(1)、(3)、(4)、(6)得到柔性梁上任意點(diǎn)Q在慣性坐標(biāo)系下的速度表示

圖2 梁上任意點(diǎn)變形描述Fig. 2 Deformation at any point on a flexible beam

1.2 系統(tǒng)動(dòng)能

系統(tǒng)動(dòng)能Tsys由中心剛體動(dòng)能和柔性梁的動(dòng)能兩個(gè)部分組成，即

假設(shè)梁為細(xì)長(zhǎng)梁，其截面慣性矩為小量，忽略梁截面轉(zhuǎn)動(dòng)引起的動(dòng)能，可以得到的系統(tǒng)動(dòng)能表達(dá)式為

1.3 系統(tǒng)勢(shì)能

梁的變形梯度J和拉格朗日應(yīng)變張量ε[11]分別為

其中I為單位陣。將式(4)、(5)、(10)代入式(11)，得到柔性梁剪切應(yīng)變 εxy= 0，y方向的應(yīng)變?chǔ)舮y=0，而x方向的應(yīng)變?chǔ)舩x≠0，可以看出應(yīng)變張量ε滿足Euler-Bernoulli梁的假設(shè)?？紤]小變形、小應(yīng)變的假設(shè)，忽略εxx中高階項(xiàng)，則得

系統(tǒng)的勢(shì)能只考慮梁的應(yīng)變能，那么正交各向同性材料構(gòu)成的等截面柔性梁的勢(shì)能為

1.4 連續(xù)動(dòng)力學(xué)模型

利用Hamilton最小作用原理來(lái)建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

式中：δUsys為系統(tǒng)勢(shì)能變分；δTsys為系統(tǒng)動(dòng)能變分；δWf=Tδθ為外力做功變分。

將式(9)、(13)代入方程(14)，省略一些關(guān)于uf的高階小量，得到剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)的一次近似動(dòng)力學(xué)方程

及邊界條件

1.5 離散動(dòng)力學(xué)模型

為便于動(dòng)力學(xué)仿真和控制器設(shè)計(jì)，須對(duì)偏微分方程(15)、(16)進(jìn)行離散化；同時(shí)為避免假設(shè)模態(tài)法在模態(tài)選擇上的隨意性影響動(dòng)力學(xué)模型的精度，采用有限元 Galerkin加權(quán)殘值法[12]對(duì)剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)方程組(15)、(16)進(jìn)行離散化。

如圖3所示，將總長(zhǎng)為l的柔性梁等分為n個(gè)長(zhǎng)度le=l/n的兩節(jié)點(diǎn)單元段，得n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，第一個(gè)節(jié)點(diǎn)位于浮動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)OB。Li=l(i-1)/n為第i節(jié)點(diǎn)距離浮動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)OB的距離，為梁上中線點(diǎn)在第i單元段內(nèi)的縱向坐標(biāo)，

圖3 柔性梁有限元模型Fig. 3 Finite element model of flexible beam

式中：vi( t)為第i節(jié)點(diǎn)在浮動(dòng)坐標(biāo)系內(nèi)的橫向平移量；定義梁的單元形函數(shù)[11]

方程組(15)、(16)的有限元離散化模型為

其中的常值量表示如下：

2 數(shù)值仿真

為驗(yàn)證本文精簡(jiǎn)的動(dòng)力學(xué)模型是否能正確預(yù)示系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為且有足夠的精確性，并適合控制器設(shè)計(jì)，取兩組動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行仿真對(duì)比分析。這兩組模型分別為：模型 1——文獻(xiàn)[4]中實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的動(dòng)力學(xué)模型，并忽略其末端質(zhì)量塊的影響；模型2——本文動(dòng)力學(xué)方程(21)、(22)。取系統(tǒng)物理參數(shù)：柔性梁的長(zhǎng)度l = 8 m，楊氏彈性模量為E = 6.895 2×1010N/m2，體積密度ρ =2.766 7× 103kg/m3，截面積 A=7.3×10-5m2，截面慣性矩I =8.2×10-9m4，中心剛體半徑a = 1 m，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

2.1 動(dòng)力剛化分析

梁從靜止開始加速旋轉(zhuǎn)，采用文獻(xiàn)[8]介紹的旋轉(zhuǎn)規(guī)律，在時(shí)間 t =15 s內(nèi)達(dá)到角速度θ˙= 4 rad/s，即

