郭敬濱，王 嫻，劉海軍，李 真

(天津大學(xué)精密測(cè)試技術(shù)及儀器國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

擺線針輪行星傳動(dòng)具有運(yùn)轉(zhuǎn)平穩(wěn)、傳動(dòng)力矩大、單級(jí)減速比大等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于石油、機(jī)械、輕工、食品、航空及國(guó)防等工業(yè)．?dāng)[線齒輪是擺線齒輪泵和擺線齒輪減速機(jī)中的關(guān)鍵零件，而擺線齒輪的修形量(包括移距、等距)是影響擺線減速機(jī)性能的重要參數(shù)．如何選擇這些參數(shù)、測(cè)出這些參數(shù)，成為人們最關(guān)心的問題．?dāng)[線齒輪的檢測(cè)不僅是為了測(cè)量擺線齒輪的齒形誤差，更重要的是為了獲得實(shí)際修形參數(shù)及判斷擺線齒輪加工時(shí)由于機(jī)床調(diào)整不當(dāng)而產(chǎn)生的加工誤差．為了對(duì)擺線齒輪的全齒廓誤差進(jìn)行測(cè)量及對(duì)修形量進(jìn)行求解，筆者以極坐標(biāo)測(cè)量原理為理論基礎(chǔ)，研究擺線齒輪的極坐標(biāo)跟蹤測(cè)量技術(shù)及修形量參數(shù)的計(jì)算方法．

1 測(cè)量方法

擺線齒輪從齒廓曲線的生成方式來看，其齒形曲線類似于多凸輪曲線，且為直齒齒輪．測(cè)量擺線齒輪齒形誤差可采用的方法有展成法、坐標(biāo)法和嚙合法[1-2]．由于擺線齒廓曲線的形成參數(shù)較多，用展成法測(cè)量和用嚙合法測(cè)量?jī)x器結(jié)構(gòu)都較復(fù)雜．而采用計(jì)算機(jī)控制的坐標(biāo)測(cè)量系統(tǒng)比較容易實(shí)現(xiàn)齒形誤差的測(cè)量．采用坐標(biāo)測(cè)量時(shí)常用的有直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系．采用直角坐標(biāo)系測(cè)量時(shí)，測(cè)頭運(yùn)動(dòng)行程一般相對(duì)較大，且每測(cè)一點(diǎn)，測(cè)頭都經(jīng)歷退讓、移到避障點(diǎn)、移動(dòng)下一點(diǎn)、探測(cè)等步驟；而采用帶有轉(zhuǎn)臺(tái)的極坐標(biāo)系統(tǒng)，不僅測(cè)頭的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)單(測(cè)頭只需要沿工件的徑向作直線運(yùn)動(dòng))、測(cè)量效率較高，且僅把擺線齒形看作是平面曲線，而其生成參數(shù)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)模型中，這樣就容易解決擺線齒輪誤差的測(cè)量問題，其測(cè)量原理如圖 1所示．為了滿足實(shí)時(shí)跟蹤的需要，該儀器采用基于數(shù)字信號(hào)處理器(digital signal processor，DSP)和現(xiàn)場(chǎng)可編程門陣列(field-programmable gate array，F(xiàn)PGA)的數(shù)據(jù)采集和控制系統(tǒng)[3]．利用該測(cè)量技術(shù)可以對(duì)擺線齒輪的齒廓進(jìn)行高效率、連續(xù)自動(dòng)跟蹤測(cè)量，以實(shí)現(xiàn)對(duì)擺線齒輪誤差的綜合測(cè)量和評(píng)定．

圖1 跟蹤測(cè)量系統(tǒng)原理Fig.1 Tracking and measuring system diagram

2 總體測(cè)量方案

采用圖 1所示的測(cè)量原理測(cè)量時(shí)，其測(cè)球中心Mi的極坐標(biāo)值()及測(cè)量壓力角αi計(jì)算式為[4]

