劉志松
(浙江海洋學(xué)院數(shù)理與信息學(xué)院,浙江舟山 316004)
1910年Haar構(gòu)造了緊支撐Haar函數(shù)系,但是直到80年代人們才真正開始研究小波,1986年,Mallat和Meyer提出了多分辨分析理論(Multi-resolution Analysis,簡(jiǎn)記MRA),為小波的構(gòu)造提供了一般的途徑。多分辨分析的思想是小波分析的核心,是理論和應(yīng)用的結(jié)晶。從此,小波分析真正形成為一門學(xué)科,由于其數(shù)學(xué)的完美性和應(yīng)用的廣泛性,使其在科學(xué)應(yīng)用上得到了迅速發(fā)展,它是調(diào)和分析發(fā)展史上里程碑式的進(jìn)展。
長(zhǎng)期以來(lái),傳統(tǒng)的Fourier變換在信號(hào)分析、處理中起了十分重要的作用,也是信號(hào)去噪的主要手段。但是給信號(hào)去噪的同時(shí),存在著保護(hù)信號(hào)和抑制噪聲之間的矛盾。而且在實(shí)際應(yīng)用中,大多數(shù)信號(hào)都是非平穩(wěn)的,這給Fourier變換對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)去噪帶來(lái)了困難。近年來(lái),小波理論得到了迅速的發(fā)展,由于其良好的時(shí)頻特性在信號(hào)去噪領(lǐng)域受到了許多學(xué)者的重視。
在實(shí)際工程問(wèn)題中,我們得到的原始信號(hào)總會(huì)混雜著一定的噪聲,而噪聲的存在嚴(yán)重地干擾了信號(hào)的本質(zhì)特征。因此,在對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理時(shí),對(duì)噪聲加以消除或減小,以便最大程度的提取原始信號(hào)中的有用信息,是非常必要的。
在實(shí)際問(wèn)題中,信號(hào)去噪性能好壞有許多的標(biāo)準(zhǔn),下面我們介紹三種常用標(biāo)準(zhǔn):
1)信噪比。信噪比是指信號(hào)的功率與噪聲功率的比值,常被用來(lái)作為去噪效果評(píng)價(jià)的指標(biāo),信噪比的單位是分貝,去噪后的信噪比越大說(shuō)明消噪效果越好.
2)信噪比增益。文獻(xiàn)[1]將信噪比增益作為去噪效果的指標(biāo),它的定義是去噪后的信噪比與去噪前的信噪比的比值,去噪比增益越大,說(shuō)明消噪效果越好。
3)均方根誤差。均方根誤差是指原始信號(hào)與去噪后的估計(jì)信號(hào)的均方根。
在信號(hào)處理和分析中,通常把信號(hào)分為平穩(wěn)信號(hào)和非平穩(wěn)信號(hào)。信號(hào)的噪聲一般集中在高頻,而有用信號(hào)的頻譜又是主要集中在一個(gè)有限的低頻空間里。處理實(shí)際問(wèn)題時(shí),人們總是希望把噪聲減小到可以忽略不計(jì)的程度,而使其能完全重構(gòu)出信號(hào)的本來(lái)面貌。所以信號(hào)去噪有很多的方法,最常用的是Fourier變換方法和基于小波變換的信號(hào)去噪方法。
Fourier變換是數(shù)學(xué)分析中的重要分支,經(jīng)過(guò)近些年的發(fā)展,使得它的應(yīng)用領(lǐng)域得到大大的擴(kuò)大,現(xiàn)已成為眾多科學(xué)領(lǐng)域里重要的應(yīng)用工具之一。
在信號(hào)分析中,對(duì)信號(hào)的基本刻化往往采取兩種最基本的形式,即時(shí)域形式和頻域形式。Fourier變換是將信號(hào)的時(shí)域特征和頻域特征聯(lián)系起來(lái),能分別從信號(hào)的時(shí)域和頻域觀察。設(shè)原始信號(hào)為f(t),其Fourier
從物理意義上講,F(xiàn)ourier變換的實(shí)質(zhì)是把f(t)這個(gè)波形分解成許多不同頻率的正弦波的疊加和,因此Fourier變換在時(shí)間域上沒(méi)有任何分辨率。這樣在利用Fourier變換做信號(hào)分析時(shí)就面臨著一對(duì)矛盾:時(shí)域和頻域的局部化矛盾。在實(shí)際信號(hào)處理中,尤其是在對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的處理中,信號(hào)在任一時(shí)刻附近的頻率特征都很重要,這促使我們尋求中能將時(shí)域和頻域結(jié)合起來(lái)描述和觀察信號(hào)的方法。
為了克服標(biāo)準(zhǔn)Fourier變換在時(shí)頻局部化的不足,Dennis Gabor于1946年引入了窗口Fourier變換。窗口Fourier變換雖具有一定的局部分析能力,但它的窗口是確定的,不能改變的,它只具有單分辨率的分析,對(duì)平穩(wěn)信號(hào)有一定的分析能力,但對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)它無(wú)法根據(jù)信號(hào)的變化情況來(lái)調(diào)整時(shí)頻分辨率。
