謝遠(yuǎn)黨，李維嘉，王春濤

（1.浙江海洋學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，浙江舟山 316004；2.華中科技大學(xué)輪機(jī)工程系，湖北武漢 430074）

線性系統(tǒng)在現(xiàn)代控制理論與應(yīng)用中占有非常重要的位置，其基本理論已發(fā)展得相當(dāng)完善，但是大多數(shù)實(shí)際系統(tǒng)是非線性的，建模時(shí)往往忽略了各種非線性因素影響才簡(jiǎn)化為理想的線性模型[1]。滑模變結(jié)構(gòu)控制具有完全的自適應(yīng)性，這是變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)最突出的優(yōu)點(diǎn)。它不需要知道系統(tǒng)的精確數(shù)學(xué)模型，只需了解系統(tǒng)的參數(shù)及外來(lái)擾動(dòng)變化的大致范圍，并且具有降階、解耦的功能，能較好地解決系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)、靜態(tài)特性之間的矛盾，控制規(guī)律簡(jiǎn)單，它可以解決復(fù)雜系統(tǒng)，包括線性和非線性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定和品質(zhì)等問(wèn)題[2]?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制的設(shè)計(jì)在高精確度伺服系統(tǒng)的應(yīng)用中受到日益廣泛的重視。圖1給出了本文所要討論的滑?？刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)，它主要由受到控制器、PWM裝置、直流無(wú)刷電機(jī)、機(jī)械試行機(jī)構(gòu)、位置反饋單元組成。

圖1 無(wú)刷電機(jī)位置控制結(jié)構(gòu)圖Fig.1 No brush position chart of electrical control

1 滑模變結(jié)構(gòu)控制概念

變結(jié)構(gòu)控制（variable structure control,VSC）本質(zhì)上是一類(lèi)特殊的非線性控制，其非線性表現(xiàn)為控制的不連續(xù)性。這種控制策略與其他控制的不同之處在于系統(tǒng)的“結(jié)構(gòu)”并不固定，而是可以在動(dòng)態(tài)過(guò)程中，根據(jù)系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)有目的地不斷變化，迫使系統(tǒng)按照預(yù)定“滑動(dòng)模態(tài)”的狀態(tài)軌跡運(yùn)動(dòng)，所以有常稱變結(jié)構(gòu)控制為滑動(dòng)模態(tài)控制（sliding mode control,SMC），即滑模變結(jié)構(gòu)控制。由于滑動(dòng)模態(tài)可以進(jìn)行設(shè)計(jì)且與對(duì)象參數(shù)及擾動(dòng)無(wú)關(guān)，這就使得變結(jié)構(gòu)控制具有快速響應(yīng)、對(duì)參數(shù)變化及擾動(dòng)不靈敏、無(wú)需系統(tǒng)在線辨識(shí)、物理實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)。

變結(jié)構(gòu)控制出現(xiàn)于20世紀(jì)50年代，經(jīng)歷了50余年的發(fā)展，已形成了一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的研究分支，成為控制系統(tǒng)的一種設(shè)計(jì)方法，適用于線性與非線性、連續(xù)與離散系統(tǒng)、確定性與不確定性系統(tǒng)、集中參數(shù)與分布參數(shù)系統(tǒng)、集中控制與分散控制等[3]。并且在實(shí)際工程中逐漸得到推廣應(yīng)用，如電機(jī)與電力系統(tǒng)控制、機(jī)器人控制、飛機(jī)控制、衛(wèi)星姿態(tài)控制等。這種控制方法通過(guò)控制量的切換使系統(tǒng)狀態(tài)沿著滑模面滑動(dòng)，使系統(tǒng)在受到參數(shù)攝動(dòng)和外干擾時(shí)具有不變性，正是這種特性使得變結(jié)構(gòu)控制方法受到各國(guó)學(xué)者的重視[4]。

2 滑模變結(jié)構(gòu)控制基本原理

滑模變結(jié)構(gòu)控制是變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的一種控制策略。這種控制策略與常規(guī)控制的根本區(qū)別在于控制的不連續(xù)性，即一種使系統(tǒng)“結(jié)構(gòu)”隨時(shí)間變化的開(kāi)關(guān)特性。該控制特性可以迫使系統(tǒng)在一定特性下沿規(guī)定的狀態(tài)軌跡作小幅度、高頻率的上下運(yùn)動(dòng)，即所謂的“滑動(dòng)模態(tài)”或“滑?！边\(yùn)動(dòng)。這種滑動(dòng)模態(tài)是可以設(shè)計(jì)的，且與系統(tǒng)的參數(shù)及擾動(dòng)無(wú)關(guān)。這樣，處于滑模運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)就具有很好的魯棒性[5]。

