呂東方，張立富，劉奇晗

（1.黑龍江大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱 150080；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 媒體技術(shù)與藝術(shù)系，哈爾濱 150001）

0 引 言

在激光掃描測(cè)量物體形面過程中，測(cè)量數(shù)據(jù)由于受到測(cè)量?jī)x器精度和物體表面性質(zhì)、形狀的影響，不可避免的在數(shù)據(jù)中混有測(cè)量誤差。由儀器引入的數(shù)據(jù)測(cè)量誤差可以通過對(duì)儀器校準(zhǔn)來(lái)減小，而由被測(cè)物體表面特征，如顏色、粗糙度，材質(zhì)和形狀等因素引入的測(cè)量誤差，校準(zhǔn)的方法復(fù)雜、實(shí)用性差。如何有效地消除誤差，提取被測(cè)物體形面特征是輪廓測(cè)量的重要研究?jī)?nèi)容[1]。形面測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)目龐大，為了避免人為因素的影響，保證測(cè)量數(shù)據(jù)擬合精度需要采用適當(dāng)誤差處理算法自動(dòng)處理測(cè)量數(shù)據(jù)[2]。

形面測(cè)量數(shù)據(jù)是通過測(cè)量設(shè)備對(duì)物體表面掃描測(cè)量得到的，是隨時(shí)間和空間連續(xù)的變化數(shù)據(jù)序列，因此可以通過比擬的方法將測(cè)量數(shù)據(jù)當(dāng)作一維“信號(hào)”進(jìn)行分析，將測(cè)量數(shù)據(jù)中的誤差與信號(hào)中的噪聲相對(duì)應(yīng)。本文采用小波閾值方法針對(duì)掃描測(cè)量輪廓數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和多尺度分析，對(duì)原始測(cè)量數(shù)據(jù)中包含的各種頻率成分進(jìn)行分解，采用不同閾值方法對(duì)數(shù)據(jù)中的隨機(jī)誤差和粗大誤差進(jìn)行處理，提取被測(cè)形面特征，評(píng)定測(cè)量誤差處理質(zhì)量。

1 小波閾值原理

小波變換的基本思想是用一系列函數(shù)去逼近一信號(hào)或函數(shù)，這一系列函數(shù)稱為小波基，它是由小波經(jīng)過伸縮和平移得來(lái)的。利用小波分析去噪，即在不同尺度下作小波變換，其實(shí)質(zhì)就是用不同中心頻率的帶通濾波器對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波，把反映噪聲頻率尺度的小波變換去掉，即可得到質(zhì)量較好的有用信號(hào)。對(duì)任意信號(hào)，離散小波變換的第一步是將信號(hào)分為低頻部分（近似部分）和高頻部分（細(xì)節(jié)部分）。近似部分代表了信號(hào)的主要特征。第二步對(duì)低頻部分再進(jìn)行相似運(yùn)算，這時(shí)尺度因子已改變，依次進(jìn)行到所需要的尺度[3]。

信號(hào)的離散小波變換及重構(gòu)可利用Mallat算法實(shí)現(xiàn)，原始信號(hào)x（t）的某層小波分解是將x（t）以某個(gè)尺度j變換到空間L2（R）的兩個(gè)正交子空間Vj和Wj上，由Vj得到離散逼近值aj（k），由Wj得到離散逼近值dj（k），下一層分解中是以尺度j＋1再將aj（k）分解到子空間Vj＋1和Wj＋1中，這樣不斷分解下去，從而對(duì)信號(hào)進(jìn)行了多分辨率的分解。aj（k）對(duì)應(yīng)著信號(hào)的低頻成分；dj（k）對(duì)應(yīng)著信號(hào)的高頻成分。

若令aj（k），dj（k）是多分辨率分析中的離散逼近系數(shù)，h0（k），h1（k）是滿足二尺度差分方程的兩個(gè)濾波器，則aj（k），dj（k）存在如下遞推關(guān)系[4]：

若aj＋1（k），dj＋1（k）分別按式（1）和式（2）得到，則aj（k）可由下式重建：

2 誤差處理方法

2.1 粗大誤差點(diǎn)去除方法

在測(cè)量數(shù)據(jù)處理中，誤差數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)量少，分布稀疏。圖1為含有一個(gè)粗大誤差點(diǎn)的測(cè)量數(shù)據(jù)，其中x軸為測(cè)量距離，y軸為形面高度。對(duì)圖1中的測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行小波分解，得到圖2所示的第一層小波高頻系數(shù)，其中橫坐標(biāo)與圖1中測(cè)量點(diǎn)位置對(duì)應(yīng)，縱坐標(biāo)為對(duì)應(yīng)點(diǎn)的小波分解系數(shù)。由圖2可見，對(duì)應(yīng)粗大誤差點(diǎn)，高頻信號(hào)有一個(gè)明顯的脈沖突變，利用這個(gè)突變脈沖可以準(zhǔn)確地檢測(cè)到粗大誤差點(diǎn)的位置，并將其剔除[5]。噪聲在高頻分解系數(shù)中表現(xiàn)為高斯噪聲，而粗大誤差在分解系數(shù)中表現(xiàn)為一系列的尖峰。對(duì)尖峰信號(hào)的去除采用3σ準(zhǔn)則對(duì)每層的閾值進(jìn)行提取，小波系數(shù)＞3σ的則認(rèn)為是粗大誤差予以剔除，剔除方法如下：

