楊吉祥，賴曉平，侯秀竹，羅家浩

(杭州電子科技大學(xué)信息與控制研究所，浙江杭州310018)

0 引言

數(shù)字濾波是數(shù)字信號處理中最重要的組成部分之一，與模擬濾波相比，它具有精度和穩(wěn)定性高、靈活性強等優(yōu)點。經(jīng)過近幾十年的研究，無限沖擊響應(yīng)(Infinite Impulse Response，IIR)數(shù)字濾波器的minimax設(shè)計問題得到了長足的發(fā)展。較早的一種minimax設(shè)計方法是線性規(guī)劃［1］方法，這種方法需要較長的計算時間和很大的存儲空間。另外一類方法是用迭代重加權(quán)技術(shù)把問題轉(zhuǎn)化為一系列二次規(guī)劃［2］問題或二階錐規(guī)劃［3］問題，再通過Matlab自帶函數(shù)或其他方法近似求解。最近，文獻(xiàn)4提出一種新的迭代機(jī)制，用序列約束最小二乘方法實現(xiàn)IIR數(shù)字濾波器的minimax設(shè)計。該方法將minimax問題化為一系列約束最小二乘問題，并用Levy－Sanathanan－Koerner(LSK)策略［5，6］將得到的非凸最小二乘子問題化為標(biāo)準(zhǔn)的凸優(yōu)化問題，得到了比其它方法好的頻率響應(yīng)特性。本文對IIR數(shù)字濾波器相位誤差進(jìn)行約束，考慮具有給定相位誤差上界的約束minimax設(shè)計問題，并應(yīng)用相位誤差上界函數(shù)的迭代更新技術(shù)［8］對相位誤差約束進(jìn)行自動修正，得到的群延遲誤差在整個通帶上近似均勻。設(shè)計實例表明該方法得到了較小的群延遲誤差，有效抑制了帶邊群延遲大的效應(yīng)。

1 設(shè)計問題的數(shù)學(xué)描述

一個IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)表達(dá)式為:

式中，bm，m=0，1，…，M和μn，n=1，2，…，N分別表示H(z)的分子、分母的系數(shù)。當(dāng)z=ejω替換時表示其頻率響應(yīng)，可用下式表示:

式中，μ=［μ1，μ2，L，μN］T，b=［b0，b1，L，bM］T均為實數(shù)，上標(biāo)T表示矩陣轉(zhuǎn)置，en(ω)=［1，e-jω，L，e-jMω］T，ed(ω)=［e-jω，e-j2ω，L，e-jNω］T，M和N分別為濾波器傳遞函數(shù)分子和分母的階數(shù)。IIR數(shù)字濾波器的minimax設(shè)計就是在minimax優(yōu)化準(zhǔn)則下確定式2中的μ和b的值。本文是在對相位誤差進(jìn)行約束的同時對頻率響應(yīng)誤差幅值的最大值進(jìn)行極小，問題描述為如下的相位誤差約束minimax問題:

S是濾波器的穩(wěn)定域。本文采用正實條件作為濾波器的穩(wěn)定約束條件，可以表示為:

式中，r(r≤1)為極點半徑參數(shù)，它表示將濾波器傳遞函數(shù)的極點約束在半徑為r的圓內(nèi);ε是一個很小的接近于0的正數(shù)，Ω?［0，π]。Ω1為通帶和阻帶上的頻率點集合，式3為相位誤差約束，Ω2為施加相位約束的頻率點集合，γ(ω)＞0為相位誤差上界函數(shù)，式3中E(ω)為濾波器的實際頻率響應(yīng)與期望頻率響應(yīng)之差，即頻率響應(yīng)誤差，式3中Eφ(ω)為濾波器的實際相位與期望相位之差，即相位誤差?？梢员硎救缦?

