薛佳佳，喬路芳

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 徐州 221116)

0 引言

金融數(shù)學(xué)是最近發(fā)展起來的新興邊緣學(xué)科，是數(shù)學(xué)與金融學(xué)的交叉。主要運(yùn)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論和方法(如：隨機(jī)分析、隨機(jī)最優(yōu)控制、組合分析、非線性分析、多元統(tǒng)計(jì)分析、數(shù)學(xué)規(guī)劃、現(xiàn)代計(jì)算方法等)對(duì)金融(除銀行功能之外，還包括投資、債券、基金、股票、期貨、期權(quán)等金融工具和市場(chǎng))的理論和實(shí)踐進(jìn)行數(shù)量的分析研究，其目的是利用有效的數(shù)學(xué)工具揭示金融學(xué)的本質(zhì)特征，從而達(dá)到對(duì)具有潛在風(fēng)險(xiǎn)的各種未定權(quán)益的合理定價(jià)和選擇規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的最優(yōu)策略[1-3]。

金融數(shù)學(xué)(Mathematical Finance)這一學(xué)科名詞20世紀(jì)80年代末才出現(xiàn)。它是馬柯維茨(H.Markowitz,1990年獲諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng))的證券組合選擇理論和斯科爾斯默頓(M.Scholes-R.Merton，1997年獲諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng))的期權(quán)定價(jià)理論這兩次華爾街革命的直接產(chǎn)物[4]。但金融數(shù)學(xué)的歷史可以追朔到1900年法國(guó)數(shù)學(xué)家巴歇里埃(Bachelier L.)的博士論文“投機(jī)的理論”(The Theory of Speculation)，該文中巴歇里埃首次使用Brown 運(yùn)動(dòng)來描述股票價(jià)格的變化，這為后來金融學(xué)的發(fā)展，特別是為現(xiàn)代期權(quán)定價(jià)理論奠定了理論基礎(chǔ)。金融數(shù)學(xué)的核心問題是不確定環(huán)境下的最優(yōu)投資策略的選擇理論、定價(jià)理論以及市場(chǎng)理論，套利、最優(yōu)與均衡是其中的三個(gè)主要概念[4-5]。

1 金融數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)理論和方法

金融數(shù)學(xué)作為一門邊緣學(xué)科，它最顯著的特征就是有效地運(yùn)用數(shù)學(xué)方法發(fā)現(xiàn)和論證金融經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的一些規(guī)律。由于金融問題的復(fù)雜性，所用到的數(shù)學(xué)知識(shí)，除基礎(chǔ)知識(shí)外，還大量地運(yùn)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論和方法。主要有倒向隨機(jī)微分方程、隨機(jī)分析、隨機(jī)控制、數(shù)學(xué)規(guī)劃、微分對(duì)策、非線性分析、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、泛函分析、鞅理論等，在證券價(jià)格分析中還引進(jìn)了新型的非線性分析工具，如分形幾何、混沌學(xué)、子波理論、模式識(shí)別等。在證券選擇和股票種類的預(yù)測(cè)中逐漸引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法、人工智能方法，在期貨市場(chǎng)創(chuàng)新的仿真研究中有人運(yùn)用模擬退火法和遺傳算法等[6]。

2 金融數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論

2.1 證劵組合理論

金融學(xué)從定性分析到定量分析的轉(zhuǎn)變始于馬柯維茨(Markowitz)的證劵組合投資。1952 年，馬柯維茨在其論文 “投資組合的選擇(Portfolio Selection)”中將概率論和數(shù)學(xué)規(guī)劃成功地組合在一起，把組合投資中的股票價(jià)格作為隨機(jī)變量，以均值衡量收益，用方差表示風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)收益一定，使風(fēng)險(xiǎn)最小的組合投資問題可以歸三結(jié)為求如下的二次規(guī)劃的最優(yōu)解：

(1)

其中：X=(X1,X2,…,Xn)T為所求的組合系數(shù)；R=(R1,R2,…Rn)T為收益的均值向量；V為收益協(xié)方差矩陣；r為投資者要求的最低收益率；I=(1,1,…,1)T，L=(L1,L2,…Ln)T，P=(P1,P2,…Pn)T為買空賣空的限制。

馬柯維茨首次提出用方差來度量投資組合的風(fēng)險(xiǎn)，還提出了投資組合的有效邊界的概念：即均值一定時(shí)方差最小的點(diǎn)，方差一定時(shí)均值最大的點(diǎn)組成的集合。他認(rèn)為，個(gè)人投資組合的最優(yōu)決策是選擇個(gè)人的無差異曲線與投資組合的有效邊界的切點(diǎn)，并進(jìn)而求出各資產(chǎn)持有的合理的比例。