計(jì)算均方值

求｜di｜（i＝1，2，…，N）的最大值｜d｜max，若｜d｜max＜，則認(rèn)為沒有粗大誤差。

剔除｜d｜max。

對(duì)小波分解的每一層的高頻系數(shù)都做同樣的處理，重復(fù)上述步驟，直到?jīng)]有＞的系數(shù)，此時(shí)求出的為噪聲的均方值。通過此方法的處理后，粗大誤差基本可以消除。

2.2 減少隨機(jī)誤差方法

小波系數(shù)閾值去除隨機(jī)噪聲的方法分為硬閾值法和軟閾值法。硬閾值法會(huì)產(chǎn)生間斷點(diǎn)，得不到理想的降噪效果；軟閥值方法中閥值函數(shù)在小波域內(nèi)是連續(xù)的，但是它的導(dǎo)數(shù)是不連續(xù)的，并且軟閾值對(duì)大于閾值的小波系數(shù)采取恒定值壓縮，這與噪聲分量隨著小波系數(shù)增大而逐漸減小的趨勢(shì)不相符。

針對(duì)軟閥值函數(shù)的缺陷采用漸近閾值函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為：

由此可見函數(shù)式（5）是以直線y＝x為漸進(jìn)線的。當(dāng)閾值很小時(shí)，新閾值函數(shù)的作用與硬閾值函數(shù)相當(dāng)，但它更靈活，當(dāng)｜x｜非常接近閾值λ時(shí)，不是直接將小波系數(shù)置零，而是漸近為零，這樣就使得函數(shù)連續(xù)，為進(jìn)一步利用該函數(shù)提供了可能。

該閾值函數(shù)圖見圖3，閾值λ為10。｜x｜＜λ的小波系數(shù)域內(nèi)置零，在｜x｜≥λ時(shí)，函數(shù)對(duì)小波系數(shù)采取緩變壓縮，隨著小波系數(shù)的不斷增大，壓縮量減小。當(dāng)小波系數(shù)大于一定值時(shí)，不進(jìn)行壓縮處理。通過采用各個(gè)尺度下不同的閾值，自動(dòng)地調(diào)整閾值函數(shù)，使得調(diào)整后的閾值函數(shù)更加適應(yīng)該尺度下的閾值處理，比通用的軟閾值去噪有更好的去噪效果。

圖3 閾值函數(shù)對(duì)比圖Fig.3 Threshold function comparison

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

數(shù)據(jù)去噪的目標(biāo)是降低噪聲的同時(shí)盡量保持原始數(shù)據(jù)的完整。在實(shí)際應(yīng)用中，通常采用信噪比衡量小波的去噪效果。信噪比是衡量測(cè)量信號(hào)中的噪聲量的傳統(tǒng)方法，常用來(lái)作為去噪效果的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，信噪比單位為分貝（dB），其定義為：

小波母函數(shù)采用4種常用的離散小波函數(shù)系：Symlets小波系，Daubechies小波系，Coiflet小波系和Biorthogonal小波系，以去噪后的信噪比為指標(biāo)，對(duì)其進(jìn)行了基于小波變換的信號(hào)去噪處理實(shí)驗(yàn)，以評(píng)價(jià)各種小波函數(shù)在閾值選取方法相同時(shí)對(duì)噪聲濾波效果的優(yōu)劣。在大多數(shù)情況下，采用5層分解去噪后可以得到比較滿意的信噪比，因此在實(shí)驗(yàn)中采用的小波分解層數(shù)為5層。圖4為用于檢驗(yàn)小波去噪算法的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)該數(shù)據(jù)進(jìn)行小波去噪對(duì)比實(shí)驗(yàn)。

圖4 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Fig.4 Test data

漸進(jìn)閾值函數(shù)的軟閾值去噪來(lái)降低隨機(jī)誤差，上一節(jié)中已經(jīng)論述了該函數(shù)的基本性質(zhì)，基于該函數(shù)的閾值λj為：

式中j為分解尺度；N為信號(hào)長(zhǎng)度；σ為該分解尺度下噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差。

對(duì)圖6中含有隨機(jī)誤差的數(shù)據(jù)采用基于漸近閾值函數(shù)的軟閾值去噪來(lái)降低數(shù)據(jù)中的隨機(jī)誤差，處理后的測(cè)量數(shù)據(jù)重構(gòu)見圖7，圖7顯示數(shù)據(jù)中的粗大誤差點(diǎn)和噪聲點(diǎn)已經(jīng)得到了很好的消除，并保留了數(shù)據(jù)的形狀特征。

在常用的小波基函數(shù)下對(duì)比采用傳統(tǒng)的軟閾值方法、硬閾值方法和本文的閾值去噪方法對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理結(jié)果見表1，綜合去噪是指本文采用的方法。

表1 小波閾值去噪效果Table1 Wavelet threshold de-noising result

4 結(jié) 論

數(shù)據(jù)誤差處理是形面測(cè)量的重要研究?jī)?nèi)容，也是保證形面重構(gòu)精度的基礎(chǔ)。本文將形面測(cè)量數(shù)據(jù)與信號(hào)的離散化相比擬，應(yīng)用信號(hào)的去噪方法對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)誤差進(jìn)行處理。在小波變換的基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)據(jù)中粗大誤差和隨機(jī)誤差采用不同的閾值算法。從實(shí)驗(yàn)對(duì)比結(jié)果看，本文的閾值去噪算法可有效減小形面測(cè)量中的測(cè)量誤差。

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