式中：rp為針齒中心分布圓半徑；zc為擺線輪齒數(shù)；zp為針輪齒數(shù)；rQ為測(cè)頭球半徑；rrp為針齒半徑；K1= a / rg為短幅系數(shù)，a為偏心距，rg為滾圓半徑；φHp為嚙合相位角．

根據(jù)擺線齒輪的極坐標(biāo)方程，若采用在某一轉(zhuǎn)角iφ下，直接測(cè)量在該轉(zhuǎn)角下極徑iρ的測(cè)量方法，將會(huì)使整個(gè)測(cè)量鏈縮短，易于保證測(cè)量精度，儀器結(jié)構(gòu)也相對(duì)簡(jiǎn)單．為此，采用帶有圓光柵的精密轉(zhuǎn)臺(tái)、直線電機(jī)、球形測(cè)頭及測(cè)微裝置等構(gòu)建測(cè)量機(jī)構(gòu)．將被測(cè)擺線齒輪安裝在轉(zhuǎn)臺(tái)上，球形測(cè)頭和測(cè)微裝置安裝在直線電機(jī)的移動(dòng)座上，將直線電機(jī)自身的長(zhǎng)光柵和導(dǎo)軌作為極坐標(biāo)測(cè)量系統(tǒng)的徑向基準(zhǔn)，而角度基準(zhǔn)為精密轉(zhuǎn)臺(tái)上的圓光柵．圖 2為擺線齒輪測(cè)量裝置的實(shí)物照片．

圖2 測(cè)量裝置實(shí)物照片F(xiàn)ig.2 Measuring device in-kind photo

采用圖2所示裝置進(jìn)行跟蹤測(cè)量時(shí)，控制系統(tǒng)按采樣點(diǎn)(φi,ρi) 同時(shí)控制轉(zhuǎn)臺(tái)和直線電機(jī)運(yùn)動(dòng)，即擺線齒輪隨轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，控制系統(tǒng)按極徑ρi發(fā)出移動(dòng)命令，控制測(cè)頭向理想測(cè)量點(diǎn)(φi,ρi)處移動(dòng)．當(dāng)被測(cè)齒輪旋轉(zhuǎn)到采樣角度φi時(shí)，測(cè)頭也同時(shí)移動(dòng)到點(diǎn)ρi的位置．當(dāng)圓光柵的計(jì)數(shù)值到達(dá)采樣值，即被測(cè)擺線齒輪旋轉(zhuǎn)到采樣角時(shí)，系統(tǒng)發(fā)出采樣信號(hào)，采集長(zhǎng)光柵和測(cè)微裝置的示值．

采用上述跟蹤測(cè)量方案是為了減小測(cè)球磨損，并能防止測(cè)頭在運(yùn)動(dòng)中被卡死．在圖 2所示的微動(dòng)裝置中，在其內(nèi)部彈性機(jī)構(gòu)的作用下，球形測(cè)頭將以一定的壓力作用于旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的齒面上．由于被測(cè)齒廓與測(cè)球之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，將造成測(cè)球的磨損，影響測(cè)量精度．為提高測(cè)量精度、減小測(cè)球的磨損，在測(cè)量過程中，測(cè)頭不依靠測(cè)頭與齒廓接觸點(diǎn)的徑向分力推動(dòng)移動(dòng)(由于齒輪的旋轉(zhuǎn)，在測(cè)頭與齒廓的接觸點(diǎn)將產(chǎn)生徑向分力)，而是由直線電機(jī)控制測(cè)頭主動(dòng)向采樣點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，這樣，使測(cè)頭與齒廓之間的接觸力減小，可在很大程度上避免(或減小)測(cè)球磨損．

3 跟蹤測(cè)量中采樣方式的確定

為了便于進(jìn)行誤差分析及對(duì)修形量進(jìn)行譜分析，測(cè)量時(shí)采用等嚙合相位角方式進(jìn)行采樣．嚙合相位角就是生成擺線時(shí)，滾圓相對(duì)于基圓的轉(zhuǎn)角．嚙合相位角由0°轉(zhuǎn)到360°，生成一個(gè)齒廓的理論短幅外擺線；而擺線齒輪的齒廓是理論短幅外擺線的等距曲線．嚙合相位角能表征擺線齒廓與針齒的嚙合位置，所以，用等嚙合相位角發(fā)采樣信號(hào)比較合理．采用等嚙合相位角采樣時(shí)，其測(cè)量點(diǎn)在齒廓上的分布情況如圖3所示．

