熊勝華，周翠英

(中山大學(xué)工學(xué)院，廣東 廣州 510275)

混沌時(shí)間序列的建模與預(yù)測(cè)是當(dāng)今混沌理論研究的重要方向之一，而基于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論的最小二乘支持向量機(jī)(Least Squares Support Vector Machines，簡(jiǎn)稱(chēng)LSSVM)，由于其采用結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小原則能最大程度地提高泛化能力和較好地解決非線性、高維數(shù)和局部極小值等實(shí)際問(wèn)題，因此在混沌時(shí)間序列預(yù)測(cè)方面也具有較好的應(yīng)用前景[1]。與傳統(tǒng)的支持向量機(jī)(Support Vector Machines，即SVM)相比[2-3]，LSSVM把最優(yōu)化問(wèn)題中的求解二次規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解線性方程組問(wèn)題，提高了算法的計(jì)算速度。但針對(duì)混沌時(shí)間序列的大樣本學(xué)習(xí)，LSSVM法與SVM法一樣，具有內(nèi)存開(kāi)銷(xiāo)大、訓(xùn)練速度慢等缺點(diǎn)。因此，為了解決大樣本學(xué)習(xí)的問(wèn)題，許多學(xué)者對(duì)此開(kāi)展了研究，主要研究可以概述為二類(lèi)：

一類(lèi)是利用某種縮減算法從整個(gè)大樣本集的學(xué)習(xí)序列中找出少量的有效的支持向量集，去除大量的對(duì)樣本學(xué)習(xí)貢獻(xiàn)較少的非支持向量集，縮短支持向量機(jī)的訓(xùn)練時(shí)間。如：羅瑜等[4]提出了一種利用類(lèi)別質(zhì)心去除非支持向量對(duì)應(yīng)的樣本，縮小樣本集的方法，該方法在不損失分類(lèi)正確率的情況下具有更快的收數(shù)速度；楊曉偉等[5]針對(duì)最小二乘支持向量機(jī)喪失稀疏性的問(wèn)題，提出了一種高效的剪枝算法，在訓(xùn)練的過(guò)程中，根據(jù)一些特定的剪枝條件利用塊增量學(xué)習(xí)和逆學(xué)習(xí)交替進(jìn)行的方法自動(dòng)形成一個(gè)小的支持向量集，并利用此集合構(gòu)造最終的分類(lèi)器；駱世廣等[6]考慮到SMO(Sequential Minimal Optimization，序貫最小優(yōu)化)算法對(duì)大樣本數(shù)據(jù)訓(xùn)練速度比較慢的問(wèn)題，根據(jù)在SVM的優(yōu)化過(guò)程中并不是所有樣本都影響優(yōu)化進(jìn)展的思路，提出了兩種刪除樣本的策略，一種是基于距離，另一種是基于拉格朗日乘子的值，從而大大縮短SMO的訓(xùn)練時(shí)間；另外還有田新梅等[7]、李紅蓮等[8]也做出過(guò)相應(yīng)的研究。

另一類(lèi)是利用某種分組算法將大樣本的訓(xùn)練集進(jìn)行細(xì)分，從而減少支持向量機(jī)每一次的存儲(chǔ)空間和計(jì)算時(shí)間，再利用帶有記憶功能的塊增量學(xué)習(xí)法進(jìn)行整體學(xué)習(xí)，從而達(dá)到縮短支持向量機(jī)的整體訓(xùn)練時(shí)間的目的。如：張浩然等[9]根據(jù)分塊矩陣計(jì)算公式和核函數(shù)矩陣本身的特點(diǎn)設(shè)計(jì)了支持向量機(jī)的增量式學(xué)習(xí)算法和在線學(xué)習(xí)算法，該算法能充分利用歷史的訓(xùn)練結(jié)果，減少存儲(chǔ)空間和計(jì)算時(shí)間；張永等[10]基于數(shù)據(jù)分割和鄰近對(duì)策略，利用c-均值聚類(lèi)分別對(duì)數(shù)據(jù)集中的正負(fù)類(lèi)進(jìn)行聚類(lèi)，把大數(shù)據(jù)集分割成互不相交的子集合，然后來(lái)自正負(fù)類(lèi)的子集合兩兩組合形成多個(gè)二分類(lèi)問(wèn)題，并用SMO算法求解，最后用鄰近對(duì)策略對(duì)未知數(shù)據(jù)進(jìn)行識(shí)別；Boser B等[11]提出了一種選塊算法解決大樣本數(shù)據(jù)下SVM的訓(xùn)練速度問(wèn)題，利用若干任意樣本構(gòu)成小規(guī)模訓(xùn)練集求解二次規(guī)劃問(wèn)題,得到一組支持向量，再將這些支持向量并入其它若干樣本中再次訓(xùn)練，又得到一組支持向量，循環(huán)這個(gè)過(guò)程，直到所有樣本都計(jì)算完畢。