2.2 CAPM理論

20世紀(jì)60年代中期，在馬柯維茨的均值-方差投資組合理論的基礎(chǔ)上，斯坦福大學(xué)教授夏普(William Sharpe)、林特納Lintner J.)和莫新(Mossin J.)研究了均衡競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)中金融資產(chǎn)的價(jià)格形成，提出了著名的資本資產(chǎn)定價(jià)理論(Capital Asset Pricing Model，簡(jiǎn)稱CAPM)[7-9]。

E(R1)=RF÷βi(E(Rm)-RF)

(2)

其中，RF為無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率；Rm為市場(chǎng)資產(chǎn)組合的收益率；β=cov(Ri,Rm)/var(Rm)為風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)。

他們認(rèn)為，證券投資的回報(bào)率與風(fēng)險(xiǎn)之間存在一定的定量關(guān)系，所有投資者都在證券市場(chǎng)線上選擇證券，所選中的投資組合是投資者的效用函數(shù)與證券市場(chǎng)線的切點(diǎn)，夏普評(píng)價(jià)的關(guān)鍵就是求切點(diǎn)，即測(cè)度資本市場(chǎng)線中的斜率項(xiàng)。CAPM 在證券股價(jià)、投資組合的績(jī)效的測(cè)定、資本預(yù)算和投資風(fēng)險(xiǎn)分析中得到廣泛應(yīng)用。

2.3 Black-Scholes 期權(quán)定價(jià)理論

1973年，布萊克(Fisher Black)和斯科爾斯(Myron S.Scholes)在“期權(quán)定價(jià)與公司負(fù)債”一文中提出了著名的Black-Scholes模型(簡(jiǎn)稱B-S 模型)[10]：

(3)

由此證明了期權(quán)的合理價(jià)格不依賴于投資者的偏好，也就是“風(fēng)險(xiǎn)中性原則”，這點(diǎn)不同于之前的無套利定價(jià)原理。由于B-S 公式具有較強(qiáng)的實(shí)用性和可操作性，B-S模型可以被廣泛用來制作各種金融衍生產(chǎn)品的價(jià)格，是開發(fā)新金融產(chǎn)品的有效工具。B-S模型也為套期保值與風(fēng)險(xiǎn)管理開辟了新的天地，成為現(xiàn)代金融理論探索的源泉。幾乎與此同時(shí)，默頓(Merton R)在“合理的期權(quán)定價(jià)理論”一文中對(duì)B-S模型和定價(jià)公式做了多方面的系統(tǒng)推廣，他研究出了表示股票支付紅利的期權(quán)定價(jià)公式；給出了歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)以及歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式；提出了更貼近現(xiàn)實(shí)的可變利率的歐式期權(quán)定價(jià)模型。

3 金融數(shù)學(xué)研究的最新進(jìn)展

20世紀(jì)80年代末，隨著金融市場(chǎng)的進(jìn)一步完善和發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)前面研究的所有金融模型都假定投資者可得到市場(chǎng)的完全信息，而實(shí)際上投資者只可觀測(cè)到刻畫系統(tǒng)狀態(tài)的價(jià)格過程本身，而布朗運(yùn)動(dòng)及動(dòng)態(tài)資產(chǎn)的漂移系數(shù)是不可觀測(cè)到的，即投資者只可得到市場(chǎng)的部分信息[3]。于是，許多學(xué)者運(yùn)用各種數(shù)學(xué)方法對(duì)基于不完全信息的投資消費(fèi)問題進(jìn)行了系統(tǒng)研究，并取得了一定的進(jìn)展。本文現(xiàn)將研究中所用到的主要數(shù)學(xué)工具列舉如下：

3.1 隨機(jī)最優(yōu)控制理論

由于金融學(xué)理論一個(gè)得重要的應(yīng)用領(lǐng)域是解決連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)性的問題，而解決這個(gè)問題的重要手段是隨機(jī)最優(yōu)控制理論。隨機(jī)最優(yōu)控制是在20世紀(jì)60年代末和70年代初，數(shù)學(xué)家們應(yīng)用貝爾曼最優(yōu)化原理，并用測(cè)度理論和泛函分析方法發(fā)展起來的新的數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域。1971年默頓(Merton)使用連續(xù)時(shí)間方法論述消費(fèi)和資產(chǎn)組合的問題[11]，有布羅克(Brock)和米爾曼(Mirman)在不確定情況下使用離散時(shí)間方法解決經(jīng)濟(jì)最優(yōu)增長(zhǎng)問題[12]。從此以后，隨機(jī)最優(yōu)控制方法應(yīng)用到大多數(shù)的金融領(lǐng)域。在國(guó)內(nèi)以彭實(shí)戈為代表的中青年學(xué)者對(duì)此也做出了卓越貢獻(xiàn)[13-16]。

