劉婷婷，張慶祥，高 穎，張永戰(zhàn)

（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安 716000）

B-半（E，F(xiàn)）-凸半無(wú)限規(guī)劃的對(duì)偶性及鞍點(diǎn)理論

劉婷婷，張慶祥，高 穎，張永戰(zhàn)

（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安 716000）

利用B-半（E，F(xiàn)）-凸函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)討論了B-半-（E，F(xiàn)）-凸半無(wú)限規(guī)劃的幾個(gè)對(duì)偶定理及鞍點(diǎn)理論。

B-半（E，F(xiàn)）-凸函數(shù)；半無(wú)限規(guī)劃；對(duì)偶理論；鞍點(diǎn)理論

定義1［1］稱(chēng)集合M?Rn為（E，F(xiàn)）-凸的，若存在兩映射E，F(xiàn)：Rn→Rn，使對(duì)任意x，y∈M和λ∈［0，1］，有λE（x）+（1-λ）F（y）∈M。

定義2［2］稱(chēng)f：M→R為半（E，F(xiàn)）-凸函數(shù)，若存在兩映射E，F(xiàn)：Rn→Rn，使對(duì)任意x，y∈M和λ∈［0，1］，有f［λE（x）+（1-λ）F（y）］≤λf（x）+（1-λ）f（y）。

定義3［3］稱(chēng)f：M→R為B-半（E，F(xiàn)）-凸函數(shù)，若存在兩映射E，F(xiàn)：Rn→Rn，使M為（E，F(xiàn)）-凸集，實(shí)值函數(shù)b（x，y，λ）≥0，使

性質(zhì)1若f是局部Lipschitz函數(shù)，且f是B-半（E，F(xiàn)）-凸的，則

1 對(duì)偶理論

以下均假設(shè)任意的x∈M，有E（x）∈M，F(xiàn)（x）∈M。考慮半無(wú)限規(guī)劃（P）：

min f（x），

其中A=｛i：g（x，ui）≤0，u∈Y?Rn｝，Y為無(wú)限可數(shù)集。

假設(shè) （1）存在一個(gè)乘子集｛λi：i∈A，i≥0，并且只有有限多個(gè)λi≠0｝。任意的有x0∈M以下條件成立：（2）（P）的Lagrange對(duì)偶規(guī)劃（D）：

（2）（P）的Lagrange對(duì)偶規(guī)劃（Ｄ）：

對(duì)于一切i∈A，僅有有限個(gè)λi≠0。

定理1設(shè)f（x），g（x，ui）（i∈A）對(duì)于任意的ui∈Y關(guān)于點(diǎn)y是B-半（E，F(xiàn)）-凸函數(shù)，若x和y分別是（P）和（D）的可行解，且有y∈F（y），則

證明因?yàn)閒（x），g（x，ui）（i∈A）關(guān)于點(diǎn)y是B -半（E，F(xiàn)）-凸的，所以

給（7）式乘以λi≥0，并求和，得

利用假設(shè)及（6），（8），（9），得

因?yàn)閤∈M，g（x，ui）≤0，b（x，y）≥0，-b（x，y）i∑∈Aλig（x，ui）≥0，b（x，y）［f（x）-f（y）-i∑∈Aλig（y，ui）］≥0，所以f（x）≥f（y）+i∑∈Aλig（y，ui）。

定理2設(shè)f（x），g（x，ui）（i∈A）對(duì)于任意的ui∈Y關(guān)于點(diǎn)x0是B-半（E，F(xiàn)）-凸函數(shù)，y∈F（y），若x0是（P）的最優(yōu)解，（x0，ui，λ）為（D）的可行解，且i∑∈Aλig（x0，ui）=0，則（x0，ui，λ）為（D）的最優(yōu)解。

2 鞍點(diǎn)理論

結(jié)合（10），（11）和（13），有

證明結(jié)合定理4和定理5可知。

［1］Jian J.B.，On（E，F(xiàn)）-Generalized Convexity［J］.International Journal of Mathematical Sciences，2003，2（1）：121-132.

［2］胡清潔，梁遠(yuǎn)信，簡(jiǎn)金寶.一類(lèi)新的廣義凸函數(shù)及相應(yīng)凸規(guī)劃的最優(yōu)性條件與對(duì)偶［M］.香港：Globle-Link出版社，2004：65-71.

［3］曾友芳，簡(jiǎn)金寶，晁綿濤.B-半（E，F(xiàn)）-凸函數(shù)和規(guī)劃［J］.運(yùn)籌學(xué)學(xué)報(bào)，2009，13（2）：68-82.

［4］S.K.Mishra.Onmultiple-objective optimization with generalized univexity［J］.J.Math.Anal.Appl.1998，224：131-148.

［4］張蕾蕾，張慶祥.一類(lèi)Eb，ρ-凸半無(wú)限規(guī)劃的對(duì)偶性及鞍點(diǎn)理論.西安郵電學(xué)報(bào)，2006，11（3）：123-127.

［責(zé)任編輯 賀小林］

Duality and Sadd le-Point Theory for B-Sem i-（E，F(xiàn)）-Convex Sem i-Infinite Programm ing

LIU Ting-ting，ZHANG Qing-xiang，GAO YING，ZHANG Yong-zhan
（College of Mathematics and Computer Science，Yan an University，Yan an 716000，China）

In this paper，the duality and saddle-point theory of semi-infinite programming for B-semi-（E，F(xiàn)）-convex functions are discussed by using properties of B-semi-（E，F(xiàn)）-convex functions.

B-semi-（E，F(xiàn)）-convex function；semi-infinite programming；duality theorem；saddle-point theorem

O221.2

A 文章編號(hào)：1004-602X（2011）04-0012-03

20111008

劉婷婷（1987—），女，陜西綏德人，延安大學(xué)在讀碩士研究生。