綜上所述，無(wú)論采用哪一類(lèi)方法都可以達(dá)到減少大樣本訓(xùn)練時(shí)間的目的，但也都存在一些不足：第一類(lèi)方法的訓(xùn)練精度過(guò)分依賴于有效的支持向量集的選擇，如果縮減算法選擇不當(dāng)，所選擇的支持向量集并不能概括大樣本訓(xùn)練集的重要發(fā)展規(guī)律，從而影響支持向量機(jī)的訓(xùn)練精度；第二類(lèi)方法精度在于分組算法的選擇，如果選擇不當(dāng)，同樣對(duì)支持向量機(jī)的訓(xùn)練精度產(chǎn)生較大的影響。因此為了結(jié)合兩類(lèi)大樣本的支持向量機(jī)快速算法的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)為了克服它們的不足，本文提出一種針對(duì)混沌時(shí)間序列的基于新的縮減策略的LSSVM預(yù)測(cè)模型：該模型利用混沌時(shí)間序列的平均周期將大樣本數(shù)據(jù)分解成不同的子集，將最后一個(gè)子集之外的其他子集利用拉格朗日乘子的值縮減一部分非支持向量，并將縮減后樣本與最后一子集進(jìn)行合并，利用相關(guān)系數(shù)縮減法縮減合并后的樣本集，并利用最小二乘支持向量機(jī)方法進(jìn)行回歸預(yù)測(cè)。

1 基于縮減策略的混沌時(shí)間序列的LSSVM預(yù)測(cè)模型的構(gòu)建方法

設(shè)樣本訓(xùn)練集，(x1,y1),...,(xi,yi),...(xn,yn)，其中xi∈Rm,yi∈R,i=1,...,n，xi為輸入向量，yi為輸出向量。

混沌時(shí)間序列的預(yù)測(cè)問(wèn)題主要是解決函數(shù)回歸估計(jì)問(wèn)題，它是通過(guò)對(duì)訓(xùn)練集訓(xùn)練后找到一個(gè)函數(shù)f，使得對(duì)訓(xùn)練集以外的任一測(cè)試樣本xd，能夠找到與其對(duì)應(yīng)的yd=f(xd)，并使yd與其真值y的偏差最小。

在回歸估計(jì)問(wèn)題方面，LSSVM方法在非線性、高維數(shù)和局部極小值等實(shí)際問(wèn)題具有明顯的優(yōu)點(diǎn)。在LSSVM原理中，它采用如下形式的函數(shù)對(duì)未知函數(shù)進(jìn)行估計(jì)[12-14]：

y(x)=wTΦ(x)+b

(1)

其中Φ:Rm→H,Φ稱(chēng)為特征映射，H稱(chēng)為特征空間，w這空間H中的權(quán)向量，b∈R為偏置。為了有效地解決上述回歸估計(jì)問(wèn)題，LSSVM通過(guò)引入損失函數(shù)將回歸估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為損失函數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)最小化問(wèn)題，同時(shí)采用結(jié)構(gòu)化風(fēng)險(xiǎn)最小原則進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)最小化分析，得出如下優(yōu)化問(wèn)題[12-14]：

(2)

約束條件：

yk=wTΦ(xk)+b+ekk=1,2,…,n

(3)

式中，γ為可調(diào)正則化參數(shù)，ek為誤差變量。

由于直接求解(2)比較困難，因此采用對(duì)偶理論求解并建立Lagrange方程：

(4)

其中αi為L(zhǎng)agrange乘子，優(yōu)化條件為[7]

(5)

為了求解(5)式，在LSSVM原理中，根據(jù)Mercer條件認(rèn)為存在核函數(shù)K(xk,xl)，使得

K(xk,xl)=ΦT(xk)Φ(xl)

(6)

求解優(yōu)化條件式(5)，消去w與ei，并將K(xk,xl)替換ΦT(xk)Φ(xl)，最終將優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)線性方程組：

(7)