3.2 鞍理論

鞍理論引入是現(xiàn)代金融理論最新的研究成果。1977年，哈里森(Harrison J.M.)和柯瑞普斯(Kreps S.R.)提出了期權(quán)定價(jià)理論的鞅方法，他們用鞅論中的鞅測(cè)度概念來刻畫無套利市場(chǎng)和不完全市場(chǎng)，并用等價(jià)鞅測(cè)度對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)和套期保值或?qū)_。由Karatza.S和Shreve等人倡導(dǎo)的鞍方法直接把鞍理論引入到現(xiàn)代金融理論中，利用等價(jià)鞍測(cè)度的概念研究衍生證券的定價(jià)問題，得到的結(jié)果不僅能深刻揭示金融市場(chǎng)的運(yùn)行規(guī)律，而且可以提供一套有效的算法，求解復(fù)雜的衍生金融產(chǎn)品的定價(jià)與風(fēng)險(xiǎn)管理問題[17-18]。利用鞍理論研究金融理論的另一個(gè)作用是它能夠較好地解決金融市場(chǎng)不完備時(shí)的衍生證券定價(jià)問題，從而使現(xiàn)代金融理論取得了突破性的進(jìn)展[19]。目前基于鞍方法的衍生證券定價(jià)理論在現(xiàn)代金融理論中占主導(dǎo)地位，但在國(guó)內(nèi)還是一個(gè)空白。

3.3 微分對(duì)策理論

運(yùn)用微分對(duì)策方法研究期權(quán)定價(jià)問題和投資決策問題是現(xiàn)代金融理論發(fā)展的另一個(gè)重要方向，目前取得了一定的成果[20-21]。當(dāng)金融市場(chǎng)不滿足穩(wěn)態(tài)假定或出現(xiàn)異常波動(dòng)時(shí)，證券價(jià)格往往不服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，這時(shí)用隨機(jī)動(dòng)態(tài)模型研究證券投資決策問題的方法無論從理論上，還是從實(shí)際上都存在著較大偏差。用微分對(duì)策方法研究金融決策問題可以放松這一假設(shè)，把不確定擾動(dòng)假想成敵對(duì)的一方，針對(duì)最差情況加以優(yōu)化，可以得到“魯棒性”很強(qiáng)的投資策略。另外，求解微分對(duì)策的貝爾曼方程是一階偏微分方程，比求解隨機(jī)控制問題的二階偏微分方程要簡(jiǎn)單得多。因此，運(yùn)用微分對(duì)策方法研究金融問題具有廣闊的應(yīng)用前景。

3.4 最優(yōu)停時(shí)理論

最優(yōu)停時(shí)理論是概率論體系中一個(gè)具有很強(qiáng)的實(shí)用性領(lǐng)域，近年來，不少金融學(xué)家和金融數(shù)學(xué)家將這一理論與現(xiàn)代的投資組合理論相結(jié)合，取得了不錯(cuò)的成績(jī)[22-24]。但是這一領(lǐng)域的研究文獻(xiàn)仍然不多，該領(lǐng)域仍處于起步階段。Moton A和Pliska S R運(yùn)用最優(yōu)停時(shí)理論研究了具有固定交易費(fèi)用的證券投資決策問題，給出了具有二個(gè)風(fēng)險(xiǎn)證券的投資決策問題一種簡(jiǎn)化算法。在國(guó)內(nèi)有關(guān)這方面的研究尚不多見。相信運(yùn)用最優(yōu)停時(shí)理論來研究投資決策問題和風(fēng)險(xiǎn)最小化問題會(huì)有更大的進(jìn)展。

3.5 智能優(yōu)化

把智能優(yōu)化方法(遺傳算法、模擬退火算法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、小波分析等)和傳統(tǒng)方法結(jié)合起來，應(yīng)用于風(fēng)險(xiǎn)控制和投資決策問題中是另一個(gè)具有更為廣闊的研究領(lǐng)域，給我們提供了廣泛的研究課題。國(guó)際上有關(guān)這方面的研究已經(jīng)有了初步的成果[25-27]，在國(guó)內(nèi)也有一大批學(xué)者致力于這方面的研究[28-30]。由于這一領(lǐng)域的發(fā)展比較晚，還有很多的難題尚未解決，但是我們?nèi)韵嘈沤鹑趯W(xué)家、數(shù)學(xué)家以及人工智能專家們的通力合作，在這一新興的研究領(lǐng)域一定能夠取得突破性的進(jìn)展。

4 金融數(shù)學(xué)研究面臨的問題與前景

金融數(shù)學(xué)除了上述幾個(gè)基本理論的繼續(xù)發(fā)展和完善外，還有很多工作可以做。如美式期權(quán)問題、亞洲期權(quán)問題、利率的期限結(jié)構(gòu)問題、市場(chǎng)價(jià)格的波動(dòng)與突發(fā)事件問題等。

