王丙參，何萬(wàn)生，戴 寧

（1.天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅天水 741001；2.鄭州大學(xué)數(shù)學(xué)系，河南鄭州 450002）

負(fù)二項(xiàng)分布的優(yōu)良特性及其在風(fēng)險(xiǎn)管理中的應(yīng)用

王丙參1，何萬(wàn)生1，戴 寧2

（1.天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅天水 741001；2.鄭州大學(xué)數(shù)學(xué)系，河南鄭州 450002）

研究了負(fù)二項(xiàng)分布的兩個(gè)基本模型及推廣，得到第一類負(fù)二項(xiàng)分布條件概率具有封閉性且給出參數(shù)的一個(gè)非經(jīng)典置信區(qū)間估計(jì)，特別研究了第二類負(fù)二項(xiàng)分布與泊松分布的關(guān)系。

負(fù)二項(xiàng)分布；索賠次數(shù)；估計(jì)值；矩母函數(shù)

當(dāng)投保集體同質(zhì)時(shí)，投保次數(shù)服從泊松分布，而實(shí)際中的投保集體都或多或少地存在一定的非同質(zhì)性，這就為負(fù)二項(xiàng)分布的應(yīng)用創(chuàng)造了條件，負(fù)二項(xiàng)分布的方差越大于其均值，表明投保集體存在的非同質(zhì)性越嚴(yán)重［1-3］。導(dǎo)致非同質(zhì)的原因可能多種多樣，譬如，由于保險(xiǎn)公司和保單持有人增強(qiáng)了風(fēng)險(xiǎn)防范意識(shí)，大多數(shù)保單不會(huì)發(fā)生保險(xiǎn)事故；或者因?yàn)楸ｋU(xiǎn)公司應(yīng)用了免賠額或無(wú)賠款折扣等條款，許多被保險(xiǎn)人在發(fā)生輕微事故時(shí)不會(huì)提出索賠；在這些情況下，如果仍然使用泊松回歸模型，可能會(huì)低估參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差，高估其顯著性水平，從而在模型中保留多余的解釋變量，最終導(dǎo)致不合理的費(fèi)率厘定結(jié)果。不過(guò)最近若干年，非同質(zhì)模型的應(yīng)用也逐漸開(kāi)始受到關(guān)注。國(guó)內(nèi)外的研究者們通常使用負(fù)二項(xiàng)回歸模型來(lái)討論非同質(zhì)問(wèn)題，因此研究負(fù)二項(xiàng)分布的優(yōu)良特性具有充要的意義［4-6］。本文研究了負(fù)二項(xiàng)分布的兩個(gè)基本模型及推廣，得到第一類負(fù)二項(xiàng)分布條件概率具有封閉性且給出參數(shù)p的一個(gè)非經(jīng)典置信區(qū)間估計(jì)，特別在非同質(zhì)性保單組合的個(gè)體保單索賠次數(shù)中引進(jìn)混合分布類，研究了第二類負(fù)二項(xiàng)分布與泊松分布的關(guān)系，給出了分布中的參數(shù)估計(jì)值。

1 基本模型

負(fù)二項(xiàng)分布有兩個(gè)基本模型：

（2）若在伯努利試驗(yàn)序列中，每次試驗(yàn)成功的概率為p，則恰好出現(xiàn)n次成功所需失敗次數(shù)X服

可見(jiàn)，在長(zhǎng)度為h的時(shí)間區(qū)間內(nèi)發(fā)生k次索賠的概率服從參數(shù)為（αn，p（h））的第二類型負(fù)二項(xiàng)分布。幾乎所有的汽車保險(xiǎn)人都采用了無(wú)賠款優(yōu)待系統(tǒng)（BMS），根據(jù)投保人以往年份的索賠情況調(diào)整其續(xù)期保費(fèi)。通常的原則是，上一保險(xiǎn)年度發(fā)生的索賠次數(shù)越多，次年的續(xù)期保費(fèi)將越高，反之則否。保險(xiǎn)公司調(diào)整投保人續(xù)期保費(fèi)的主要目的之一就是為了公平投保人的保費(fèi)負(fù)擔(dān)，使高風(fēng)險(xiǎn)的投保人繳納相對(duì)較高的保險(xiǎn)費(fèi)。但實(shí)證研究表明，保險(xiǎn)公司目前應(yīng)用的系統(tǒng)往往難以達(dá)到這一目。為此有人設(shè)計(jì)出了最優(yōu)BMS，可以根據(jù)投保人的索賠經(jīng)驗(yàn)對(duì)投保人的續(xù)期保費(fèi)進(jìn)行調(diào)整，但該模型假定單個(gè)投保人的索賠次數(shù)服從泊松分布，這意味著投保人以前是否發(fā)生過(guò)保險(xiǎn)事故對(duì)今后是沒(méi)有影響的，但實(shí)際上投保人的索賠經(jīng)歷往往具有傳染性。比如我國(guó)的機(jī)動(dòng)車輛保險(xiǎn)條款就規(guī)定投保人發(fā)生一次保險(xiǎn)事故后，他在次年必須繳納全額保險(xiǎn)費(fèi)，不再享受保費(fèi)優(yōu)待。而且同時(shí)規(guī)定，即使投保人在一年內(nèi)發(fā)生了多次保險(xiǎn)事故，他在次年也只需繳納全額保險(xiǎn)費(fèi)，沒(méi)有額外的保費(fèi)附加。在這種情況下，投保人的損失經(jīng)歷肯定具有傳染性，因?yàn)楫?dāng)他發(fā)生一次保險(xiǎn)事故以后，就失去了享受保費(fèi)優(yōu)待的權(quán)利，所以他在今后的駕駛過(guò)程中可能易于漫不經(jīng)心而再次發(fā)生事故。由于NB（r，β）是一種正向傳染模型，在這種情況下單個(gè)投保人的索賠次數(shù)可能更加接近于服從NB（r，β），因此風(fēng)險(xiǎn)理論中在擬合索賠次數(shù)時(shí)常用NB（r，β）。容易看出，NB（r，β）有一個(gè)很簡(jiǎn)單的性質(zhì)，方差大于均值。NB（r，β）的方差越大于其均值，表明投保集體存在的非同質(zhì)性越嚴(yán)重［5］。

