楊明綏，王同慶，范真真

(1.北京航空航天大學(xué) 流體與聲學(xué)工程實(shí)驗(yàn)室，北京 100083;2.中航工業(yè)沈陽(yáng)發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)研究所，遼寧 沈陽(yáng) 110015)

粘彈性材料具有良好的吸能、高阻尼特性，且與水能夠產(chǎn)生很好的聲阻抗匹配，被廣泛應(yīng)用于水下潛艇的吸聲覆蓋層和阻尼隔振層.因此，粘彈性結(jié)構(gòu)的吸聲、隔振特性研究，成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者的一個(gè)重要研究?jī)?nèi)容［1-7］.

在水下聲散射數(shù)值計(jì)算與潛艇聲隱身設(shè)計(jì)的研究中，大多采用聲管測(cè)量得到的局域聲阻抗模型進(jìn)行描述，即認(rèn)為吸聲材料的表面聲阻抗只與當(dāng)?shù)芈曎|(zhì)點(diǎn)法向速度有關(guān)，而與其他位置處聲質(zhì)點(diǎn)法向速度無(wú)關(guān).然而，隨著低頻主動(dòng)聲吶的應(yīng)用，聲阻抗的非局域特性不容忽視，一些學(xué)者和研究機(jī)構(gòu)已開展消聲瓦大試樣吸聲特性的實(shí)驗(yàn)研究工作［3］.因此，如何建立非局域聲阻抗模型，描述消聲瓦聲阻抗的非局域特性是十分必要的.在非局域聲阻抗代數(shù)模型的研究方面，F(xiàn)averjon等［8-9］進(jìn)行了基礎(chǔ)性的研究工作，其針對(duì)鋁板－多孔介質(zhì)－鋁板多層系統(tǒng)的聲透射問題，分別從實(shí)驗(yàn)和解析2個(gè)方面開展了等效聲阻抗代數(shù)模型的研究.然而目前對(duì)于消聲瓦等粘彈性結(jié)構(gòu)，還沒有關(guān)于非局域聲阻抗特性及其模型的研究工作發(fā)表.

本文參考Faverjon關(guān)于透聲的等效聲阻抗模型，發(fā)展了能夠適用于粘彈性材料表面聲散射阻抗非局域特性描述的理論模型，采用粘彈性動(dòng)力學(xué)有限元方法，開展吸聲材料表面聲散射阻抗的非局域特性研究.本文的研究將對(duì)對(duì)粘彈性吸聲覆蓋層優(yōu)化敷設(shè)以及潛艇聲隱身優(yōu)化設(shè)計(jì)具有重要意義.

1 聲阻抗矩陣模型

聲散射阻抗是描述材料聲吸收性質(zhì)的一種有效方法，剛性背襯的粘彈性吸聲材料聲散射阻抗的物理模型如圖1所示.設(shè)聲散射表面的聲阻抗為zn，表面法向振動(dòng)速度為vn，入射聲壓為p.將粘彈性材料表面離散為i(i=1，2，…，N)個(gè)有限網(wǎng)格點(diǎn).則在網(wǎng)格點(diǎn)i處的表面聲壓為pi，引起的表面法向振速及聲阻抗值分別記為vni、zni.

圖1 物理模型Fig.1 Physical model

1.1 局域聲阻抗

局域聲阻抗模型認(rèn)為:當(dāng)?shù)氐穆曌杩怪祕(mì)locn(ω)只與當(dāng)?shù)氐穆晧簆和表面法向質(zhì)點(diǎn)速度vn有關(guān)，與其他位置處的聲質(zhì)點(diǎn)法向速度無(wú)關(guān)，表現(xiàn)了聲阻抗的局域特性，可以用聲管進(jìn)行小試樣測(cè)量.如下:

式中:ω為角頻率.在每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)i處均滿足方程(1)，即

則表面聲壓pi和表面法向振動(dòng)速度vni滿足:

1.2 非局域聲阻抗

當(dāng)聲阻抗表現(xiàn)為非局域特性時(shí)，當(dāng)?shù)芈晧翰粌H與當(dāng)?shù)胤ㄏ蛘駝?dòng)速度有關(guān)，還與其他點(diǎn)處的法向振動(dòng)速度相關(guān).此時(shí)，pi與vni滿足:

1.3 聲阻抗矩陣模型

注意到，方程(3)、(4)均可以寫成如下通用形式:

式中:p為表面聲壓向量，vn為表面聲質(zhì)點(diǎn)速度向量，zn為聲阻抗矩陣.由以上的分析可知，當(dāng)聲阻抗表現(xiàn)為局域特性時(shí)，聲阻抗矩陣zn為對(duì)角陣;當(dāng)聲阻抗表現(xiàn)為非局域特性時(shí)，聲阻抗矩陣zn為非對(duì)角矩陣，阻抗矩陣中阻抗值的大小、分布情況分別由材料的吸聲性能、非局域特性決定，通常情況下zn為主對(duì)角占優(yōu)矩陣.

同時(shí)，表面聲阻抗矩陣zn與結(jié)構(gòu)的傳遞函數(shù)矩陣H具有互逆性［8-9］，即滿足

且

聲載荷對(duì)粘彈性材料的作用，可以等效為表面離散點(diǎn)處的節(jié)點(diǎn)力.因此，當(dāng)j點(diǎn)聲壓為pj，i點(diǎn)速度響應(yīng)為vni時(shí)，代入方程(7)可求得傳遞函數(shù)Hij，進(jìn)而可構(gòu)建傳遞函數(shù)矩陣H，并最終得到聲阻抗矩陣zn.

1.4 聲阻抗代數(shù)模型

參照Faverjon關(guān)于聲透射等效阻抗模型，本文針對(duì)剛性背襯下粘彈性板的聲散射問題，建立了一個(gè)聲散射阻抗模型:

式中:rij為i點(diǎn)與j點(diǎn)之間的表面距離;ζ為局域聲阻抗值，且滿足ζ=ζR+iζⅠ=znii=zlocn;ρR(rij，ω)、ρI(rij，ω)分別為聲阻、聲抗密度函數(shù)，滿足:

由于剛性背襯和粘彈性材料聲耗散的影響，聲阻函數(shù)ρR(rij，ω)均為正值，本文采用余弦函數(shù)的絕對(duì)值進(jìn)行描述.式中:LR、LI、λR、λI、φI是隨ω變化的常數(shù);LR、LI為控制幅值呈指數(shù)衰減的長(zhǎng)度尺度參數(shù); λR、λI為振動(dòng)波長(zhǎng)的控制參數(shù);φI分別為聲抗密度函數(shù)的相位控制參數(shù).聲阻抗值z(mì)ij具有如下性質(zhì): 1)是頻率ω的函數(shù);2)與局域聲阻抗zlocn(ω)密切相關(guān);3)聲阻抗值z(mì)ij與表面距離rij有關(guān)，并且隨著rij的增加，阻抗值z(mì)ij呈指數(shù)衰減.當(dāng)rij→0時(shí)，zij→zlocn;當(dāng)rij→∞時(shí)，zij→0.并且有zij=zji.

可由下式求局域聲阻抗值z(mì)locn:

求相位控制參數(shù)φI:

然后由方程(8)、(9)曲線擬合得到參數(shù)LR、LI、λR、λI的具體數(shù)值和變化規(guī)律.

2 粘彈性有限元

本文采用粘彈性有限元方法，進(jìn)行方程(7)中傳遞函數(shù)Hij的計(jì)算.粘彈性材料的復(fù)常數(shù)模量模型形式簡(jiǎn)單，在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下能較好地描述粘彈性材料的力學(xué)性能［4］.基于復(fù)常數(shù)模量模型，可以在頻域內(nèi)建立粘彈性(彈性)－聲場(chǎng)的耦合振動(dòng)方程［5］:

式中:M為粘彈性(彈性)材料的質(zhì)量矩陣，MA為流體附加質(zhì)量矩陣，CS、CA分別為結(jié)構(gòu)阻尼矩陣、流體阻尼矩陣，δ、f分別為位移響應(yīng)向量、外載荷向量，K為結(jié)構(gòu)剛度矩陣.對(duì)于粘彈性材料，K為復(fù)矩陣;對(duì)于彈性材料，K為實(shí)矩陣.當(dāng)流固耦合較弱時(shí)，忽略阻尼與流體附加質(zhì)量的影響，方程(12)可轉(zhuǎn)換為

式中，fm、fp分別代表結(jié)構(gòu)外載荷向量、聲載荷向量，質(zhì)量矩陣M、剛度矩陣K滿足:

式中:ρ為結(jié)構(gòu)材料密度，Me、Ke分別為單元質(zhì)量矩陣、單元?jiǎng)偠染仃嚕琋δ為形函數(shù)矩陣，本文采用8節(jié)點(diǎn)等參單元.Bδ為應(yīng)變矩陣，D為彈性矩陣，滿足:

式中:v為泊松比.對(duì)于彈性結(jié)構(gòu)，彈性模量E為實(shí)常數(shù);對(duì)于粘彈性結(jié)構(gòu)，E為復(fù)模量，滿足

式中:ER、EI分別為復(fù)模量的實(shí)部、虛部;η為粘彈性材料的損耗因子，滿足

復(fù)模量E與剪切模量G、體積模量K:

當(dāng)入射聲波已知，則散射表面各節(jié)點(diǎn)處的聲壓向量p均可知，此時(shí)可利用方程(13)求得表面各節(jié)點(diǎn)處的結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)向量δ.由諧波假設(shè)條件可知，表面位移向量δ與表面速度向量v滿足:

此時(shí)，表面法向振動(dòng)速度向量vn與表面速度向量v滿足:

式中:n為節(jié)點(diǎn)法向矢量矩陣.將vn代入方程(7)可求得傳遞函數(shù)矩陣H.

進(jìn)行結(jié)構(gòu)固有頻率分析時(shí)，方程(13)可轉(zhuǎn)化為

對(duì)于彈性結(jié)構(gòu)，方程(21)轉(zhuǎn)化為廣義實(shí)特征值問題;對(duì)于粘彈性結(jié)構(gòu)或彈性－粘彈性?shī)A層結(jié)構(gòu)，方程(21)為廣義復(fù)特征值問題，此時(shí)φ是復(fù)特征向量，λ=ω2是復(fù)特征值.將復(fù)特征值λ表示如下:

則第n階模態(tài)損耗因子為

式中:λR、λI是復(fù)特征值λ的實(shí)部和虛部.

本文采用Fortran自編有限元程序，計(jì)算剛性背襯上粘彈性材料的傳遞函數(shù)矩陣H，由方程(6)得到聲阻抗矩陣zn.

3 算例

3.1 算例校核

為校核自編代碼的數(shù)值計(jì)算精度.計(jì)算了文獻(xiàn)［8］中彈性－粘彈性－彈性?shī)A層板結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)的各階模態(tài)頻率fn、模態(tài)損耗因子ηn，并與文獻(xiàn)［8］中的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比.矩形夾芯板的長(zhǎng)寬尺寸為0.304 8 m×0.304 8 m，上、下彈性板的厚度為0.762×10－3m，粘彈性芯層厚度為0.254×10－3m.彈性板的密度為2.737×103kg/m3，彈性模量為6.89×1010N/m2，泊松比為0.3;粘彈性芯層的剪切模量為0.896×106N/m2，密度為0.999×103kg/m3，泊松比為0.5.

表1為本文結(jié)果與文獻(xiàn)［8］結(jié)果的對(duì)比.較好的一致性證明:自編代碼的數(shù)值精度基本能滿足粘彈性材料結(jié)構(gòu)傳遞函數(shù)矩陣H的計(jì)算要求.

