應(yīng)展烽， 吳軍基， 易文俊

(南京理工大學(xué)動力工程學(xué)院， 南京 210094)

三角變換測頻法的誤差分析及誤差抑制①

應(yīng)展烽， 吳軍基， 易文俊

(南京理工大學(xué)動力工程學(xué)院， 南京 210094)

抑制三角變換測頻法誤差對于電網(wǎng)頻率檢測具有重要意義。文中通過引入檢測點間隔的概念重新推導(dǎo)了三角變換法，并對其誤差機(jī)理進(jìn)行了分析。研究發(fā)現(xiàn)，算法精度與檢測點間隔相關(guān)。利用極值分析法和牛頓迭代法可對最優(yōu)檢測點間隔進(jìn)行估計。通過最優(yōu)間隔的選取和少數(shù)結(jié)果奇異點的剔除，即使待測信號存在一定誤差，三角變換法的精度也能滿足工程需要。算例仿真證明該研究能夠提高算法精度和抗干擾能力，同時降低算法對濾波及采樣裝置精度的依賴性。

頻率檢測； 三角變換； 誤差分析； 牛頓迭代法

基波頻率是電網(wǎng)信號分析與處理中的重要參數(shù)。頻率的波動會導(dǎo)致電力檢測和保護(hù)設(shè)備性能下降，甚至出現(xiàn)誤動作。因此正確檢測頻率在工程中具有重要意義。

近幾年，頻率檢測的三點法和六點法被分別提出。由于二者都是基于三角變換的代數(shù)算法，故可被統(tǒng)稱為三角變換法。相比其他測頻方法[1～4]而言，三角變換法原理簡單，計算量小，精度與采樣頻率無關(guān)，非常適合于低壓電網(wǎng)頻率的跟蹤測量，因此得到較廣的應(yīng)用。如Xue[5]和Aghazadeh[6]將三點法和過零法結(jié)合對電網(wǎng)頻率進(jìn)行跟蹤，研究結(jié)果均發(fā)現(xiàn)三點法可以極大的提高系統(tǒng)的頻率跟蹤的能力。洪慧娜[7]對三點法進(jìn)行了靜態(tài)仿真，提出了檢測結(jié)果的奇異點和隨機(jī)數(shù)據(jù)舍去方法。張瑛[8]通過二次平方逼進(jìn)法進(jìn)一步提高了三點法中反三角函數(shù)的求解精度。石敏[9]通過六點法對實際電網(wǎng)信號進(jìn)行了檢測，證明了算法的對頻率的跟蹤性。

然而，三角變換法存在嚴(yán)重缺陷。這是因為該算法要求待測信號必須是高精度的基波信號。但工程中，通過濾波和采樣裝置得到的基波信號往往會因為精度不足而出現(xiàn)誤差(盡管誤差值一般較小，卻幾乎不可避免)。小誤差會嚴(yán)重影響算法精度，甚至導(dǎo)致檢測失敗，因此影響了三角變換法的工程實用性。實際上，通過調(diào)整算法中各檢測點之間的間隔，可以調(diào)節(jié)濾波和采樣誤差對三角變換法精度的影響，甚至可以最大程度的抑制結(jié)果誤差。相反，檢測點間隔調(diào)整不佳時將可能導(dǎo)致算法精度更加惡化。文獻(xiàn)[8]在研究三點法時已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了該現(xiàn)象，并提出只要保證三個檢測點均在1/4個周期內(nèi)，則算法就具有較高的精度。但由于未經(jīng)數(shù)學(xué)驗證，其結(jié)論并不完整。而其他大多數(shù)研究者均沒有對檢測點間隔與算法誤差程度之間的相關(guān)性進(jìn)行探討。

為了提高三角變換法的精度和抗干擾能力，同時降低算法對濾波及采樣精度的依賴性，本文通過引入的檢測點間的采樣點數(shù)，重新推導(dǎo)了頻率檢測的三點法和六點法。接著分析了待測信號出現(xiàn)誤差時，算法的誤差的數(shù)學(xué)機(jī)理。根據(jù)誤差機(jī)理和牛頓迭代法，大致估計出了可以抑制算法誤差的最優(yōu)檢測點間隔。通過最優(yōu)間隔的選取和少數(shù)結(jié)果奇異點的剔除，即使待測信號存在一定誤差，三角變換法的精度也能滿足工程需要。為定量驗證本文研究的正確性，文中還對結(jié)果曲線的畸變率進(jìn)行了定義。

