劉連福

(大連海洋大學(xué)，遼寧大連116300)

1 問題與結(jié)論

對一階線性非齊次微分方程:

通常采用所謂的常數(shù)變易法來求解方程(1)，即令y=u(x)e-∫p(x)dx(這里u=u(x)是x的連續(xù)函數(shù)，記號∫p(x)dx表示p(x)的某個確定的原函數(shù)，以下同)，代入方程(1)求出u(x)，從而得到式(1)的通解[1].

猜想:一般的，對形如方程(2)的一類微分方程在滿足某種條件下，也有y=u(x)e-∫p(x)dx這樣的通解.

分析 由y=u(x)e-∫p(x)dx得:

代入方程(2)得:

當(dāng)f(x)=aq(x)e-n∫p(x)dx(a為任意實數(shù))時有:u'e-∫p(x)dx=(a-un)q(x)e-n∫p(x)dx

即u'=(a-un)q(x)e(1-n)∫p(x)dx.

這是一個關(guān)于u的可分離變量方程，分離變量，兩邊積分，求出u=u(x)代入y=u(x)e-∫p(x)dx中就得到方程(2)在條件f(x)=aq(x)e-n∫p(x)dx下的通解.

綜合上面分析我們有下面定理.

定理 如果微分方程y'+p(x)y+q(x)yn=f(x)(n為任意實數(shù))中f(x)=aq(x)e-n∫p(x)dx(a為任意實數(shù))，則該方程通解為:y=u(x)e-∫p(x)dx，其中u由可分離變量方程u'=(a-un)q(x)e(1-n)∫p(x)dx確定.

2 應(yīng)用

2.1 求一階線性微分方程的通解

對方程y'+p(x)y+q(x)=0，這里n=0，f(x)=0，顯然有a=0 使f(x)=aq(x)e-n∫p(x)dx成立，由上面定理知方程通解為:

y=u(x)e-∫p(x)dx，其中u'=-q(x)e∫p(x)dx，兩邊積分得:u(x)=- ∫q(x)e∫p(x)dxdx+c.

于是一階線性微分方程通解的通解為:

2.2 求伯努利方程的通解

對方程y'+p(x)y+q(x)yn=0(n≠0，1)，這里f(x)=0，顯然有a=0 使f(x)=aq(x)e-n∫p(x)dx成立，由上面定理知方程通解為:y=u(x)e-∫p(x)dx，其中u'=-unq(x)e(1-n)∫p(x)dx，分離變量，兩邊積分得:

運用方程(3)將簡化求伯努利方程通解的計算過程.

2.3 求滿足定理條件的黎卡提方程和阿佩爾方程的通解

對黎卡提方程y'+p(x)y+q(x)y2=f(x)和阿佩爾方程[2]y'+p(x)y+q(x)y3=f(x)，如果他們滿足定理條件，則其通解為:y=u(x)e-∫p(x)dx，其中u由可分離變量方程u'=(a-un)q(x)e(1-n)∫p(x)dx確定.

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)》(下)[M].北京:高等教育出版社，2008:276-281

[2]洪少春，王永初.基于最優(yōu)控制反饋系統(tǒng)的Riccati方程的一種求解新方法[J].長江大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版(理工卷)，2007，4(2):6-8

[3]馮錄祥.一類特殊類型Riccati方程的通積分[J].石河子大學(xué)報，1997(5):316-318

[4]馮錄祥.Riccati方程求積法的一個充分條件[J].懷化師專學(xué)報，1999(5):16-17