劉榮輝,沙元霞

(大慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江 大慶 163712)

0 引言

自從提出樣條函數(shù)的概念以來(lái)，樣條函數(shù)方法得到了迅速的發(fā)展和廣闊的應(yīng)用，尤其是Box樣條函數(shù)，它具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，便于應(yīng)用的特點(diǎn)，文章通過(guò)選取二元Box樣條函數(shù)作為初始函數(shù)，給出了相應(yīng)的周期多尺度分析構(gòu)造。 通過(guò)周期多尺度分析，我們很容易得到各種多元小波，這對(duì)于數(shù)字信號(hào)的處理，微分方程與積分方程數(shù)值求解等實(shí)際問(wèn)題的解決很有幫助。

1 預(yù)備知識(shí)

(1)

(2)

則由(1)，(2)兩式可得如下命題1：

證明：1)對(duì)任意j≥0,k∈Z2，由中心Box樣條的對(duì)稱(chēng)性，我們有

2)

3)

命題成立。

證明：令V=Uj≥0Vj我們只需證V⊥={0}

對(duì)任意的f(x)∈V,j≥0,λ∈Z2,有f(x-λhj)∈V，任取函數(shù)g(x)∈V⊥，則有0=〈f,g〉=〈f(-λhj),g〉。

設(shè)f(x)和g(x)的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)系數(shù)分別為{Sv}v∈z2,{λλ}λ∈z2，則我們有

從而

我們可得

故

令j→∞，則有

故對(duì)所有的v∈Z2有ηv=0，這就蘊(yùn)含著g(x)=0，即V⊥={0},命題成立。

設(shè)常數(shù){α}使得

作變量代換y=2jx，可得

將y限制到子區(qū)間[m1T,(m1+1)T]×[m2T,(m2+1)T]上，我們有

則很容易證出：

αk=0,1-p≤liKj+p-1,i=1,2

3 主要結(jié)果

1)Vj?Vj+1,j≥0。

3)對(duì)任意j≥0，存在函數(shù)fj∈Vj，使得平移函數(shù)組{fj(?-2-jk),k∈Z(Tj)}構(gòu)成Vj的一組基底。

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)上面的研究，我們得到了基于二元Box樣條的周期多尺度分析的構(gòu)造，在周期多尺度分析的基礎(chǔ)上，很容易構(gòu)造出具有基插值性質(zhì)的小波函數(shù)，這在實(shí)際應(yīng)用中是非常方便的，能夠快速的處理信號(hào)問(wèn)題，節(jié)省計(jì)算量。

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