表1 結(jié)果對(duì)比Table 1 Results comparison

3.2 數(shù)值模型

本文算例尺寸為500 mm×500 mm×10 mm，材料為3M ISD 112型粘彈性材料的粘彈性板，材料參數(shù)采用5參數(shù)ADF模型［9］進(jìn)行曲線擬合得到.其中剪切模量G、損耗因子η的頻域擬合值與實(shí)驗(yàn)測(cè)量值對(duì)比情況如圖2所示.

圖2 3M ISD 112材料屬性Fig.2 3M ISD 112 material characteristics

剛性背襯位于z2表面，z1為聲散射表面.計(jì)算中z2表面采用剛性邊界，其余各面均為自由邊界.模型簡(jiǎn)圖如圖3所示，粘彈性有限元網(wǎng)格如圖4所示，表面離散點(diǎn)編號(hào)及分布情況如圖5所示.

圖3 模型簡(jiǎn)圖Fig.3 Schematic illustration of the model

圖4 粘彈性有限元網(wǎng)格Fig.4 Viscoelastic finite element mesh

圖5 表面離散點(diǎn)的分布及編號(hào)情況Fig.5 Distribution of dispersing nodes and numbers on surface

3.3 聲阻抗矩陣的計(jì)算

計(jì)算得到傳遞函數(shù)矩陣H后，可由方程(6)求得聲阻抗矩陣zn.由于圖5中1～40號(hào)節(jié)點(diǎn)為邊界點(diǎn)，為忽略邊界的影響，只計(jì)算了41～121號(hào)節(jié)點(diǎn).圖6給出了100、500、1 000 Hz時(shí)表面聲阻抗矩陣zn的數(shù)值結(jié)果，其中行號(hào)、列號(hào)1～81，對(duì)應(yīng)于圖5中41～121號(hào)節(jié)點(diǎn).

由圖6可知，粘彈性板的表面聲阻抗矩陣zn為對(duì)稱、對(duì)角占優(yōu)矩陣.由方程(4)可知，此時(shí)模型表面聲阻抗具有較強(qiáng)的非局域特性，且聲阻抗值z(mì)ij與頻率ω、表面距離rij均有關(guān).

圖6 100、500、1 000 Hz時(shí)，|zn|數(shù)值分布情況Fig.6 Distribution of numerical value|zn|at 100，500 and 1 000 Hz

3.4 非局域聲阻抗的代數(shù)模型

由方程(10)可以求得表面局域聲阻抗值z(mì)locn.［100 Hz，1 000 Hz］時(shí)，局域聲阻抗值z(mì)locn的計(jì)算結(jié)果如圖7所示.由圖可知，局域聲阻抗的幅值隨頻率升高而降低，并且局域聲阻抗的聲阻均為正值，聲抗均為負(fù)值.

圖7 局域聲阻抗zlocn的計(jì)算結(jié)果Fig.7 Results of acoustic impedance

得到zn、z后，利用方程(8)可求得聲阻密度函數(shù)ρR(rij，ω)、聲抗密度函數(shù)ρI(rij，ω)隨rij的變化曲線.然后采用非線性曲線擬合方法，得到方程(9)中各參數(shù)值.本文采用Origin軟件完成非線性曲線擬合.表2為100、500、1 000 Hz的各擬合參數(shù)值.圖8～10為各頻率下聲阻、聲抗密度函數(shù)的計(jì)算值與擬合值的對(duì)比，由圖可知曲線擬合具有較好的數(shù)值精度，說明了代數(shù)模型的合理性.為研究粘彈性材料表面聲阻抗的非局域特性提供了有效的研究方法.同時(shí)由表2可知，隨著頻率的增大，波長(zhǎng)控制參數(shù)λR、λI均減小，這與實(shí)際物理現(xiàn)象是一致的.且聲阻、聲抗密度函數(shù)隨著距離的增加，均呈現(xiàn)出負(fù)冪指數(shù)的振蕩衰減.

