郭方圣，魏修亭

(山東理工大學(xué)精密制造與特種加工省級重點實驗室，山東 淄博 255049)

0 引言

漸開線齒輪是常用的機械零件，在其輪廓曲線的加工與測量過程中，都需要通過插補原理形成漸開線，以便通過數(shù)控的方法完成齒廓的加工與測量。本文即是在萬能式齒輪測量機的改造過程中，根據(jù)齒輪測量時測頭控制系統(tǒng)形成漸開線的需要，而提出的一種漸開線的插補方法。

目前，常用的數(shù)控插補方法有逐點比較法、數(shù)字積分法、比較積分法和數(shù)據(jù)采樣法，其中比較積分法主要適用于直線以及圓、橢圓、雙曲線等二次曲線的插補。在漸開線插補方面，文獻(xiàn)［1-6］基于數(shù)字積分法、數(shù)據(jù)采樣法等方法介紹了漸開線的各種插補方法，國外的文章則少有介紹。

在基于逐點比較法的基礎(chǔ)上并結(jié)合其它的相關(guān)數(shù)控插補理論［7-8］提出了一種漸開線的插補方法。由于漸開線的坐標(biāo)方程一般都是由參數(shù)方程的方式表示出來，在已知漸開線上某點坐標(biāo)反求角度難度較大，采用本方法避免了反求角度的問題，因此使用本方法可以減少計算難度與計算量。

1 插補原理

逐點比較法的插補原理［9-10］，是被控對象在按照規(guī)定的軌跡運動時，每走一步與規(guī)定的軌跡進行一次比較，然后根據(jù)比較結(jié)果決定下一步的進給方向。但是由于漸開線的表達(dá)式一般都是以角度作為參數(shù)的參數(shù)方程的形式給出，要實現(xiàn)逐點比較需根據(jù)已知點值再求角度，計算量以及計算難度都比較大。本文所采用的方法是先將漸開線上兩點用直線連接，再求出這兩點的切線，然后再求出這兩點的連線與這兩點的切線的夾角的角平分線，以及兩條角平分線的交點。以漸開線上這兩點以及角平分線的交點的連線代替漸開線進行插補，可以比較容易的實現(xiàn)逐點比較的功能，并且能夠減少計算量計算難度。

已知漸開線上點:

式中，xi——直角坐標(biāo)系中漸開線上x軸坐標(biāo)值;

yi——直角坐標(biāo)系中漸開線上y軸坐標(biāo)值;

r——漸開線基圓半徑;

θi——漸開線上對應(yīng)(xi，yi)點是漸開線的展角值。

那么可以通過求導(dǎo)獲得漸開線上點(xi，yi)的切線的斜率ki的值:

同樣的漸開線上另一點:

式中，xi+1——直角坐標(biāo)系中漸開線上x軸坐標(biāo)值;

yi+1——直角坐標(biāo)系中漸開線上y軸坐標(biāo)值;

r——漸開線基圓半徑;

θi+1——漸開線上對應(yīng)(xi+1，yi+1)點是漸開線的展角值;

Δθ——從 θi到 θi+1的展角變化量。

那么漸開線上點(xi+1，yi+1)的切線的斜率ki+1的值:

因此就可以通過斜率 ki，ki+1以及點(xi，yi)，(xi+1，yi+1)求得漸開線上相應(yīng)點的切線 li，li+1。

漸開線上點(xi，yi)的切線方程li的表達(dá)式為:

漸開線上點(xi+1，yi+1)的切線方程li+1的表達(dá)式為:

連接漸開線上相鄰兩點(xi，yi)，(xi+1，yi+1)的直線lli的斜率kli等于:

因此連線lli的方程為:

根據(jù)連線lli的斜率kli可以求得直線lli與x軸正方向的夾角φi:

這樣可以求得連接漸開線上相鄰兩點的直線lli分別與漸開線上(xi，yi)點的切線 lli以及(xi+1，yi+1)點的切線li+1的夾角γid和γiu。

這樣直線lli分別與漸開線上(xi，yi)點的切線li的夾角γid為:

直線lli分別與漸開線上(xi+1，yi+1)點的切線li+1的夾角γiu為:

求直線lli與(xi，yi)點的切線的夾角的角平分線與x軸正方向的夾角是:

對應(yīng)的斜率:

類似的直線lli與(xi+1，yi+1)點的切線的夾角的角平分線與x軸正方向的夾角是:

對應(yīng)的斜率:

因此可以求得直線lli與(xi，yi)點的切線的角平分線 lαi的直線方程是:

同樣也可以求得直線lli與(xi+1，yi+1)點的切線的角平分線lβi的直線方程是:

根據(jù)方程 lαi與方程 lβi可以求出直線 lαi與直線 lβi相交于點(xim，yim)，這樣點(xi，yi)、(xim，yim)與(xi+1，yi+1)連線進行插補。