取相位誤差導(dǎo)數(shù)的負(fù)數(shù)即得到群延遲誤差，可用下面式子表示:

設(shè)x=［bT，μT］T，φ(ω)=［enT(ejω)，-D(ω)e(ejω)］，則頻率響應(yīng)誤差可化為:

引進(jìn)δ=max|E(ω)|，則相位約束minimax問題式3等價為下面問題:

為了求解式9，采用文獻(xiàn)4中的序列約束最小二乘方法，把問題轉(zhuǎn)化為如下的一系列約束最小二乘問題:

式中，{ρn:n=0，1，2，L}是一個頻率響應(yīng)誤差幅值的上界序列。序列約束最小二乘方法中每個最小二乘子問題都是非凸優(yōu)化問題。與文獻(xiàn)4相同，本文采用LSK策略進(jìn)行求解。

由文獻(xiàn)7可知在較緊的上界約束下，相位誤差響應(yīng)在通帶區(qū)域是等波紋的。但是在通帶邊緣處，由于振蕩頻率加快，導(dǎo)致群延遲誤差在通帶邊界附近比較大。群延遲誤差是相位誤差的負(fù)導(dǎo)數(shù)，減小相位誤差的振蕩幅度可以減小群延遲誤差，這樣在趨向帶邊的區(qū)域?qū)ο辔徽`差施加一個越來越緊的約束，就可以減小帶邊附近相位誤差的振蕩幅度，從而減小帶邊附近的群延遲誤差。在文獻(xiàn)8中，針對有限沖擊響應(yīng)濾波器的minimax設(shè)計中濾波器群延遲誤差的減小問題提出了一種應(yīng)用群延遲誤差包絡(luò)線自動更新相位誤差上界函數(shù)的方法，有效減小了所設(shè)計有限沖擊響應(yīng)濾波器的群延遲誤差。本文將該方法應(yīng)用到IIR濾波器的相位誤差約束minimax設(shè)計。在每一次的迭代步驟中，將上一次迭代得到的IIR數(shù)字濾波器群延遲的修正包絡(luò)線的倒數(shù)與上次迭代的相位誤差上界函數(shù)相乘，并將所得結(jié)果作為當(dāng)前迭代的相位誤差上界函數(shù)，對當(dāng)前迭代中的相位誤差進(jìn)行約束。應(yīng)用這種方法可以得到近似均勻的群延遲誤差響應(yīng)，從而達(dá)到減小群延遲誤差的目的。

2 仿真實例

給出兩個用自動更新相位誤差上界函數(shù)的迭代算法來自動更新相位誤差約束IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計實例。例中縮減因子取θ=0.85，ε=0.000 001。加權(quán)函數(shù)在通帶和阻帶上都取1，過渡帶為0，Ω取為{k/400|k=0，1，…，400}，Ω1為Ω中濾波器阻帶和通帶集合，Ω2為Ω中施加相位約束的頻率點集合。數(shù)據(jù)表格中的MCE代表通帶和阻帶的最大復(fù)值誤差，PMME代表通帶的最大幅值誤差，SMME代表阻帶的最大幅值誤差，MGE代表通帶的群延遲誤差，MPE代表通帶相位誤差，MPR表示極點半徑。

例1設(shè)計一個低通IIR數(shù)字濾波器，階數(shù)M=N=12，通帶截止頻率ωp=0.5，阻帶截止頻率ωs=0.6，群延遲=15.9。本例通帶群延遲誤差和相位誤差曲線對比圖如圖1所示:

圖1 通帶群延遲誤差和相位誤差曲線圖

例2設(shè)計一階數(shù)M=10，N=6的低通IIR數(shù)字濾波器，通帶截止頻率ωp=0.3，阻帶截止頻率ωs=0.6，群延遲為6.25。本例通帶群延遲誤差和相位誤差曲線對比圖如圖2所示:

圖2 通帶群延遲誤差和相位誤差曲線圖

例1與例2所得IIR數(shù)字濾波器相關(guān)數(shù)據(jù)如表1所示:

表1 該方法與文獻(xiàn)4設(shè)計出的濾波器的頻率響應(yīng)特性比較

由圖1、2和表1的數(shù)據(jù)可以看出本文中使用自動更新相位誤差上界函數(shù)的迭代算法來自動更新相位誤差約束得到的相位誤差分布比較均勻，群延遲誤差比較小，有效抑制了通帶邊緣群延遲誤差大的效應(yīng)，同時也得到了較小的相位誤差，但幅值誤差有所增大。

3 結(jié)束語

針對帶相位誤差約束IIR濾波器的minimax設(shè)計問題，本文應(yīng)用了相位誤差上界函數(shù)的迭代更新技術(shù)相位誤差約束進(jìn)行自動修正，并結(jié)合序列約束最小二乘方法把該問題化為一系列約束最小二乘子問題，通過求解這些子問題得到原問題的解。設(shè)計實例表明，該方法得到了較小的群延遲誤差，有效抑制了帶邊群延遲大的效應(yīng)。但此方法會使幅值誤差有所增大。

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