羅家浩，賴曉平，侯秀竹，楊吉祥

(杭州電子科技大學(xué)信息與控制研究所，浙江杭州310018)

0 引言

數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)問題是數(shù)字信號處理中的基本問題，IIR濾波器設(shè)計(jì)中通常采用首一多項(xiàng)式表示濾波器傳遞函數(shù)的分母，針對這一分母多項(xiàng)式現(xiàn)存多種充分的穩(wěn)定性約束條件［1－3］。其中，正實(shí)性條件［1］、廣義正實(shí)性條件［2］、Rouche’s定理［3］等均為凸的，且已經(jīng)被應(yīng)用到多種設(shè)計(jì)方法中。然而，這些條件只是保證濾波器穩(wěn)定的充分條件而非必要條件，因此那些具有更好性能的穩(wěn)定濾波器可能被排除在由上述條件確定的穩(wěn)定域之外。另外一種表示濾波器傳遞函數(shù)分母的方法是將其由一連串二階因子級聯(lián)而成，對于每個(gè)二階因子均要求其零點(diǎn)位于單位圓內(nèi)，即使該因子的兩個(gè)多項(xiàng)式系數(shù)位于穩(wěn)定三角形［4，5］內(nèi)。然而，采用這種級聯(lián)二階因子對分母參數(shù)化的方法也存在一些缺點(diǎn)，當(dāng)傳遞函數(shù)的分母不止含有一個(gè)二階因子時(shí)，頻率響應(yīng)函數(shù)關(guān)于二階因子的多項(xiàng)式系數(shù)是非線性的。為了克服這個(gè)困難，文獻(xiàn)7中引入一種序列最小化方法(solves a Sequential of Minimization problems that alternately updates the Second-Order Factors，SMSOF)將IIR濾波器的minimax設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為一系列的minimax子問題，本文采用基于高斯牛頓(Gauss-Newton，GN)策略［3］的直接最小化方法把非凸的子問題轉(zhuǎn)化為二階錐規(guī)劃(Second-Order Conic Programming，SOCP)問題進(jìn)行求解。在提供合適的初始點(diǎn)及迭代步長的情況下，此方法絕對收斂且能得到比現(xiàn)有一些方法更好的設(shè)計(jì)結(jié)果。

1 設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)描述

設(shè)計(jì)濾波器頻率響應(yīng)函數(shù)分子和分母的階數(shù)分別為M和N，用H(z)表示IIR濾波器的傳遞函數(shù)如下:

式中，P=N/2，bm(m=0,1,…,M)，μp1(p=0,1,…,P)，μp2(p=0,1,…,P)為濾波器系數(shù)。令b=［b0，b1，…，bM］T，μ=［μ11，μ12，μ21，μ22，…，μP1，μP2］T。設(shè)D(ω)為期望的頻率響應(yīng)，并定義:

為實(shí)際頻率響應(yīng)與期望頻率響應(yīng)之間的逼近誤差，稱為頻率響應(yīng)誤差。那么，濾波器的minimax設(shè)計(jì)問題可以描述為:

另外，濾波器的穩(wěn)定性是由其傳遞函數(shù)的極點(diǎn)分布決定的，若要求濾波器的極點(diǎn)位于半徑為ρ＜1的圓內(nèi)，則由穩(wěn)定三角形［4］和文獻(xiàn)6可得濾波器的穩(wěn)定域?yàn)?

S={α∈RN|所有Ap(z)的零點(diǎn)均位于半徑為ρ的圓內(nèi)}=S1∩S2∩…∩SP，其中，Sp={α∈RN||ραp1|－αp2＜ρ2，αp2＜ρ2}(p=0,1,…,P)。

針對以上minimax設(shè)計(jì)問題式3，采用文獻(xiàn)7中提出的SMSOF方法將其轉(zhuǎn)化為一系列的minimax子問題。每個(gè)子問題中除了分子，只對分母A(ejω)中的一個(gè)二階因子Ap(ejω)進(jìn)行優(yōu)化。通過不斷更新此二階因子，即對一系列的最小化問題進(jìn)行求解，最終可得到式3的解。由SMSOF方法產(chǎn)生的minimax子問題描述如下:

然而式4是非凸的，在本文中采用GN策略把此問題轉(zhuǎn)化成一系列的二階錐規(guī)劃問題進(jìn)行求解。令子濾波器的傳遞函數(shù)和濾波器系數(shù)分別為:

式中，i=1，2，…，M+3，δi表示向量δ中的每一個(gè)元素;δμ表示δ中對應(yīng)分母系數(shù)的部分。

式8中第一個(gè)約束式是一個(gè)圓錐形約束，第二個(gè)約束式關(guān)于δ是線性的，因此很容易對式8進(jìn)行求解。GN算法的每次迭代過程都會(huì)求得δ，在新的迭代中令:

這樣就把原來的IIR濾波器minimax設(shè)計(jì)問題式3最終轉(zhuǎn)化為一系列的SOCP問題得以求解，把此SMSOF與上述GN策略相結(jié)合的方法稱為SMSOF-GN方法。

2 仿真實(shí)例

給出兩個(gè)IIR濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)例，分別采用本文提出的SMSOF-GN方法和文獻(xiàn)8中提出的SCLSLSK方法以及將SCLS技術(shù)與GN策略相結(jié)合的SCLS-GN方法進(jìn)行求解。在兩個(gè)例子中均設(shè)置取樣頻率點(diǎn)數(shù)L=400，分別取半徑參數(shù)r=0.95，0.92，迭代步長β=0.5，0.1。最后對幾種設(shè)計(jì)方法得出的結(jié)果進(jìn)行比較。

例1設(shè)計(jì)一個(gè)高通IIR濾波器，分子和分母的階數(shù)M=N=14，通帶Ωp=［0.525，］，阻帶Ωs=［0，0.475］，通帶群延遲G=12.0。

例2設(shè)計(jì)一個(gè)低通IIR濾波器，分子和分母的階數(shù)M=N=10，通帶Ωp=［0.6，］，阻帶Ωs=［0，0.5］，通帶群延遲G=8.0。

兩個(gè)設(shè)計(jì)實(shí)例的濾波器頻率響應(yīng)誤差幅值曲線如圖1、2所示。其中，虛線代表SCLS-GN方法;長虛線代表SCLS-LSK方法;實(shí)線代表本文SMSOF-GN方法。采用不同設(shè)計(jì)方法得到的濾波器性能參數(shù)如表1所示，其中:MEM代表通帶和阻帶的最大幅值誤差;PMME代表通帶的最大幅值誤差;SMME代表阻帶的最大幅值誤差;MGDE代表最大通帶群延遲誤差;MPR代表最大極點(diǎn)半徑。通過分析表1中的數(shù)據(jù)可以看出，SMSOF-GN方法得出的結(jié)果相比SCLS-LSK方法和SCLS-GN方法得出的結(jié)果，在通帶群延遲和頻率響應(yīng)誤差兩方面均有改善。

圖1 例1設(shè)計(jì)的濾波器特性曲線

圖2 例2設(shè)計(jì)的濾波器特性曲線

表1 本文設(shè)計(jì)方法與其它方法的比較

3 結(jié)束語

本文提出的SMSOF-GN方法把IIR濾波器的minimax設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為一系列的minimax子問題，進(jìn)一步采用GN策略轉(zhuǎn)化為二階錐規(guī)劃問題進(jìn)行求解。仿真實(shí)例表明，應(yīng)用本文設(shè)計(jì)方法求解IIR濾波器的minimax設(shè)計(jì)問題能夠得到更小的頻率響應(yīng)誤差和通帶群延遲誤差。

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