張賢明 陳國(guó)強(qiáng) 王立存，2 牟 瑛 陳 彬

1．重慶工商大學(xué)廢油資源化技術(shù)與裝備教育部工程研究中心，重慶，400067 2．西安交通大學(xué)流體機(jī)械及壓縮機(jī)國(guó)家工程研究中心，西安，710049

0 引言

渦旋壓縮機(jī)是基于容積變化來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)氣體壓縮的流體機(jī)械，它具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單緊湊、高效節(jié)能、微震低噪聲以及可靠性高等一系列的優(yōu)點(diǎn)，使得渦旋壓縮機(jī)在制冷和空調(diào)領(lǐng)域的應(yīng)用有著飛速的發(fā)展，并且有在更大范圍應(yīng)用的趨勢(shì)。渦旋壓縮機(jī)的核心技術(shù)是動(dòng)靜渦旋盤(pán)的渦旋型線(xiàn)形狀設(shè)計(jì)［1］。目前渦旋壓縮機(jī)型線(xiàn)一般是利用圓的漸開(kāi)線(xiàn)以及其修正曲線(xiàn)。它們的幾何性質(zhì)較簡(jiǎn)單，在加工工藝過(guò)程上較為方便。然而，包括圓的漸開(kāi)線(xiàn)在內(nèi)的傳統(tǒng)單一型線(xiàn)，其幾何特性和數(shù)學(xué)模型存在一定局限性。基于以上緣故，本文提出基于泛函的通用渦旋型線(xiàn)理論，即根據(jù)平面曲線(xiàn)弧微分固有方程理論［2－3］和 Tayl or級(jí)數(shù)思想，任意函數(shù)曲線(xiàn)的數(shù)學(xué)表達(dá)式都可以將其展開(kāi)為切向角參數(shù)φ的級(jí)數(shù)的弧函數(shù)形式。它包含了所有單一型線(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，可在不同場(chǎng)合運(yùn)用優(yōu)化的思想得到綜合各目標(biāo)函數(shù)最佳的型線(xiàn)方程，本文就通用渦旋型線(xiàn)幾何理論進(jìn)行了研究推導(dǎo)。

1 渦旋型線(xiàn)向量形式分析

1．1 節(jié)線(xiàn)方程

文獻(xiàn)［4-6］已經(jīng)證明控制方程Rg＝d Rs／dφ是對(duì)于任意曲線(xiàn)耦合的控制方程。它是渦旋型線(xiàn)耦合的必要條件，而非充分條件。如圖1所示P向量的位置方程為

其中，Rs與Rg垂直且Rg＝d Rs／dφ。由此得到其節(jié)線(xiàn)方程亦即得到任意一條型線(xiàn)方程：

圖1 曲線(xiàn)方程沿其切向和法向的分解

由節(jié)線(xiàn)方程得到有厚度的內(nèi)外渦旋型線(xiàn)：

式中，t為渦旋型線(xiàn)的厚度。

動(dòng)渦盤(pán)型線(xiàn)P′是通過(guò)靜渦盤(pán)型線(xiàn)P沿旋轉(zhuǎn)180°角，再在θ方向平移Ror得到。

1．2 曲率及曲率半徑

根據(jù)節(jié)線(xiàn)方程可得曲率以及曲率半徑［7］：

同理有

同理有Po、Pi的曲率半徑為

當(dāng)曲率半徑的倒數(shù)大于零，即ρ′＞0，則可形成渦旋型線(xiàn)。

1．3 直角坐標(biāo)下的坐標(biāo)表示

直角坐標(biāo)下的坐標(biāo)表示如下：

式中，t為厚度，它是關(guān)于φ的函數(shù)；θ為公轉(zhuǎn)角度；Ror為動(dòng)靜渦盤(pán)的公轉(zhuǎn)半徑。

1．4 型線(xiàn)線(xiàn)長(zhǎng)

型線(xiàn)線(xiàn)長(zhǎng)為

2 渦旋型線(xiàn)泛函表征分析

2．1 基于泛函理論的渦旋型線(xiàn)

渦旋型線(xiàn)是由幾何共扼型線(xiàn)構(gòu)成的，根據(jù)平面曲線(xiàn)弧微分固有方程理論［4-5］和Taylor級(jí)數(shù)思想，任意函數(shù)曲線(xiàn)的數(shù)學(xué)表達(dá)式都可以將其展開(kāi)為切向角參數(shù)φ的級(jí)數(shù)的弧函數(shù)形式；反之，只要曲率半徑ρ（φ）是關(guān)于切向角參數(shù)φ的遞增函數(shù)，均可通過(guò)切向角參數(shù)φ的級(jí)數(shù)的弧函數(shù)形式來(lái)表征任意共扼函數(shù)曲線(xiàn)。同時(shí)，三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等均可用冪級(jí)數(shù)函數(shù)來(lái)表達(dá)［8-9］。根據(jù)現(xiàn)有渦旋型線(xiàn)的級(jí)數(shù)表達(dá)形式的共有特性構(gòu)成的共扼曲線(xiàn)可表達(dá)為函數(shù)類(lèi)的級(jí)數(shù)形式［10］：