圖4所示為模型1梁端點(diǎn)軸向拉伸量。當(dāng)角速度達(dá)到4 rad/s時(shí)，8 m梁的端點(diǎn)軸向拉伸量?jī)H為1.301×10-4m左右，并有微幅振動(dòng)。圖5所示為兩模型梁末端的橫向位移對(duì)比圖，兩模型梁末端橫向位移之差隨時(shí)間變化可見(jiàn)圖6。模型2與模型1出現(xiàn)了動(dòng)力剛化現(xiàn)象，梁的橫向振動(dòng)并沒(méi)有像零次模型一樣發(fā)散。模型2與模型1的橫向變形位移基本一致，當(dāng)角速度在 15 s后穩(wěn)定在4 rad/s時(shí)，兩模型的梁端點(diǎn)橫向位移做等幅振蕩，且在振動(dòng)幅值和相位上只存在微小的差別。由圖6可以看出最大誤差在2×10-5m內(nèi)，由于存在振動(dòng)微小相位差，橫向位移之差的幅值呈振蕩形式。

圖4 模型1梁端點(diǎn)軸向拉伸量Fig. 4 Axial tip displacements for model 1

圖5 梁末端橫向位移Fig. 5 Transverse tip displacements

圖6 兩模型梁末端橫向位移之間的差值Fig. 6 The difference of transverse tip displacements between model 1 and model 2

2.2 剛?cè)狁詈戏治?/h3>

對(duì)模型1、2實(shí)施bang-off-bang的大角度機(jī)動(dòng)控制如下，T為控制力矩，

圖7所示為模型1梁端點(diǎn)軸向拉伸量曲線。在整個(gè)控制過(guò)程中模型1梁端點(diǎn)軸向拉伸量非常微小，最大約9×10-7m，完全可以忽略。圖8所示為模型1和模型2的剛體角度曲線，圖9為兩模型剛體角度之間的差值曲線。在bang-off-bang控制力矩作用下，系統(tǒng)在15 s時(shí)完成了3 rad左右的大角度機(jī)動(dòng)，模型 1、2中剛體角度輸出基本一致，只存在細(xì)微的差別。圖10為在bang-offbang控制下，模型1、2中梁末端橫向位移曲線，圖 11為兩模型末端橫向位移之間的差值曲線?？梢钥闯觯涸诜讲ǖ募?lì)下，15 s控制結(jié)束時(shí)，梁端點(diǎn)發(fā)生了幅值達(dá)0.15 m左右的橫向振動(dòng)，模型1、2中梁末端橫向位移輸出基本一致，差別微小。

圖 7 模型1梁端點(diǎn)軸向拉伸量Fig. 7 Axial tip displacements for model 1

圖 8 剛體角度Fig. 8 Angular displacement of the hub

圖 9 兩模型剛體角度輸出之間的差值Fig. 9 Difference of angular displacements for the hub between model 1 and model 2

圖10 梁末端橫向位移Fig. 10 Transverse tip displacements

圖11 兩模型梁末端橫向位移之間的差值Fig. 11 The difference of transverse tip displacements between model 1 and model 2

所以，忽略軸向拉伸量的模型2與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的動(dòng)力學(xué)模型1相比，也正確地預(yù)示了剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，在梁的橫向振動(dòng)以及中心剛體運(yùn)動(dòng)輸出上達(dá)到了同一級(jí)別的精度，完全滿足控制器設(shè)計(jì)高精度的要求；同時(shí)，由于軸向拉伸量的忽略降低了系統(tǒng)狀態(tài)變量并減少了動(dòng)力學(xué)方程中的強(qiáng)非線性項(xiàng)，更利于控制器的設(shè)計(jì)。

3 結(jié)論

1）在柔性梁經(jīng)歷大范圍運(yùn)動(dòng)時(shí)，梁軸向拉伸量對(duì)梁橫向振動(dòng)的固有頻率的影響很小。

2）忽略軸向拉伸量的動(dòng)力學(xué)模型 2與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的動(dòng)力學(xué)模型1相比，正確地預(yù)示了剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。

3）在變形位移場(chǎng)描述中計(jì)及縱向變形的二次耦合項(xiàng)，同時(shí)忽略軸向拉伸量，可以減少動(dòng)力學(xué)方程中的強(qiáng)非線性項(xiàng)及狀態(tài)變量，達(dá)到簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)模型的目的。

4）本文模型是一種能夠用于實(shí)際控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的高效、高精度的一次近似剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型。

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