1 三角變換測頻法

1.1 三點法

三點法是三角變換法的一種，其具體推導(dǎo)過程如下。

設(shè)電網(wǎng)中無畸變電壓信號為

u(t)=Umsin(ωt-φ)

(1)

其中ω=2πf，f為信號真實頻率。

利用頻率fs對u(t)進(jìn)行采樣，令α=ωt-φ，將u(t)改寫為

u(t)=Umsinα

(2)

在采樣序列中，等時間間隔選取三個檢測點ui，ui-n和ui-2n。與傳統(tǒng)三點法推導(dǎo)不同，本文在檢測點的選取中，引入了變量n，n可視為相鄰檢測點之間的采樣點數(shù)。n/fs即為檢測點之間的時間間隔。設(shè)

θ=ωn/fs=2πnf/fs

(4)

則有

f=θfs/(2πn)

(5)

ui，ui-n和ui-2n可表示為

ui=Umsin(αi)

(6)

ui-n=Umsin(αi-θ)

(7)

ui-2n=Umsin(αi-2θ)

(8)

根據(jù)三角變換，可得

ui+ui-2n=2ui-ncosθ

(9)

所以

θ=arccos((ui+ui-2n)/(2ui-n))

(11)

故得到測頻公式：

f=arccos((ui+ui-2n)/(2ui-n))fs/(2πn)

(12)

其中ui-n不能為0，否則式(12)無意義。為了保證θ的反三角函數(shù)結(jié)果精度，可以采用二次最佳平方逼近法求解θ[8]。

1.2 六點法

六點法具體推導(dǎo)過程如下。推導(dǎo)中，同樣引入檢測點間的采樣數(shù)n。

對電網(wǎng)中無畸變電網(wǎng)信號采樣后，取六個檢測點ui-2n-1，ui-2n，ui-n-1，ui-n，ui-1和ui，設(shè)

pn(i)=ui(ui-n+ui-n-1)+ui-n(ui+ui-1)

p2n(i)=ui(ui-n+ui-2n-1)+ui-2n(ui+ui-1)

(13)

根據(jù)三角變換

(14)

則

p2n(i)/pn(i)=2cos(2πnf/fs)

(15)

故得到測頻公式

f=arccos(p2n(i)/(2pn(i))fs/(2πn))

(16)

其中pn(i)不能為0，否則式(16)無意義。可見，六點法與三點法相同，都基于三角變換的測頻方法，但是由于其需要六個檢測點參與計算，因此快速性稍差。

2 算法誤差機(jī)理及最優(yōu)檢測點間隔估計

2.1 誤差機(jī)理

三點法和六點法均要求待測信號是無畸變的高精度基波信號，而濾波和采樣裝置的精度有限，因此待測信號往往存在誤差。待測信號誤差導(dǎo)致檢測點出現(xiàn)誤差，并嚴(yán)重影響算法的精度，甚至使算法失效。故需要進(jìn)行研究。

由于三點法和六點法都由三角變換導(dǎo)出，且均利用反余弦函數(shù)快速求解電網(wǎng)頻率，因此二者有著類似的誤差機(jī)理。設(shè)有一頻率函數(shù)f=y(x)，當(dāng) 出現(xiàn)小偏差Δx時，f出現(xiàn)偏差Δf。根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解的一階迎風(fēng)格式，f的導(dǎo)數(shù)可近似寫為

f′≈Δf/Δx

(17)

即

|Δf|≈|f′‖Δx|

(18)

可見，偏差|Δf|可用|Δx|和x處的導(dǎo)數(shù)絕對值近似表征。|Δx|是一未知、隨機(jī)變量，在測頻前不可能預(yù)知。但考慮到在工程中，|Δx|一般較小，故|Δf|在很大程度上受|f′|決定。|f′|越大，偏差|Δf|越大，三點法測頻精度越低。反之亦然。

式(12)和(16)可改寫為下面通式

f=arccos(x)fs/(2πn)

(19)

其中

x=(ui+ui-2n)/(2ui-n)=cos(2πnf/fs)

(20)

或

x=p2n(i)/(2pn(i))=cos(2πnf/fs)

(21)

故

(22)