2 NB1（n，p）的條件概率封閉性及參數(shù)p的估計(jì)

定理2．1設(shè)X～NB1（n，p），Y～Ge1（θ），若X，Y相互獨(dú)立，在X＜Y的條件下，X～NB1（n，θ+p（1 -θ）），則稱此性質(zhì)為負(fù)二項(xiàng)分布類的條件概率封閉性。

這正是NB1（n，θ+p（1-θ））。

在文獻(xiàn)［9］中討論了二項(xiàng)分布的最大可能取值為（n+1）p，用同樣的方法可以計(jì)算出負(fù)二項(xiàng)分布

3 第二類負(fù)二項(xiàng)分布與泊松分布的關(guān)系及性質(zhì)

假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)集體中索賠次數(shù)N～P（λ），參數(shù)λ未知，λ是變量∧的輸出值，在有些情況下，使用一個(gè)能夠較好擬和觀測(cè)到的理賠數(shù)據(jù)的參數(shù)分布就會(huì)很方便［12-13］。

假定∧～Γ（α，β），則理賠次數(shù)N的

（3）若X～P（λ），a=0，b=λ，p0=e-λ。

與負(fù)二項(xiàng)分布相比，當(dāng)兩者具有相同的均值和方差時(shí)，泊松--逆高斯分布的偏度系數(shù)較大，因此的它的分布圖尾部較厚。

k=0，1，…，保單索賠次數(shù)的估計(jì)值為

。

由貝葉斯公式可得：

［1］王丙參，魏艷華.保費(fèi)收取次數(shù)為負(fù)二項(xiàng)隨機(jī)過(guò)程的風(fēng)險(xiǎn)模型［J］.江西師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，34（6）：604-608.

［2］王丙參，魏艷華，孫春曉.泊松分布與負(fù)二項(xiàng)分布在風(fēng)險(xiǎn)管理中的應(yīng)用［J］.天水師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，28（5）：23 -24.

［3］孟生旺.負(fù)二項(xiàng)分布的優(yōu)良特性及其在風(fēng)險(xiǎn)管理中的應(yīng)用［J］.數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，1998，17（2）：9-12.

［4］徐飛.負(fù)二項(xiàng)回歸模型在過(guò)離散型索賠次數(shù)中的應(yīng)用研究［J］.統(tǒng)計(jì)教育，2009，4：53-55.

［5］肖爭(zhēng)艷.風(fēng)險(xiǎn)理論［M］.中國(guó)人民大學(xué)出版社，2008，5.

［6］Klugman SA，PanjerHH著，吳嵐譯，損失模型從數(shù)據(jù)到?jīng)Q策［M］.北京：人民郵電出版社，2009，1.

［7］Biihlmann，H，.Mathematical Methods in Risk Theory［M］. Berlin：Springer-Verlag，1996.

［8］劉昌紅，劉瑞元，黃偉.負(fù)多項(xiàng)分布［J］.甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2007，21（6）：1-6.

［9］茆詩(shī)松等編著.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教材［M］.高等教育出版社.2004.07.

［10］王曉紅，康樂(lè)，宋立新.負(fù)二項(xiàng)分布中未知參數(shù)p的一個(gè)區(qū)間估計(jì)［J］.渤海大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，30（4）：333-335.

［11］陳萍.負(fù)二項(xiàng)分布及條件概率封閉性的研究［J］.河北師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，10（2）：65-66.

［12］吳建祥，楊海忠.同質(zhì)性保單索賠次數(shù)的一種分布類討論［J］.統(tǒng)計(jì)與決策，2009，18：154-156.

［13］孟生旺，袁衛(wèi).對(duì)損失規(guī)律的一種新解釋：混合負(fù)二項(xiàng)分布及其應(yīng)用［J］.統(tǒng)計(jì)研究，2001，4：46-48.

［責(zé)任編輯 賀小林］

Properties of Negative Binom ial Distribution and Its Applications in the RiskM anagement

WANG Bing-can1，HEWan-sheng1，DAINING2
（1.School of Mathematics and Statistics，Tianshui Normal University，Tianshui741001；2.Department of Mathematics，Zhengzhou University，Zhengzhou，450002，China）

This article discusses the properties and promotion of the two basic negative binomial distributions，gives closed of conditional probabilities and a non-classical confidence interval estimate under the firstnegative binomial distribution，discusses the relationship between the second negative binomial distribution to poisson distribution.

negative binomial distribution；number of claims；estimate；moment generating function

O211.3

A 文章編號(hào)：1004-602X（2011）04-0014-05

20110926

甘肅省自然科學(xué)研究基金（096RJZE106）和天水師范學(xué)院科研基金（TSA0931）

王丙參（1983—），男，河南南陽(yáng)人，天水師范學(xué)院講師