圖3 等嚙合相位角Hpφ采樣點(diǎn)分布情況Fig.3 Distribution of sampling points for interval epi- cycloid occurring-angleHpφ

從圖3中可以看出，采樣點(diǎn)在齒廓上的分布不均勻，從齒根到齒頂?shù)牟蓸舆^程中，測(cè)量點(diǎn)逐漸由疏變密，然后又由密變疏到齒根．對(duì)擺線齒輪來說，齒根、齒頂一般不參與嚙合，齒廓中部對(duì)傳動(dòng)起主要作用．按照等嚙合相位角采樣，在齒廓中部的采樣點(diǎn)較密，可以更好地反映齒輪的誤差情況．所以，實(shí)驗(yàn)采用等嚙合相位角采樣，每一齒的采樣點(diǎn)數(shù) N = 3 6．

采用等嚙合相位角φHp方式測(cè)量時(shí)，首先將參變量φHpi（i= 1 ,2,3,…）的值代入式(1)，計(jì)算對(duì)應(yīng)各個(gè)采樣點(diǎn)的極角φi和極徑ρi值．為實(shí)現(xiàn)跟蹤測(cè)量，系統(tǒng)將根據(jù)采樣點(diǎn)的極角φi和極徑ρi值調(diào)整控制參數(shù)，使轉(zhuǎn)臺(tái)的旋轉(zhuǎn)與直線電機(jī)的運(yùn)動(dòng)速度匹配．總之，測(cè)量過程中，轉(zhuǎn)臺(tái)連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，系統(tǒng)控制直線電機(jī)向采樣點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．對(duì)圓光柵進(jìn)行連續(xù)計(jì)數(shù)，當(dāng)計(jì)數(shù)值和采樣點(diǎn)的極角值相等時(shí)，發(fā)出采樣信號(hào)，采集長(zhǎng)光柵、圓光柵和電感測(cè)頭的值；長(zhǎng)光柵和電感測(cè)頭的值之和即為被測(cè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的極徑值．直線電機(jī)繼續(xù)向下一個(gè)采樣點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，直到旋轉(zhuǎn)一周采集完整個(gè)齒廓上的點(diǎn)．根據(jù)這些值就可以算出齒輪各項(xiàng)誤差值．

4 擺線齒輪的修形方法

擺線齒輪與其他齒輪一樣，在嚙合運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，由于一些不可避免的制造誤差(齒距偏差、齒形偏差、偏心誤差等)、熱膨脹及彈性變形等原因，常有發(fā)生齒形干涉的可能，有了齒側(cè)間隙，就能有效地防止上述情況的發(fā)生．為了在傳動(dòng)中形成嚙合側(cè)隙，在加工中就要將擺線齒輪的齒厚減?。?dāng)[線齒輪齒厚減薄是靠改變生成短幅外擺線等距曲線的參數(shù)來進(jìn)行的．但齒厚減薄后，齒廓曲線就偏離了理論的短幅外擺線的等距曲線．通常把這種齒形稱為修正齒形，或稱為設(shè)計(jì)齒形．加工修正齒形的方法稱為齒形修正法[5]．在展成法加工中，通常采用的修正方法有移距修形法和等距修形法．

移距修形法在徑向方向的修形量相同，但是法線方向的修形量不一樣，在齒頂和齒根處的修形量大些，在齒廓中部的修形量小些，如圖4所示．

等距修形使得齒廓在法線方向的修形量相同．為了使擺線齒輪齒頂、齒根部位的修形量大于齒側(cè)面的修形量，采用“負(fù)移距加正等距”的修形方法．正等距修形是將加工用的砂輪圓弧半徑(相當(dāng)于針齒半徑)加大，負(fù)移距修形是將砂輪向齒坯的中心方向移動(dòng)．這樣擺線齒輪與針齒輪嚙合時(shí)，齒頂、齒根部位既有嚙合側(cè)隙，同時(shí)也不會(huì)發(fā)生干涉，有利于擺線齒輪的傳動(dòng)，如圖5所示．