其中為αi為拉格朗日(Lagrange)乘子,如果拉格朗日乘子的絕對(duì)值非常小，則對(duì)模型的回歸貢獻(xiàn)非常少，其對(duì)應(yīng)的樣本稱(chēng)為非支持向量，其他情況下拉格朗日乘子所對(duì)應(yīng)的樣本稱(chēng)為支持向量。

LSSVM算法采用最小二乘法求解式(7)表示的線性方程組，避免了標(biāo)準(zhǔn)支持向量機(jī)算法中求解凸二次規(guī)劃問(wèn)題，比傳統(tǒng)的支持向量機(jī)方法具有更快的訓(xùn)練速度和更優(yōu)的預(yù)測(cè)性能。因此，在求解混沌時(shí)間序列問(wèn)題時(shí)采用LSSVM算法解決非線性回歸問(wèn)題。

本文通過(guò)對(duì)大樣本混沌序列數(shù)據(jù)特性的分析，根據(jù)樣本集分割與樣本相關(guān)性的思想，建立了混沌時(shí)間序列的LSSVM預(yù)測(cè)模型，其構(gòu)建方法表述如下：

1) 重構(gòu)相空間，建立混沌時(shí)間序列的學(xué)習(xí)樣本集及測(cè)試樣本集：重構(gòu)相空間是混沌時(shí)間序列的基礎(chǔ)，其關(guān)鍵是求出混沌時(shí)間序列的嵌入維數(shù)m以及時(shí)延τ。目前來(lái)說(shuō)，單獨(dú)求時(shí)延方法有自相關(guān)法[15]、互信息法等[16]，單獨(dú)求嵌入維的G-P 算法或FNN(Flase Nearest Neighbors)法等[17-18]；同時(shí)求時(shí)延與嵌入維的方法有嵌入窗法[19]、C-C 方法等[20]。本文采用C-C法同時(shí)求嵌入維與時(shí)延。假設(shè)混沌時(shí)間序列表示為{x1,x2,x3,…,xn}，其中，xi為混沌時(shí)間序列的實(shí)際值。求得的嵌入維數(shù)為m以及時(shí)延為τ，則重構(gòu)相空間后得到的樣本集如式(8)所示：

(8)

2) 利用快速傅立葉變換求解混沌時(shí)間序列的平均周期T，利用平均周期將大樣本學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)集分解成多個(gè)不同的樣本子集，樣本子集個(gè)數(shù)為n，每個(gè)樣本子集的個(gè)數(shù)最大為T(mén)/m的取整數(shù)；

3) 初始選取正則化參數(shù)C及核參數(shù)δ，也可以通過(guò)多次組合比較預(yù)測(cè)結(jié)果來(lái)選取合適的正則化參數(shù)C及核參數(shù)δ；

4) 對(duì)子集序號(hào)為1到n-1的樣本子集建立不同的LSSVM模型，利用拉格朗日乘子|αi|<θ1時(shí)對(duì)模型的回歸貢獻(xiàn)非常少的原理，從對(duì)應(yīng)的樣本子集中縮減其對(duì)應(yīng)的非支持向量；并將縮減后的樣本子集與最后一個(gè)樣本子集合并構(gòu)成新的學(xué)習(xí)樣本集X′；

(9)

(10)

7)利用相關(guān)系數(shù)縮減法縮減相關(guān)距離|di′| <θ2的對(duì)應(yīng)學(xué)習(xí)樣本，將余下樣本組成新的學(xué)習(xí)樣本集Xend；

8) 利用初始選取的正則化參數(shù)C及核參數(shù)δ對(duì)學(xué)習(xí)樣本集Xend建立LSSVM回歸模型，對(duì)測(cè)試樣本集進(jìn)行非線性回歸分析，最終輸出相應(yīng)的預(yù)測(cè)結(jié)果。

9) 為了衡量算法的預(yù)測(cè)精度，對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)采用均方誤差MSE作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：

(11)

2 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)一：采用典型的混沌時(shí)間序列Lorenz方程驗(yàn)證本模型[21]：

σ=16r=45.92b=4

(12)

取初始值為(-1，0，1)，積分步長(zhǎng)為0.01，利用四階Runge-Kutta算法求出Lorenz方程的數(shù)值解，為了從其數(shù)值解中取出具有明顯混沌特性的數(shù)據(jù)點(diǎn)，本文正是從8 000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)后取出5 000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。