下面圖1是漸開線上各點、線之間的位置關(guān)系圖。

圖1 漸開線插補各直線之間的位置關(guān)系

在從點(xi，yi)到點(xi+1，yi+1)之間進行插補，設(shè)(xt，yt)為插補點。首先，插補點在從點(xi，yi)到點(xim，yim)之間進行插補，與直線 lαi作比較，此段為插補完成依然在這段直線之間進行插補，如果在此段直線之間插補完成則進行下一段的插補，下一段插補與直線lβi進行比較。

1.1.1 插補從點(xi，yi)到點(xim，yim)之間

當(dāng)插補點在直線上(包括在直線上)時

保持y坐標(biāo)不變，x坐標(biāo)加上相應(yīng)的進給量，即:

x向右。

其中Δl為單位脈沖進給當(dāng)量。

當(dāng)插補點在直線下時:

保持x坐標(biāo)不變，y坐標(biāo)加上相應(yīng)的進給量，即:

y向上。

令:

根據(jù)上面的分析可知如果插補點在直線上(包括在直線上)Ft≥0:

新得到的點的偏差值Ft+1:

化簡后即得到:

類似的若插補點在直線下方，可得到新的插補點的偏差值Ft+1:

由此可見新得到的點的偏差值Ft+1完全可以從前一點的偏差值Ft遞推出來，根據(jù)偏差判別函數(shù)來確定下一步的插補進給方向。

1.1.2 插補從點(xim，yim)到點(xi+1，yi+1)之間

同1.1.1，可以推出在從點到(xim，yim)點(xi+1，yi+1)之間的插補關(guān)系，偏差判別函數(shù)Ft為:

如果插補點在直線上(包括在直線上)時:

在直線下時:

1.2 其它情況插補

表1 漸開線插補的進給與偏差計算

2 誤差分析

圖2是本方法的誤差分析圖，由圖可知每段產(chǎn)生插補誤差最大的點，最可能發(fā)生在漸開線上切線平行于角平分線的點或者是兩條角平分線的交點處，在不考慮脈沖增量所引起的誤差的情況下下面分別求出以下三點的誤差。

圖2 插補誤差分析圖

2.1 下角平分線誤差

下角平分線的方程式為:

根據(jù)上式以及圖2可以求得漸開線上點(xα，yα)即是下角平分線插補誤差最大的點，根據(jù)點到直線的距離公式可以得到此段插補誤差最大值dα為:

2.2 上角平分線誤差

類似的可以得到上角平分線插補誤差最大值dβ為:

2.3 交點誤差

如果上下兩條角平分線的交點坐標(biāo)設(shè)為(xj，yj)，那么交點誤差dj可以求得:

其中 θ∈［θi，θi+1］通過計算比較可知 dβ＞ dα＞ dj，并且當(dāng)Δθ減小是誤差減小，在Δθ固定時時 dβ、dα誤差隨著θ的增大，因此可以通過調(diào)節(jié)Δθ的大小來調(diào)整誤差值的大小，并且只要最后一點滿足要求即可。

表2Δθ為時各段誤差

表2Δθ為時各段誤差

表3Δθ為時各段誤差

表3Δθ為時各段誤差

根據(jù)表2和表3也可以知道補償誤差隨著Δθ以及θ的增加而變大，因此只要控制Δθ使θ在最大值是插補誤差滿足要求即可滿足插補的要求。

3 插補算法

根據(jù)漸開線插補原理做出漸開線插補算法流程圖，圖3是漸開線的插補算法流程圖。

圖3 插補算法流程圖

4 算法實現(xiàn)

4.1 模擬插補效果圖

圖4是根據(jù)本文提出的方法采用matlab編程實現(xiàn)的漸開線插補效果圖，其中圖a是時的插補效果圖，圖b是時的插補效果圖，圖c是時的插補效果圖。

根據(jù)圖4a可以看到當(dāng)Δθ固定時，隨著θ的增大插補誤差也增大，因此只要使θ在最大值時的誤差達(dá)到精度要求，其它位置都可以達(dá)到精度要求。對比圖a、b和圖c可以看出Δθ越小插補線與理論漸開線的吻合度越高，由圖c可以看出當(dāng)(1°)時，插補線與理論漸開線幾乎完全吻合。

4.2 插補程序

5 結(jié)束語

本文提出了一種新的漸開線的插補方法，通過公式理論推導(dǎo)以及誤差分析，并用matlab編程實現(xiàn)插補運算，其插補軌跡與理論漸開線吻合度好，可以實現(xiàn)插補誤差的控制，滿足精度要求。同時該方法調(diào)節(jié)方便，可以方便的移植到計算能力較強的數(shù)控裝置如漸開線齒輪加工以及測量設(shè)備當(dāng)中，對減少產(chǎn)品開發(fā)時間、降低成本具有重要意義。

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