滑動(dòng)模態(tài)控制的概念和特性如下：

（1）滑動(dòng)模態(tài)定義及數(shù)學(xué)表達(dá)考慮一般的情況，在系統(tǒng)

它將狀態(tài)空間分成上下2個(gè)部分s＞0或s＜0。在切換面上的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)有三種情況，如

通常點(diǎn)——系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到切換面S=0附近時(shí)，穿越此點(diǎn)而過(guò)（點(diǎn)A）;

起始點(diǎn)——系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到切換面S=0附近時(shí)，從切換面的兩邊離開(kāi)該點(diǎn)（點(diǎn)B）；

終止點(diǎn)——系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)切換面S=0附近，從切換面的兩邊趨向于該點(diǎn)（點(diǎn)C）；

在滑模變結(jié)構(gòu)中，通常點(diǎn)與起始點(diǎn)無(wú)多大意義，而終止點(diǎn)卻有特殊的含義，因?yàn)槿绻谇袚Q面上某一區(qū)域內(nèi)所有的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)都是終止點(diǎn)，則一旦運(yùn)動(dòng)點(diǎn)趨近于該區(qū)域，就會(huì)被“吸引”到該區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)。此時(shí)，稱在切換面S=0上的所有運(yùn)動(dòng)點(diǎn)都是終止點(diǎn)的區(qū)域?yàn)椤盎ＤB(tài)”區(qū)，或簡(jiǎn)稱為“滑?！眳^(qū)。系統(tǒng)在滑模區(qū)中的運(yùn)動(dòng)就叫做“滑模運(yùn)動(dòng)”。

按照滑動(dòng)模態(tài)區(qū)上的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)都必須是終止點(diǎn)這一要求，當(dāng)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)切換面s(x)=0附近時(shí)，必有：

此不等式對(duì)系統(tǒng)提出了一個(gè)形如

圖2 切換面上3種點(diǎn)的特性Fig.2 Switch on the nature of the three

的李雅普諾夫（Lyapunon）函數(shù)的必要條件。由于在切換面領(lǐng)域內(nèi)上面函數(shù)式是正式的，若按照的導(dǎo)數(shù)是負(fù)半定，也就是說(shuō)在s=0附近v是一個(gè)非增函數(shù)。因此，如果滿足條件式是系統(tǒng)的一個(gè)條件李雅普諾夫函數(shù)。系統(tǒng)本身也就是穩(wěn)定于條件 s=0。

（2）滑模變結(jié)構(gòu)控制的定義滑模變結(jié)構(gòu)控制的基本問(wèn)題如下：

設(shè)有一控制系統(tǒng)

需要確定切換函數(shù)

s(x)， s∈Rm

求解控制函數(shù)其中，u+(x)≠u(mài)-(x)，使得

①滑動(dòng)模態(tài)存在，則上式的控制函數(shù)存在。

②滿足可達(dá)性條件，在切換面s=0以外的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)都將于有限的時(shí)間內(nèi)到達(dá)切換面；

③保證滑模運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性；

④達(dá)到控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)要求。

上述的前3點(diǎn)是滑模變結(jié)構(gòu)控制的3個(gè)基本問(wèn)題，只有滿足了這3個(gè)條件的控制才可稱為滑模變結(jié)構(gòu)控制。

3 基于趨近率的滑?？刂圃O(shè)計(jì)

滑模運(yùn)動(dòng)包括趨近運(yùn)動(dòng)和滑模運(yùn)動(dòng)兩個(gè)過(guò)程。系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)趨向切換面，直到到達(dá)切換面的運(yùn)動(dòng)稱為趨近運(yùn)動(dòng)，即趨近運(yùn)動(dòng)為s→0的過(guò)程。根據(jù)滑模變結(jié)構(gòu)原理，滑?？蛇_(dá)性條件僅保證由狀態(tài)空間任意位置運(yùn)動(dòng)點(diǎn)在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)切換面的要求，而對(duì)于趨近運(yùn)動(dòng)的具體軌跡未作任何限制，采用趨近律[5]的方法可以改善趨近運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)。

3.1 幾種典型的趨近律

（1）等速趨近律

其中，常數(shù)ε表示系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)趨近切換面s=0的速率。ε小，趨近速度慢；ε大，則運(yùn)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)切換面時(shí)將具有較大的速度，引起的抖振也比較大。