式中，c0，c1，…，cn均為渦旋型線(xiàn)的系數(shù)；s（φ）渦旋型線(xiàn)方程的弧度函數(shù)。

與上述渦旋型線(xiàn)的向量表示類(lèi)似，基于渦旋型線(xiàn)的幾何性質(zhì)，其曲率半徑、線(xiàn)長(zhǎng)分別為

結(jié)合向量形式的渦旋型線(xiàn)可得

2．2 t與R or之間的關(guān)系

當(dāng)任意一對(duì)共軛點(diǎn)接觸時(shí)，兩渦盤(pán)的中心距離為一常量，圓周公轉(zhuǎn)平動(dòng)半徑為Ror，如圖2所示，即將兩個(gè)渦旋盤(pán)中心重合放置在一起，任意一對(duì)共軛點(diǎn)在垂直于相應(yīng)表面的方向上相距為Ror。此時(shí)，t與Ror之間的關(guān)系為

圖2 t與R or之間關(guān)系圖

2．3 行程容積A p

對(duì)通用渦旋型線(xiàn)集成型線(xiàn)渦旋壓縮機(jī)而言，其壓縮比和體積利用系數(shù)是非常重要的性能指標(biāo)，它們對(duì)提高壓縮性能和對(duì)整個(gè)空壓系統(tǒng)工作性能的影響關(guān)系較大。所以行程容積的計(jì)算是至關(guān)重要的。在實(shí)際中，動(dòng)靜渦盤(pán)是有厚度的，我們?cè)O(shè)厚度為t。通過(guò)節(jié)線(xiàn)方程平移的原則沿節(jié)線(xiàn)法向平移t／2距離得到型線(xiàn)動(dòng)靜渦盤(pán)型線(xiàn)方程。于是可求出動(dòng)靜渦盤(pán)內(nèi)外型線(xiàn)圍成的區(qū)域面積（圖3）［10-12］。

圖3 動(dòng)靜渦盤(pán)形成動(dòng)態(tài)壓縮腔

月牙形動(dòng)態(tài)壓縮腔面積（圖4）為

圖4 靜渦盤(pán)與動(dòng)渦盤(pán)所圍面積域

由此可得

3 通用渦旋型線(xiàn)舉例

當(dāng)k＝3，公轉(zhuǎn)半徑Ror＝2 mm，大盤(pán)半徑R＝40 mm的情況下研究其渦旋型線(xiàn)的幾何特性。

3．1 型線(xiàn)方程及線(xiàn)長(zhǎng)

型線(xiàn)線(xiàn)長(zhǎng)為

3．2 直角坐標(biāo)系下表征

由幾何特性知：

則有其渦旋型線(xiàn)直角坐標(biāo)表征為

渦旋型線(xiàn)形狀如圖5所示。

圖5 渦旋型線(xiàn)形狀

3．3 行程容積與壓縮比及渦旋盤(pán)的利用率

通過(guò)MATLAB編程計(jì)算可得此渦旋型線(xiàn)行程容積與壓縮比。

4 結(jié)論

（1）針對(duì)單一渦旋型線(xiàn)受其固定數(shù)學(xué)模型固有特性的限制，提出基于泛函的通用渦旋型線(xiàn)形式設(shè)計(jì)思路?；诜汉耐ㄓ脺u旋型線(xiàn)是所有渦旋型線(xiàn)類(lèi)型的集合，是渦旋型線(xiàn)設(shè)計(jì)的新思路。

（2）本文就基于泛函的通用型線(xiàn)形式，從控制方程入手，結(jié)合泰勒級(jí)數(shù)思想，在笛卡爾直角坐標(biāo)系下，討論研究了其曲率半徑、行程容積、型線(xiàn)線(xiàn)長(zhǎng)的特性；渦旋型線(xiàn)厚度t變化，公轉(zhuǎn)半徑Ror與型線(xiàn)方程之間的關(guān)系，以及在直角坐標(biāo)系下渦旋型線(xiàn)的表示。

（3）舉例說(shuō)明了基于泛函理論的通用渦旋型線(xiàn)幾何特性?；诜汉耐ㄓ脺u旋型線(xiàn)的研究為渦旋壓縮機(jī)型線(xiàn)設(shè)計(jì)拓寬了思路。

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［5］ 樊靈，屈宗長(zhǎng)，勒春梅．渦旋壓縮機(jī)型線(xiàn)研究的概述［J］．機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2000，36（9）：1－4．

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