燕明輝

(大慶師范學院,黑龍江 大慶 163712)

1 模糊因子綜合評價法的數(shù)學模型

1.1 一級模糊多目標評價數(shù)學模型的建立

設有域U={u1，u2，…，un}，V={v1，v2，…，vn}，其中U代表綜合評判的各種因素所組成的集合，V代表評價所組成的集合，作模糊變換：

B=A°R=(b1,b2,…,bm)

(1)

式中：

R：m×n階模糊矩陣。

A：U上的模糊子集，權重集。

B：評價結果，論域上的一個模糊子集。

具體的評判的步驟如下：

1)對U中諸因素，用各種可行的辦法發(fā)表做出評語集V中的單因素評判，進而得到一個實際上表示U、V之間模糊關系的模糊矩陣。

2)對因素集U中的諸因素，確定它們在被評判事物中的重要程度，即權重，且要求各因素的權重之和等于1。

3)利用模糊變換公式B=A°R=(b1,b2,…,bm)作模糊變換[1]。

1.2 多級模糊多目標評價數(shù)學模型的演繹

1)演繹條件。將因素集U={u1，u2，…un}，按某種屬性分成S個子因素集x1，x2，…xs，其中

xi={ui1，ui2，…uin}(i=1,2,…s)

(2)

滿足：①n1+n2+…+ns=n；②x1∪x2∪…∪xs=U；③對任意的i≠j,xi∩xj=φ。

2)對每一個子因素集合xi分別作出一級多目標評價。若設評語集V={v1，v2，…vn}，且xi中各因素相對于V的權重分配時A={ai1，ai2，…ain}，若Ri為單因素評判矩陣，則可得一級評判向量

B1=A1°R1=(bi1,bi2,…bim)(i=1,2,…s)

(3)

3)將每個xi看作一個因素，記K=(x1，x2，…xn)，這樣，K又構成一個因素集，K的單因素評價矩陣就由一級評價向量組成。

(4)

每個xi作為U的一部分，反映了U的某種屬性，可以按它們的重要性給出權重分配：

A=(a1,a2,…am)

(5)

從而可得二級模糊多目標評價：

B=A°R=(b1,b2,…,bm)

(6)

如果每個子因素xi(i=1,2,…s)還含有不同類型的或不同層次的子因素，則可將x1再進行劃分，類似于二級評價過程可得三級評價模型，以此類推四級和五級等模型[2]。為了用分數(shù)表示評價的結果，可以對分等級因素賦值，設賦值矩陣為：

(7)

則綜合評價的結果為：

(8)

最后對被評價對象綜合評價得到的結果進行排序。

2 因子分析的數(shù)學模型

2.1 因子分析的基本原理

因子分析的模型為：

X=AF+ε

(9)

假設：

1)F～N(0,Iq)；2)ε～(0,ψp×p)；3)F與ε相互獨立，其中

X：X=(x1,x2,…xp)表示每個樣本的P個指標且每個指標已經(jīng)標準化；

F：F=(F1,F2,…Fp)表示公共因子矩陣；

ε：ε=(ε1,ε2,…εm)表示特殊因子；

Fj：表示由標準化的可觀測評價指標分解出來的相互獨立的公共因子。

(10)

其中

1)aij表示第i個指標xi與第j個公共因子Fj的相關系數(shù)；

2) A中第i行元素的平方和，稱為xi的共同度：

(11)

2.2 因子評價

因子模型原始P個指標表示為n個公共因子與特殊因子的線性組合，因而公共因子能反映原始指標的內部依賴關系。有時需要用公共因子代表原始指標反映本情況，而公共因子是不可觀測的。因此，要反過來將m個公共因子表示成p個原始指標的線性組合，即

Fi=βj1x1+βj2x2+…+βjpxp,j=1,2,…m

(12)

由上式來計算各樣本的公共因子取值，即因子評價，進而用公共因子研究樣本情況。上式中如果方程的個數(shù)m小于指標個數(shù)p,因此無法精確的將因子表示為原始指標的線性組合，只能進行估計[3]。估計因子得分的方法較多，最常用的是Thomson回歸估計法，通過假定m個公共因子可以對p個指標作回歸，由最小二乘法估計得出因子評價：

F=AR-1

(13)

其中，R-1為原始指標相關矩陣的逆矩陣；為因子載荷矩陣[4]。

因此，利用因子得分不僅可以知道被評對象的排序，而且還知道被評價對象在各個指標上的情況。

3 結語

1)提出了模糊因子綜合評價的方法，不僅可以得到被評價對象的排序情況，而且還可以分析出被評價對象在哪些方面有優(yōu)勢和劣勢。

2)本文的指標體系的合理性研究方法是可以建立一個合理的指標體系，用概率統(tǒng)計知識，對指標體系進行合理性評價，具有廣泛的實用性。

[參考文獻]

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