即

|f′|=|fs/(2πnsin(2πnf/fs))|

(23)

這說明，當(dāng)采樣頻率已知時，|f′|的大小受到f及n的影響。也就是說，若檢測點出現(xiàn)偏差，三角變換測頻法結(jié)果的誤差程度與信號頻率及檢測點之間的間隔密切相關(guān)。這也可認(rèn)為是由于反余弦函數(shù)特性導(dǎo)致的。

2.2 最優(yōu)檢測點間隔估計

根據(jù)誤差機(jī)理，調(diào)節(jié)檢測點的間隔可以對三角變換法的誤差進(jìn)行抑制。由(23)式得知，當(dāng)|fs/(2πnsin(2πnf/fs))|最小，算法檢測結(jié)果最優(yōu)，誤差抑制程度最佳。但是f是待求量，因此，準(zhǔn)確計算出|f′|值是困難的。幸運的是，電網(wǎng)的工頻一般情況下波動不大，其波動范圍約為49 Hz～51 Hz。基于此范圍，可以大致估計出n的取值范圍和|f′|最小時的最優(yōu)n值。

反余弦函數(shù)的值域為[0，π]，根據(jù)(19)式，有

0≤2πnf/fs≤π

(24)

即

0≤n≤floor(fs/(2f))

(25)

其中floor()為下取整算符。又因為f最大取值為51 Hz，并且參與計算的三個點之間必須有間隔，故n的取值范圍改寫為

1≤n≤floor(fs/(102))

(26)

由式(26)知(23)式右端項的絕對值符可去除，并改寫為

|f′|=fs/(2πnsin(2πnf/fs))

(27)

圖1(a)為f分別為49 Hz、50 Hz和51 Hz時，|f′|值隨n的變化曲線(作圖時，橫坐標(biāo)按式(26)給定n的范圍取值)。從圖中可以看出，隨著n的增加，|f′|先急劇地大幅減小再緩慢地小幅上升。那么，在n的取值區(qū)間內(nèi)，|f′|必存在一極小值點。直接求取|f′|極值略微繁瑣，可令p(n)=nsin(2πnf/fs)，則p(n)的極大值點即為|f′|的極小值點。p(n)函數(shù)圖像如圖1(b)所示。p(n)的極大值點可用牛頓迭代法求解下面非線性方程得到，

p′(n)=sin(2πnf/fs)+

2πnfcos(2πnf/fs)/fs

(28)

牛頓迭代法得到的是方程的高精度近似解。將近似解取整后，即得到保證算法精度的最優(yōu)n值，從而得到最優(yōu)檢測點間隔。

需注意的是，牛頓迭代收斂速度快，卻對迭代初值要求較高，因此初值選擇時，應(yīng)配合圖像盡量接近真實極大值。另外，也可通過觀察圖1(b) 直接估計最優(yōu)n值，這樣無需進(jìn)行牛頓迭代求解，但估計精度會有所下降。

(a) |f′|圖像

(b) p(n)圖像圖1 |f′|和p(n)曲線圖像Fig.1 Graph of |f′| and p(n)

表1為fs=3 200 Hz，f分別為49 Hz，50 Hz，51 Hz時迭代得到的最優(yōu)n值。表中發(fā)現(xiàn)，頻率波動不大時，n值相差不大，可近似選用n=20來作為最優(yōu)值。

表1 fs=3200 Hz時，不同頻率的最優(yōu)n值Tab.1 Optimal n at different frequencywhen fs=3200 Hz

在已知fs情況下，上述對n的求解過程完全可在測頻前離線計算。當(dāng)檢測點出現(xiàn)誤差時，利用所估計的最優(yōu)n值，算法誤差達(dá)到最小，這極具工程意義。

3 結(jié)果奇異點剔除

由于|Δx|的未知性和隨機(jī)性，即使采用了誤差抑制措施，三角變換法的結(jié)果誤差也不可能完全消除。算法結(jié)果中可能存在著少量由于|Δx|過大造成的奇異點。為提高精度，應(yīng)將結(jié)果中奇異點剔除。

設(shè)ui處得到的頻率為fi，ui-1處得到的頻率為fi-1，若

(29)