表2 擬合參數(shù)的數(shù)值Table 2 Value of fitted parameters

圖8 100 Hz時(shí)，函數(shù)ρR，ρI的結(jié)果對(duì)比Fig.8 Results comparison of function ρR，ρIat 100 Hz

圖9 500 Hz時(shí)，函數(shù)ρR，ρI的結(jié)果對(duì)比Fig.9 Results comparison of function ρR，ρIat 500 Hz

圖10 1 000 Hz時(shí)，函數(shù)ρR、ρI的結(jié)果對(duì)比Fig.10 Results comparison of function ρR、ρIat 1 000 Hz

4 結(jié)束語(yǔ)

本文將Faverjon針對(duì)航空材料聲透射問題所提出的阻抗模型，發(fā)展為適用于粘彈性材料聲散射問題的非局域聲阻抗模型，并將其應(yīng)用于低頻主動(dòng)聲吶探測(cè)時(shí)粘彈性材料表面聲阻抗出現(xiàn)的非局域特性研究方面.

以粘彈性有限元為基礎(chǔ)，針對(duì)粘彈性吸聲材料的聲散射問題，完成了聲阻抗矩陣、非局域聲阻抗代數(shù)模型的求解，分析了粘彈性板表面聲阻抗的局域和非局域特性.結(jié)果表明:代數(shù)模型的計(jì)算值與擬合值具有很好的一致性.進(jìn)一步說明了本文所提出的方法的正確性，且具有較好的計(jì)算精度.為研究聲阻抗的非局域特性，提供了可行的數(shù)值計(jì)算方法.

同時(shí)，在下一步工作中將開展粘彈性材料聲阻抗非局域特性的實(shí)驗(yàn)研究，進(jìn)一步完成本文所提出理論模型和計(jì)算方法的驗(yàn)證.

［1］ROY P K，GANESAN N.A vibration and damping analysis of circular plates with constrained damping layer treatment［J］.Computers and Structures，1993，49(2):269-274.

［2］RAMESH T C，GANESAN N.Finite element analysis of cylindrical shells with a constrained viscoelsatic layer［J］.Journal of Sound and Vibration，1994，172(3):359-370.

［3］王曼.水聲吸聲覆蓋層理論與實(shí)驗(yàn)研究［D］.哈爾濱:哈爾濱工程大學(xué)，2004:78-90.

WANG Man.Theoretical and experimental study on underwater anechoic coating［D］.Harbin:Harbin Engineering University，2004:78-90.

［4］李軍強(qiáng)，劉宏昭，王忠民.線性粘彈性本構(gòu)方程及其動(dòng)力學(xué)應(yīng)用研究綜述［J］.振動(dòng)與沖擊，2005，24(2):116-121.

LI Junqiang，LIU Hongzhao，WANG Zhongmin.Review on the linear constitutive equation and its dynamics applications to viscoelastic materials［J］.Journal of Vibration and Shock，2005，24(2):116-121.

［5］鄒元杰.水中阻尼復(fù)合殼體結(jié)構(gòu)聲振特性的數(shù)值分析［D］.大連:大連理工大學(xué)，2004:101-136.

ZOU Yuanjie.Numeric alanalysis of vibro-acoustic characteristics of underwater damped composite shells［D］.Dalian:Dalian University of Technology，2004:101-136.

［6］ZHANG Q J，SAINSBURY M G.The Galerkin element method applied to the vibration of rectangular damped sandwich plates［J］.Computers and Structures，2000，74(6):717-730.

［7］TRINDADE M A.Reduced-order finite element models of viscoelastically damped beams through internal variables projection［J］.Journal of Vibration and Acoustics，2006，128(4):501-508.

［8］FAVERJON B，SOIZE C.Equivalent acoustic impedance model.Part 1:experiments and semi-physical model［J］.Journal of Sound and Vibration，2004，276(3-5):571-592.

［9］FAVERJON B，SOIZE C.Equivalent acoustic impedance model Part 2:analytical approximation［J］.Journal of Sound and Vibration，2004，276(3-5):593-613.

［10］ZHANG Junjie，LI Tianyun，YE Wenbing，ZHU Xiang.Acoustic radiation of damped cylindrical shell with arbitrary thickness in the fluid field［J］.Journal of Marine Science and Application，2010，9(4):431-438.