近年來(lái),利用小波變換進(jìn)行信號(hào)去噪始終是一個(gè)熱門課題。小波分析作為一種全新的信號(hào)處理方法,它將信號(hào)中各種不同的頻率成分分解到互不重疊的頻帶上,為信號(hào)濾波、信噪分離和特征提取提供了有效途徑,特別在信號(hào)去噪方面顯出了獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。
小波分析是Fourier分析思想方法的發(fā)展和延拓,能同時(shí)在時(shí)域和頻域內(nèi)進(jìn)行局部化信號(hào)分析。是一種優(yōu)于Fourier變換和窗口Fourier變換的信號(hào)處理方法,現(xiàn)在已經(jīng)迅速發(fā)展成一門新興的學(xué)科。
小波變換[3]是一種信號(hào)的時(shí)間-頻率分析方法,它具有多分辨率分析的特點(diǎn),而且在時(shí)頻兩域都具有表征信號(hào)局部特征的能力,小波分析的這種特性被譽(yù)為數(shù)學(xué)的顯微鏡。小波變換將信號(hào)分解為一系列由某個(gè)母小波函數(shù)經(jīng)過(guò)平移與尺度變化得到的小波函數(shù)的疊加,用不同尺度小波對(duì)同一信號(hào)進(jìn)行逼近有利于對(duì)信號(hào)進(jìn)行逐步細(xì)致的分析,這是小波分析的基本思想。它的這種特性,使小波變換具有對(duì)信號(hào)的自適應(yīng)性,這決定了小波變換對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻分析時(shí)所具有的時(shí)頻局部化的能力。
設(shè)ψ(t)∈L(2R)是平方可積即能量有限的信號(hào),當(dāng)其Fourier變換滿足允許條件時(shí),我們稱它為一個(gè)母小波。將母函數(shù)ψ(t)經(jīng)伸縮和平移后,就可以得到一組小波基函數(shù)。對(duì)母小波進(jìn)行縮放和平移操作,進(jìn)而計(jì)算信號(hào)在小波分解下的系數(shù),所得系數(shù)代表著小波和局部信號(hào)間的相互關(guān)系。小波分析分為連續(xù)小波變換和離散小波變換,在實(shí)際信號(hào)處理中,我們通常使用二進(jìn)制離散小波序列
原始輸入信號(hào)S通過(guò)2個(gè)互補(bǔ)的濾波器產(chǎn)生低頻A和高頻D 2個(gè)信號(hào),對(duì)大多數(shù)信號(hào)來(lái)說(shuō),低頻部分是最重要的,基本體現(xiàn)了信號(hào)的特征,而高頻部分是信號(hào)的細(xì)節(jié)部分,與信號(hào)噪聲聯(lián)系在一起。小波分解是將信號(hào)的低頻部分反復(fù)分解,而對(duì)高頻部分不做第二次分解,只對(duì)低頻做第二次分解,反復(fù)分解低頻部分,這樣就得到小波分解樹。例如對(duì)信號(hào)S的分解如圖1所示。
信號(hào)以三層分解來(lái)進(jìn)行說(shuō)明:S=A1+D1=A2+D2+D1=A3+D3+D2+D1.如果要進(jìn)一步的分解,則可以把信號(hào)分解的低頻部分A3分解成低頻A4和高頻D4,以下再分解依此類推。但是在實(shí)際應(yīng)用中,對(duì)信號(hào)的分解不是任意的,而是可以選擇合適的分解層數(shù)。從圖1可以看出,對(duì)低頻部分進(jìn)行進(jìn)一步的分解,使頻率的分解率變得越來(lái)越高?;谛〔ǖ男盘?hào)去噪問(wèn)題在數(shù)學(xué)上是一個(gè)函數(shù)逼近的問(wèn)題,從信號(hào)處理的角度來(lái)看,小波去噪問(wèn)題就是一個(gè)信號(hào)濾波問(wèn)題,小波去噪實(shí)際上是特征提取和低通濾波的綜合,所以還成功地保留原有真實(shí)信號(hào)的特征信息。
在實(shí)際中,通常有用信號(hào)的基本特性都集中在低頻部分,信號(hào)細(xì)節(jié)部分和噪聲通常都表現(xiàn)在高頻部分,因此我們要進(jìn)行小波消噪有三個(gè)步驟:
1)選擇一個(gè)小波并決定小波分解層次N,然后對(duì)信號(hào)S進(jìn)行N層小波分解。找到合適的小波基對(duì)于信號(hào)的消噪是很重要的。
2)小波分解高頻系數(shù)的閾值量化,其關(guān)鍵指出就是如何選取閾值和如何進(jìn)行閾值的量化,這關(guān)系到消噪的質(zhì)量。
3)由小波系數(shù)進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)。信號(hào)消噪的算法流程圖如圖2所示。