圖4 移距修形法Fig.4 Moved distance modification method

圖5 等距修形法Fig.5 Equidistance modification method

5 用傅里葉變換法求解擺線齒輪的修形量

擺線齒輪的檢測(cè)不僅是為了測(cè)量擺線齒輪的齒形誤差，更重要的是為了獲得實(shí)際修形參數(shù)及判斷加工時(shí)由于機(jī)床調(diào)整不當(dāng)產(chǎn)生的調(diào)整誤差．把實(shí)際齒廓曲線修形量稱為實(shí)際作用值．由于等距修形和砂輪圓弧半徑修整誤差對(duì)齒側(cè)間隙的形成及對(duì)齒廓法向誤差的影響相似，為了便于分析，將兩者統(tǒng)稱為等效等距修形，用Δrrp表示．將移距修形和砂輪沿齒坯徑向進(jìn)給誤差統(tǒng)稱為等效移距修形，用Δrp表示．現(xiàn)采用傅里葉變換的方法求修形量的作用值[6-7]．此值與設(shè)計(jì)者給定的修形量之差即為機(jī)床調(diào)整誤差．

擺線齒輪齒廓的法向誤差主要由等效等距修形、等效移距修形、偏心距調(diào)整誤差和機(jī)床傳動(dòng)鏈誤差引起．文獻(xiàn)[6]利用傅里葉變換的方法，求解了擺線齒輪修形量．但經(jīng)過理論分析發(fā)現(xiàn)，誤差傳遞系數(shù)在頻域?qū)[線齒輪齒廓法向誤差的影響是周期性的，并且均為偶函數(shù)，其傅里葉級(jí)數(shù)的初相位為零，這些誤差傳遞系數(shù)見表1，Krrp、Krp、Ka分別為等距修形、移距修形和偏心距引起的誤差系數(shù)．

表1 各次諧波幅值的誤差傳遞系數(shù)Tab.1 Error transfer coefficients of second harmonic Tab. 1 amplitude

圖6為誤差傳遞系數(shù)曲線．結(jié)合圖6可以看出，等距修形量引起的誤差系數(shù)為-1．Krp為移距修形產(chǎn)生齒廓誤差的傳遞系數(shù)，它的變化為最上面的一條曲線，該曲線包含一個(gè)零次諧波系數(shù)[8]，其值為0.919，說明移距修形量 Δrp中有0.919Δ rp是等效于等距修形量．由于移距修形在齒頂和齒根處的修形量較大，在齒廓中部的修形值較小，且有兩個(gè)最小值，所以包含一個(gè)2次諧波，又由于其幅值不大，占的比重較小，所以系數(shù)為 0.045；同時(shí)還包含有3次諧波和4次諧波等．偏心距引起的誤差系數(shù) Ka比較大，在實(shí)際修形時(shí)，不采用偏心距修形，且在加工過程中，機(jī)床要精確調(diào)整偏心距，使其產(chǎn)生的齒形誤差最小，使偏心距引起的齒形誤差值盡量小，在計(jì)算修形量時(shí)，也同時(shí)計(jì)算出偏心距誤差，以便調(diào)整機(jī)床時(shí)再進(jìn)一步減小它．

圖6 誤差傳遞系數(shù)曲線Fig.6 Error transfer coefficient curves

在頻域下，根據(jù)表1可構(gòu)成方程式

式中 A0、A1、A2分別為擺線齒輪一個(gè)齒廓范圍內(nèi)的零次、1次、2次諧波分量．

將實(shí)驗(yàn)中求得的整個(gè)齒廓上測(cè)得點(diǎn)的法向誤差進(jìn)行傅里葉變換，求得各次諧波的幅值，將零次諧波、1倍齒頻次諧波和 2倍齒頻次諧波的幅值帶入式(2)，得到