則fi應(yīng)剔除。A是可調(diào)閾值，一般可取0.001左右。

利用式(29)對奇異點判斷的好處是計算簡單，耗時少。缺點是判斷精度低。當(dāng)待判斷序列的波動范圍較大時，可能出現(xiàn)較多誤判斷結(jié)果。但是由于本文中的頻率結(jié)果序列已經(jīng)經(jīng)過了誤差抑制，其波動已大幅降低，故采用式(29)是適合的。

4 實例仿真與討論

本文編制程序?qū)θ亲儞Q法測頻過程進(jìn)行仿真。為驗證算法誤差的誤差機(jī)理和誤差抑制的正確性，程序中選取了不同n值參與計算。

設(shè)一低壓電網(wǎng)中的濾波和采樣裝置精度不足，基波電壓信號可以表示為

(30)

其中e(t)為濾波和采樣導(dǎo)致的誤差信號，如圖2所示。誤差中包含總畸變率約為0.45% 的3、5、7次諧波，并且含有信噪比約為51 dB的噪聲信號。最大誤差值約為信號幅值的1%。鑒于目前的低壓設(shè)備中，濾波和采樣裝置的精度一般都能達(dá)到10-3以上量級，因此類似e(t)這種程度的誤差信號完全可作為常見誤差。

圖2 小誤差信號e(t)Fig.2 Minor error signal e(t)

以f=49 Hz為例，用采樣頻率fs=3 200 Hz對u(t)采樣128點。根據(jù)三點法或六點法，每個采樣點ui處均可得相應(yīng)的頻率值(即，實現(xiàn)了頻率跟蹤)。為了保持結(jié)果的完整性，假設(shè)計算從第二個周期開始。圖3(a)和(b)分別為利用三點法和六點法得到的頻率檢測曲線。其中n分別等于1，3，9，20，28和31。觀察圖3發(fā)現(xiàn)，同一信號頻率下，無論三點法或是六點法，檢測結(jié)果曲線均會由于待測信號誤差而出現(xiàn)波動。為定量分析各曲線波動情況，定義頻率曲線畸變率Ar為

(30)

其中fi為ui處所得的頻率，f為理論頻率。N為計算所得fi總數(shù)?？梢?，Ar越大，則頻率曲線波動越明顯。

表2將各n值下頻率曲線的畸變率全部列出，結(jié)合圖3和表2可以看出，n=20時(前文所估計的最優(yōu)點)，三點法和六點法頻率檢測曲線最為平滑，畸變率最小。大部分檢測結(jié)果均較為準(zhǔn)確，只有極少量結(jié)果奇異點存在由于Δx過大造成的粗大誤差。而n≠20時，畸變率增加，曲線均存在較多波動或較多的奇異點，檢測結(jié)果也存在較多誤差。尤其當(dāng)n=1，3時，此時三個檢測點均在1/4信號周期內(nèi)，但所得結(jié)果卻嚴(yán)重失真，大部分檢測結(jié)果已不可靠。

這說明應(yīng)用三角變換法時，若不能合理選取檢測點間隔，不僅算法的精度出現(xiàn)下降，甚至還會導(dǎo)致算法失效。同時，這也說明本文對三角變換法誤差機(jī)理的分析是正確的，所估計的最優(yōu)檢測點間隔能夠較大程度的抑制算法誤差。

另外，從圖3和表2中還可看出，相同n值下，六點法的頻率曲線波動一般都要大于三點法，這是由于六點法計算中所需的檢測點較多，結(jié)果受檢測點誤差變化的影響也較大，因此算法精度略低。

圖3 頻率檢測結(jié)果曲線Fig.3 Curve of frequency detection表2 不同n值下的頻率曲線畸變率Tab.2 Aberration rate of frequency detectioncurve with different n

n畸變率Ar/%三點法六點法110.7109.736.638.091.77.0200.61.2281.05.3311.312

為具體說明三角變換法的測頻精度，利用式(6)將n=20時的奇異點剔除，并平均所有結(jié)果得平均頻率。表3將不同頻率下，n=20時的平均頻率列出?？梢园l(fā)現(xiàn)，通過誤差抑制和奇異點剔除后，三點法的精度可達(dá)到10-4量級，六點法精度可達(dá)到

表3 n=20時不同頻率下的平均檢測結(jié)果Tab.3 Average detection results at differentfrequency when n=20

