付 華，秦宏立，周居政

（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安 716000）

n維非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性若干定理的推廣

付 華，秦宏立，周居政

（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安 716000）

利用Gronwall-Bellman不等式，對(duì)Lyapunov函數(shù)的限制條件作了適當(dāng)?shù)母倪M(jìn)，得到了n維非線性系統(tǒng)平凡解穩(wěn)定性的若干定理，從而推廣了相應(yīng)文獻(xiàn)的已有結(jié)果。

Lyapunov函數(shù)；穩(wěn)定性；漸進(jìn)穩(wěn)定性；一致穩(wěn)定性

1 預(yù)備知識(shí)

定義4［3］設(shè)非線性系統(tǒng)

引理［3］（Gronwall-Bellman不等式） 設(shè)t≥t0，u（t）≥0，f（t）≥0；u（t），f（t）∈C［I，R+］，R+=［0，+∞］，且t≥t0滿(mǎn)足

2 主要結(jié)果

考慮非線性系統(tǒng)：

其中g(shù)（t），h（t）非負(fù)可積且在［τ，+∞）上積分收斂，則方程（1）的零解穩(wěn)定。

（b）當(dāng)t≥T時(shí)，由定理?xiàng)l件2）得

從T到t積分上式得

由引理1知

因?yàn)?/p>

又因?yàn)棣住蔾，故

其中g(shù)（t），h（t）非負(fù)可積且在［τ，+∞）上積分收斂，則方程（1）的零解漸進(jìn)穩(wěn)定。

證明 從定理1可知，方程（1）的零解穩(wěn)定，以下我們只需證明系統(tǒng)（1）平凡解是吸引的。

由題設(shè)條件1）知，存在ψ∈k使

由題設(shè)條件2），類(lèi)似定理1的證明可得

（其中m為某正數(shù)）。

由此可得

這樣就證明了方程的零解是吸引的，從而也就證明了系統(tǒng)（1）的零解漸進(jìn)穩(wěn)定。

其中g(shù)（t），h（t）非負(fù)、可積且在［τ，+∞）上積分收斂。

則系統(tǒng)（1）的零解一致穩(wěn)定。

證明 對(duì)任意ε＞0，由題設(shè)條件1）知，存在函數(shù)ψ1，ψ2∈k使

對(duì)t≥T，由題設(shè)條件2）及引理1得

（b）當(dāng)t0≥T時(shí)，同（a）的證明得

所以得

故由題設(shè)條件1）與2）知系統(tǒng)（1）的平凡解一致穩(wěn)定。

［1］呂玉華.Lyapunov穩(wěn)定性理論若干定理的推廣［J］.工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2003，20（1）：127-130.

［2］高蓮，包曙紅.關(guān)于Lyapunov穩(wěn)定性若干定理的推廣［J］.內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)漢文版），2006，35（4）：407-412.

［3］廖曉昕.穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)理論及應(yīng)用［M］.武漢：華中師范大學(xué)出版社，1988.

［4］徐潤(rùn).關(guān)于李亞普諾夫穩(wěn)定性若干定理的推廣［J］.沈陽(yáng)師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，21（2）：87-90.

［5］高蓮.關(guān)于Lyapunov穩(wěn)定性理論若干定理的推廣［D］.碩士學(xué)位論文，2005.

［6］徐道義.關(guān)于穩(wěn)定性的幾個(gè)基本定理［J］.數(shù)學(xué)季刊，1992，7（2）：61-67.

［7］胡芬.關(guān)于零解穩(wěn)定和一致穩(wěn)定的幾個(gè)判別定理［J］.通化師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，29（4）：15-17.

［8］王瑞蓮.關(guān)于微分方程穩(wěn)定性理論若干定理的推廣［J］.內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)學(xué)院學(xué)報(bào)（綜合版），2010，8（5）：143-145.

［責(zé)任編輯 賀小林］

The Generalization of Theorem s about Stability of n-dimensiond Norlinear System s

FU Hua，QIN Hong-li，ZHOU Ju-zheng
（College of Mathematics and Computer Science，Yan an University，Yan an 716000 Shanxi）

By using the Gronwall-Bellman inequality the limiting conditions of the lyapunov function were improved.Some theorems about the stability for the trivial solution of the n-dimensional and nonlinear systems were obtained，and several decision theorems of the related literatureswere extended.

Lyapunuov functions；stability；gradual stability；uniform stability

O175.13

：A

：1004-602X（2011）04-0006-03

20110917

付 華（1985—），男，陜西靖邊人，延安大學(xué)在讀碩士研究生。