4.1 美式期權(quán)問題

在市場(chǎng)上交易的期權(quán)大部分是美式期權(quán)[31]。對(duì)于美式期權(quán)的定價(jià)，問題要比歐式期權(quán)定價(jià)困難得多。因?yàn)槊朗狡跈?quán)可以在到期前的任何時(shí)刻執(zhí)行，這就涉及到期權(quán)的最佳執(zhí)行時(shí)間問題。一般情況下期權(quán)的最佳執(zhí)行時(shí)間是一個(gè)十分復(fù)雜的問題，至今還沒有得到很好的解決。如果應(yīng)用偏微分方程的方法來討論美式期權(quán)的定價(jià)，對(duì)應(yīng)的偏微分方程的問題將變成為“自由邊界”問題，在數(shù)學(xué)上較難處理。一般情況下，美式期權(quán)沒有精確的解析定價(jià)公式，而只能用數(shù)值解法或解析近似解法，因此，發(fā)展各種計(jì)算美式期權(quán)價(jià)格的數(shù)值方法具有重要的實(shí)際意義。

4.2 利率的期限結(jié)構(gòu)問題

在“B-S模型”中，利率是給定的常數(shù)。實(shí)際上，利率的變化是相當(dāng)復(fù)雜的，不同性質(zhì)、不同到期日的證券，利率的變化規(guī)律互不相同，這也就是利率的期限結(jié)構(gòu)。它通?？梢杂檬找媛是€的形式來表示。利率的期限結(jié)構(gòu)包括三種理論：市場(chǎng)預(yù)期理論、市場(chǎng)分割和投資偏好理論、流動(dòng)性偏好理論[32-33]。這些理論分別從不同的角度對(duì)利率的不規(guī)則變化作出了解釋。近年來由于利率風(fēng)險(xiǎn)的日益突出，利率期權(quán)等利率衍生證券得到了迅速發(fā)展，利率的期限結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型不斷提出。

4.3 市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)問題

所謂價(jià)格的波動(dòng)性，通常是指未來價(jià)格偏離其期望值的可能性。在金融經(jīng)濟(jì)學(xué)中，波動(dòng)性用回報(bào)的標(biāo)準(zhǔn)差來度量，而不用價(jià)格的標(biāo)準(zhǔn)差度量[31]。例如，在“B-S模型”及其大部分推廣中，假設(shè)股票價(jià)格的波動(dòng)率為常數(shù)，這在實(shí)際中是不合理的。為了更準(zhǔn)確地描述股票價(jià)格變化的規(guī)律，必須考慮以下因素：股票價(jià)格波動(dòng)率對(duì)股票價(jià)格的依賴性；波動(dòng)率與其它隨機(jī)變量的依賴性；股票價(jià)格可能的突然跳動(dòng)。隨機(jī)波動(dòng)率模型能夠體現(xiàn)上述某些因素，目前受到高度重視。這類模型假設(shè)波動(dòng)率服從某一隨機(jī)過程，比如幾何布朗運(yùn)動(dòng)等。

4.4 突發(fā)事件問題

突發(fā)事件在金融領(lǐng)域中具有不容忽視的影響，如1997年的東南亞金融危機(jī)，給一些國(guó)家造成巨大損失?；趥鹘y(tǒng)的平穩(wěn)隨機(jī)過程的預(yù)測(cè)理論完全不適用。傳統(tǒng)理論或許能解釋市場(chǎng)在95%的時(shí)間里發(fā)生的情況。然而，如果人們承認(rèn)突發(fā)事件就發(fā)生在剩下5%的時(shí)間里，那么傳統(tǒng)理論所描述的圖景就沒有反映實(shí)際情況[34]?，F(xiàn)在研究應(yīng)用混沌學(xué)與分形理論來解釋股票價(jià)格如何暴漲暴跌。金融突發(fā)事件的預(yù)警由于涉及多因素、定量化與報(bào)警靈敏度等，往往比較困難，這也是金融數(shù)學(xué)研究的重要領(lǐng)域。

5 結(jié)束語

金融數(shù)學(xué)是運(yùn)用數(shù)學(xué)的理論和方法對(duì)金融理論和實(shí)踐進(jìn)行的分析研究，它為金融經(jīng)濟(jì)的發(fā)展注入了巨大的動(dòng)力，促進(jìn)了金融理論、金融實(shí)踐管理和金融創(chuàng)新。隨著金融全球一體化的發(fā)展，金融數(shù)學(xué)將成為國(guó)際金融領(lǐng)域的一枝奇葩，受到國(guó)際金融界和應(yīng)用數(shù)學(xué)界的高度重視。我們相信21世紀(jì)金融數(shù)學(xué)將會(huì)得到更深入的發(fā)展和更廣泛的應(yīng)用。

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