（2）指數(shù)趨近律

指數(shù)趨近中，趨近速度從一較大值逐步減小到零，不僅縮短了趨近時(shí)間，而且使運(yùn)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)切換面時(shí)的速度很小。對(duì)單純的指數(shù)趨近，運(yùn)動(dòng)點(diǎn)逼近切換面時(shí)一個(gè)漸近的過(guò)程，不能保證有限時(shí)間到達(dá)，切換面上也就不存在滑動(dòng)模態(tài)了，所以要增加一個(gè)等速趨近項(xiàng)，使當(dāng)s接近0時(shí)，趨近速度是ε而不是0，可以保證有限時(shí)間到達(dá)。

在指數(shù)趨近律中，為了保證快速的同時(shí)削弱抖振，應(yīng)在增大k的同時(shí)減少ε。

（3）冪次趨近律

（4）一般趨近律

其中 f(0)=0，當(dāng) s≠0，sf(s)＞0

顯然，上述4種趨近律都滿足滑模到達(dá)條件ss˙＜0。

3.2 基于指數(shù)趨近律的滑模位置控制器設(shè)計(jì)

變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)設(shè)計(jì)問(wèn)題，主要是兩個(gè)：第一個(gè)問(wèn)題是如何正確地選擇切換函數(shù)；第二個(gè)問(wèn)題是如何求取變結(jié)構(gòu)控制[6]。

我們所要設(shè)計(jì)的變結(jié)構(gòu)控制是一個(gè)標(biāo)量（單輸入）控制，其切換函數(shù)具有如下形式：

切換面的選擇直接決定滑動(dòng)模態(tài)穩(wěn)定性與品質(zhì)。選擇切換函數(shù)就是如何求C矩陣的問(wèn)題。一般來(lái)說(shuō)，選擇切換函數(shù)的常用方法有3種：

①極點(diǎn)配置法；

②二次型最優(yōu)法；

③特征向量任置法；

3.3 系統(tǒng)滑?？刂破髑袚Q函數(shù)（極點(diǎn)配置法）的設(shè)計(jì)步驟

本文選擇極點(diǎn)配置法作為切換函數(shù)，其步驟如下：

其中x∈Rn，x∈Rm分別是系統(tǒng)的狀態(tài)變量和控制變量[7]：

第一步：對(duì)上述線性系統(tǒng)作非奇異線性變換x=Mz，則可將其化為下列簡(jiǎn)約型：

第二步：在此變換下，相應(yīng)的切換面變?yōu)?/p>

其中，為可逆方陣。因此，在切換面上有

從而滑動(dòng)模運(yùn)動(dòng)滿足上式和下列降階方程：

于是線性系統(tǒng)的滑動(dòng)?？梢暈槭怯墒剑?1）描述且具有反饋（10）的n-m維子系統(tǒng)，從而可以根據(jù)通常的線性反饋設(shè)計(jì)方法（如極點(diǎn)配置方法等）確定反饋系數(shù)矩陣F。

第三步：在原坐標(biāo)系中按 s（x）=（F，Im）確定切換函數(shù) s（x）。

由于系統(tǒng)在滑動(dòng)時(shí)z2可以由z1線性表出，因此只要z1以適當(dāng)?shù)闹笖?shù)衰減趨近于零，則也以同樣的指數(shù)衰減律趨向于零。取z2=Im，C1=F進(jìn)而由式（9）和（10）可得到使原線性系統(tǒng)的滑動(dòng)模一定具有良好動(dòng)態(tài)特性的切換系數(shù)矩陣

C=（F，Im）M-1，從而得出切換函數(shù) s（x）。

4 結(jié)論

在現(xiàn)代控制理論與應(yīng)用中存在著非線性和不確定因素，而滑模變結(jié)構(gòu)控制恰恰是解決這些問(wèn)題的一種可行途徑。本文主要介紹了滑模變結(jié)構(gòu)控制器的原理，詳細(xì)介紹了幾種趨近率的計(jì)算方法，為了便于計(jì)算機(jī)控制，建立了基于趨近率的滑模位置伺服控制器的設(shè)計(jì)方案，它算法簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)，同時(shí)也能夠滿足系統(tǒng)跟蹤精度的要求。

[1]姜 靜,伍清河.滑模變結(jié)構(gòu)控制在跟蹤伺服系統(tǒng)中的應(yīng)用[J].電機(jī)與控制學(xué)報(bào),2005,9(6):1-4.

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[6]姚瓊薈,黃繼起,吳漢松.變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)[M].重慶:重慶大學(xué)出版社,1997.

[7]胡躍明.變結(jié)構(gòu)控制理論與應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2003.