利用小波分析進(jìn)行信號(hào)消噪具有重要意義,它是一種時(shí)頻聯(lián)合分析方法,它在時(shí)域和頻域都具有良好的局部化特性,在信號(hào)去噪中小波變換得到了廣泛的應(yīng)用。小波包分析是比小波分析更為精細(xì)的多尺度分析,小波包分析的出現(xiàn)也給信號(hào)去噪方法帶來(lái)了新的活力,利用小波包分析給信號(hào)去噪成為信號(hào)處理領(lǐng)域中的研究熱點(diǎn)。
3.3.1 一維平穩(wěn)信號(hào)的去噪仿真
小波對(duì)平穩(wěn)信號(hào)去噪處理的方法一般有三種[2,4-11],分別為:
默認(rèn)閾值消噪處理:即先在MATLAB產(chǎn)生信號(hào)的默認(rèn)閾值,然后確定參數(shù)進(jìn)行消噪處理;強(qiáng)制消噪處理:它是把小波分解中的高頻部分全部濾除掉,然后再對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)處理;給定軟(或硬)閾值消噪處理:閾值的取值是去噪的關(guān)鍵部分,該方式可以通過(guò)一些經(jīng)驗(yàn)閾值計(jì)算公式獲得閾值,這樣的值比默認(rèn)的閾值更具有可信度,多次嘗試以獲得最佳消噪效果。通過(guò)含噪一維平穩(wěn)信號(hào)在MATLAB中的仿真說(shuō)明去噪效果 (程序略),如圖3所示。
圖1 小波分解樹Fig.1 Wavelet decomposition tree
圖2 信號(hào)消噪算法流程圖Fig.2 Flow chart o f signal de-noising
從圖3可以看出,通過(guò)Fourier變換對(duì)平穩(wěn)信號(hào)消噪有一定效果,但不夠理想;若采用強(qiáng)制消噪的方法,處理后的信號(hào)比較光滑,但同時(shí)也去掉了含噪信號(hào)中某些有用的信息;而默認(rèn)閾值處理和給定閾值消噪處理則在實(shí)際應(yīng)用中更實(shí)用能達(dá)到較為理想的效果。
3.3.2 一維非平穩(wěn)信號(hào)的去噪
在實(shí)際工程中,我們所遇到的大部分是非平穩(wěn)信號(hào),所要分析的信號(hào)可能包含許多尖峰或突變部分,且噪聲不是平穩(wěn)的白噪聲,對(duì)這種信號(hào)進(jìn)行分析處理,首先要做預(yù)處理,將噪聲去除,提取有用信號(hào)。小波分析能有效區(qū)別信號(hào)中的突變部分和噪聲,從而實(shí)現(xiàn)非平穩(wěn)信號(hào)的消噪。下面對(duì)一個(gè)含有噪聲的矩形波信號(hào)進(jìn)行消噪,通過(guò)MATLAB進(jìn)行仿真試驗(yàn)(程序略),得到如表1和圖4所示結(jié)果。
圖3 平穩(wěn)信號(hào)的去噪仿真圖Fig.3 De-noising simulation figures of stable signal
表1 對(duì)比消噪效果Tab.1 Effect of de-noising comparison
從圖4可以看出小波閾值去噪方法是最易實(shí)現(xiàn)、計(jì)算量最小的一種方法,但閾值的選取比較困難,另外閾值降噪對(duì)信噪比較低的信號(hào)去噪效果不是很好,本文的方案仍然需要進(jìn)一步的研究和改進(jìn)。用小波進(jìn)行信號(hào)消噪可以很好的保持信號(hào)的尖峰和突變部分,對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的噪聲消除具有無(wú)可比擬的優(yōu)點(diǎn),尤其是在確定最佳閾值后能取得很好的消噪效果.
3.3.3 基于復(fù)小波的圖像去噪
在圖像去噪方面,試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)復(fù)小波具有良好的去噪效果。Matlab試驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。
圖4 非平穩(wěn)信號(hào)的去噪仿真圖Fig.4 De-noising simulation figures of stationary signal
圖5 海洋學(xué)院文心湖照片去噪Fig.5 Figure de-noising of Wenxin Lake in Zhejing Ocean University
從理論分析及仿真實(shí)驗(yàn)中,都證實(shí)了當(dāng)信號(hào)中含有部分較高頻信息的去噪以及減少有用高頻信號(hào)丟失方面,小波分析的效果較好。我們還可以進(jìn)一步考慮選取更優(yōu)的小波基或者構(gòu)造新的小波基進(jìn)行信號(hào)去噪,以及如何選取閾值和如何進(jìn)行閾值量化。
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