解上述聯(lián)立方程，得到

6 結(jié) 語

文中詳細(xì)介紹了擺線齒輪的極坐標(biāo)跟蹤測(cè)量技術(shù)．研究表明，采用該測(cè)量技術(shù)可以對(duì)擺線齒輪的齒廓進(jìn)行高效率、連續(xù)自動(dòng)跟蹤測(cè)量．通過對(duì)等嚙合相位角的采樣方式進(jìn)行分析并進(jìn)行相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)，求解出擺線齒輪的修形量．采用傅里葉變換的方法求解修形量可以消除安裝偏心和機(jī)械傳動(dòng)鏈中的 1次諧波誤差，減小了傳動(dòng)鏈中其他各次諧波誤差的影響，計(jì)算出的測(cè)量值較符合實(shí)際情況．

［1］李 真，莊葆華，吳 邁，等．?dāng)[線齒輪誤差與測(cè)量技術(shù)[J]. 機(jī)械傳動(dòng)，1997，21(1)：38-41.

Li Zhen，Zhuang Baohua，Wu Mai，et al．The cycloidal gear error and measuring technology[J].Journal of Mechanical Transmission，1997，21(1)：38-41(in Chinese).

［2］Lin Qijun，Guan Zhongmin. Measuring method of epicycloid rotor profile on 3-D coordinate measuring machine[C]//Proceedings of the1st China-Japan International Composition on Precision Machinery and Instrument Engineerings．Shanghai，China，ISPIE’97，1997.

［3］鄭曉峰，方 凱，黃迎華. 一種基于DSP和FPGA的多軸運(yùn)動(dòng)控制卡的設(shè)計(jì)[J]. 自動(dòng)化與儀器儀表，2006(4)：18-20.

Zheng Xiaofeng，F(xiàn)ang Kai，Huang Yinghua．One kind of design for multiple spindle movement control card based on DSP and FPGA[J].Automation and Instrumentation，2006(4)：18-20(in Chinese)．

［4］李 真，莊葆華，吳 邁，等．?dāng)[線齒輪誤差測(cè)量?jī)x[J]．工具技術(shù)，1996，30(5)：39-42.

Li Zhen，Zhuang Baohua，Wu Mai，et al．The cycloidal gear error measuring instrument[J].Tool Engineering，1996，30(5)：39-42(in Chinese).

［5］齒輪手冊(cè)編委會(huì)．齒輪手冊(cè)(上冊(cè))[M]. 2版．北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2001．

Gear Handbook Editorial Committee.Gear Handbook(Volume one)[M]. 2nd ed. Beijing：China Machine Press，2001(in Chinese)．

［6］翟海云．?dāng)[線齒輪誤差及其在線檢測(cè)技術(shù)的研究[D]．天津：天津大學(xué)精密儀器與光電子工程學(xué)院，1998：1-10.

Zhai Haiyun. Study on the Cycloidal Gear Error and Its On-Line Measurement Technology[D]. Tianjin：School of Precision Instrument and Opto-Electronics Engineering，Tianjin University，1998：1-10(in Chinese)．

［7］張世安．?dāng)[線針輪行星傳動(dòng)中擺線輪最佳修形量的分析與計(jì)算[J]. 機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2002，21(6)：906-908.

Zhang Shi′an．The optimum profile analysis and calculation on cycloid disks in the cycloid gearing mechanism with small teeth difference[J].Mechanical Science and Technology，2002，21(6)：906-908(in Chinese)．

［8］翟海云，畢鋒杰，陳林才，等．?dāng)[線磨齒加工誤差的研究[J]. 機(jī)械傳動(dòng)，1998，22(2)：20-22.

Zhai Haiyun，Bi Fengjie，Chen Lincai，et al．Study on the cycloidal attrition gear’s processing error[J].Journal of Mechanical Transmission，1998，22(2)：20-22(in Chinese)．