10-3量級，能夠滿足工程需要。

上述分析將誤差信號e(t)設(shè)定在常見的工程誤差范圍，為不失一般性，現(xiàn)另取幾組較小或較大的誤差信號e(t)，并用三角變換法在最優(yōu)n值下求解平均頻率。e(t)的改變通過諧波畸變率和信噪比取值的改變實現(xiàn)。以f=49 Hz為例，各組平均頻率如表4所示。觀察表中結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，信號誤差較小時，三角變換法具有極高的精度。但隨著諧波畸變率的增加和信噪比的降低，誤差信號e(t)會逐漸增大，三角變換法的精度也呈下降趨勢。尤其在第4、5、6組誤差信號中，算法精度較低，因為此時的誤差已超出工程允許范圍。這意味著，提高濾波和采樣裝置的精度仍是提高測頻精度的根本途徑。否則當(dāng)硬件誤差過大時，即使選用最優(yōu)檢測點間隔來抑制誤差，三角變換法的精度也可能存在不足。然而，本文的研究在一定程度上降低了三角變換法對硬件精度的依賴性，同時也可以在已有的裝置精度基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提高測頻精度。

表4 n=20時且f=49 Hz時不同誤差信號下的平均檢測結(jié)果Tab.4 Average detection results of different errors signal when n=20 and f=49 Hz

5 結(jié)論

當(dāng)濾波和采樣裝置存在少量誤差時，三角變換法中，各檢測點之間的間隔不能隨意選取，否則可能導(dǎo)致算法精度下降，甚至算法失效。而本文的三角變換法通過最優(yōu)檢測點間隔的選取和個別結(jié)果奇異點的剔除，即使待測信號存在少許誤差，也仍可對電網(wǎng)基波頻率高精度的檢測。但實際應(yīng)用中應(yīng)當(dāng)注意以下幾點：

1)提高濾波和采樣裝置的精度仍是提高頻率檢測精度的根本途徑。本文方法的優(yōu)勢在于可以在一定程度上降低算法對硬件精度的依賴性，同時也可以在已有的裝置精度基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提高測頻精度。

2)由于檢測點間采樣點數(shù)n的增加會導(dǎo)致三角變換法計算的延遲，故為提高算法的抗干擾性，是以犧牲其部分頻率跟蹤能力為基礎(chǔ)的。所以工程中，若濾波和采樣精度足夠高，應(yīng)當(dāng)選用較小的n值參與計算，以提高系統(tǒng)頻率跟蹤能力。但濾波、采樣精度較低時，則必須選用本文的最優(yōu)n值以提高系統(tǒng)檢測精度。

3)由于待測信號誤差及其頻率的隨機(jī)性和未知性，本文求解的最優(yōu)n值是一個估計值，實際的最優(yōu)值可能在估計值附近小范圍波動。但是因為待測信號誤差值和頻率的波動一般較小，所以本文估計的最優(yōu)n值完全可以滿足工程需要。

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ErrorAnalysisandReductionofFrequencyDetectionAlgorithmBasedonTriangularTransformation

YING Zhan-feng， WU Jun-ji， YI Wen-jun

(School of Power Engineering, Nanjing University of Science & Technology，Nanjing 210094， China)

The error reduction of frequency detection algorithm based on triangular transformation has great significance for power system frequency detection. The algorithm is derived in this paper by introducing the concept of interval of detection point and the error mechanism is analyzed. The research shows that the result precision is related to interval of detection point. By using Extreme Value Analysis and Newton Iteration Method, the optimal interval of detection point can be estimated. With optimal interval and singularity elimination, the algorithm precision can satisfy the engineering demand although the signal to be measured has a certain error. The instance simulation shows that our study can improve precision and anti-interference ability of algorithm and decrease the dependence of algorithm with respect to precision of filtering and sampling device.

frequency detection； triangular transformation； error analysis； Newton iteration method

2009-10-12

2009-12-10

TM930.1

A

1003-8930(2011)03-0111-07

應(yīng)展烽(1982-)，男，博士，研究方向為電能質(zhì)量分析，信號分析與處理。Email:yingzhanfeng@163.com

吳軍基(1955-)，男，教授，研究方向為電能質(zhì)量分析、數(shù)據(jù)挖掘。Email:wjj802@126.com

易文俊(1970-)，男，教授，研究方向為兵器發(fā)射理論，電力系統(tǒng)仿真。Email:wjy@mail.njust.edu.cn