將取出的5 000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的x分量進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，其中前4 000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的x分量作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，后 1 000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的x分量作為測(cè)試數(shù)據(jù)。其混沌時(shí)間序列的LSSVM預(yù)測(cè)模型的建立過(guò)程可描述如下：

圖1 Lorenz函數(shù)的混沌時(shí)間序列的預(yù)測(cè)圖

將標(biāo)準(zhǔn)LSSVM模型對(duì)本文數(shù)據(jù)進(jìn)行同樣的預(yù)測(cè)，其模型的初始化正則化參數(shù)C=100及核參數(shù)δ=10，將其預(yù)測(cè)結(jié)果與本文模型進(jìn)行比較，比較結(jié)果如表1所示。

表1 Lorenz函數(shù)的混沌時(shí)間序列預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)照表

實(shí)驗(yàn)二：具有混沌特性的Mackey-Glass時(shí)滯微分方程定義為[21]

a=0.2,τ=17,b=0.1

(13)

本文取初始值為1.2，步長(zhǎng)取0.1，通過(guò)四階龍格-庫(kù)塔方法求解產(chǎn)生混沌時(shí)間序列，從2 000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)后取出5 000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。

將取出的5 000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的x分量進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，其中前4 000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的x分量作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，后1 000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的x分量作為測(cè)試數(shù)據(jù)。其混沌時(shí)間序列的LSSVM預(yù)測(cè)模型的建模過(guò)程與實(shí)驗(yàn)一類(lèi)似，其預(yù)測(cè)結(jié)果圖如圖2所示。

圖2 Mackey-Glass函數(shù)的混沌時(shí)間序列的預(yù)測(cè)圖

將標(biāo)準(zhǔn)LSSVM模型對(duì)本文數(shù)據(jù)進(jìn)行同樣的預(yù)測(cè)，其模型的初始化正則化參數(shù)C=100及核參數(shù)δ=10，將其預(yù)測(cè)結(jié)果與本文模型進(jìn)行比較，比較結(jié)果如表2所示。

表2 Mackey-Glass函數(shù)的混沌時(shí)間序列預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)照表

從兩個(gè)不同實(shí)驗(yàn)的混沌時(shí)間序列預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)照表可以看出，與標(biāo)準(zhǔn)的LSSVM預(yù)測(cè)模型相比，本文模型在選擇合適的臨界參數(shù)θ1、θ2后，大大縮減了原始的學(xué)習(xí)樣本，使模型學(xué)習(xí)速度得到大大提高，同時(shí)保證了預(yù)測(cè)精度基本不損失，有時(shí)會(huì)反而更好。這為混沌時(shí)間序列的預(yù)測(cè)提供了一種新的快速途徑。

3 結(jié) 論

最小二乘支持向量機(jī)是一種基于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論，采用結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小原則，具有較強(qiáng)的泛化能力的機(jī)器學(xué)習(xí)方法，在混沌時(shí)間序列預(yù)測(cè)方面具有較好的應(yīng)用前景。但針對(duì)大樣本數(shù)據(jù)的學(xué)習(xí)，最小二乘支持向量機(jī)方法具有內(nèi)存開(kāi)銷(xiāo)大、訓(xùn)練速度慢等缺點(diǎn)。因此，本文通過(guò)對(duì)大樣本混沌序列數(shù)據(jù)特性的分析，根據(jù)樣本集分割與樣本相關(guān)性的思想，建立了基于縮減策略下的混沌時(shí)間序列的LSSVM模型，通過(guò)相應(yīng)的仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本模型可以在預(yù)測(cè)精度基本不損失的基礎(chǔ)上具有較快的計(jì)算速度，為大樣本的混沌時(shí)間序列的問(wèn)題研究與預(yù)測(cè)提供了一種新的途徑。通過(guò)研究得到以下兩點(diǎn)認(rèn)識(shí)：

1)混沌時(shí)間序列的預(yù)測(cè)問(wèn)題，只要預(yù)測(cè)方法選擇合適，預(yù)測(cè)參數(shù)選擇合理，可以同時(shí)得到較好的預(yù)測(cè)效果和較快的計(jì)算速度；

2)本文模型充分利用了最小二乘向量機(jī)具有較強(qiáng)的推廣預(yù)測(cè)能力和較好的預(yù)測(cè)精度的特點(diǎn)，且采用了樣本集分割與樣本相關(guān)性的思想，使其在基本不損失預(yù)測(cè)精度的基礎(chǔ)上大大提高了其計(jì)算速度，通過(guò)實(shí)例證明本模型的實(shí)用性。

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